BREVI NOTE SUL DOMINIO DI UNA FUNZIONE
Marco Monaci
Definizione operativa di funzione
:Una funzione possiamo definirla come una relazione fra due insiemi, che appunto lega vari elementi dell’insieme di partenza all’insieme di arrivo.
Per esempio è una funzione la relazione che lega alla velocità di un automobile il consumo di carburante, espresso per esempio in litri ogni cento chilometri: in particolare questa funzione collega due insiemi molto diversi, un insieme delle velocità con un insieme dei consumi.
Non è detto che le funzioni debbano collegare due insiemi separati, ma possono per esempio collegare
ele-menti dello stesso insieme. Un esempio è
rappresen-tato proprio dalle funzioni che studiamo noi, ovvero quelle definite nell’insieme dei numeri reali R. Tali fun-zioni mettono in relazione un numero reale con un altro numero reale.
Facciamo un esempio. La funzione: f (x) = 2x
Mette in relazione ciascun numero reale x con il suo doppio. Quindi avremo f (2) = 4, f (3) = 6 e così via. Vediamo quindi che per l’appunto ad ogni numero reale è associato un altro numero reale.
Facciamo un ultimo esempio: f (x) =px2− 4
In questo caso la funzione è un po’ più complicata, tuttavia anche qui associa ad un numero reale un altro numero reale. Proviamo a sostituire alla x il numero 4, ottenendo:
f (4) =√12
Definizione operativa di dominio di una
funzio-ne
:Risulta piuttosto naturale chiedersi se la funzione
fun-zionasempre, nel senso: possiamo sostituire qualunque valore alla x ed ottenere un risultato? La risposta è: non sempre. Esistono delle funzioni che non possono essere applicate su determinati valori dell’insieme di partenza, in quanto non producono risultati "sensati", o non ne producono affatto.
Anche qui facciamo un esempio con una funzione semplice:
f (x) =√x
Proviamo a sostituire il valore x = −2 e proviamo ad effettuare il calcolo con la calcolatrice. Noteremo che la calcolatrice ci sputa in faccia, dichiarandoci un bel
math error:
f (−2) =√−2 =?
Questo perché la radice quadrata non è definita sui
numeri negativi, ma solo su quelli positivi. Ciò
signi-fica che di tutto l’insieme R possiamo prendere solo i valori positivi.
Il dominio di una funzione è il sottoinsieme in cui la funzione è definita, ovvero produce risultati sensati.
Figura 1:Il dominio delle funzione radice quadrata.
Possiamo quindi dire che il dominio della funzione radice quadrata è rappresentato dai soli numeri posi-tivi. Una immediata rappresentazione grafica di tale dominio è riportato in Figura 1; l’insieme di "lavoro" è rappresentato per l’appunto da R, dove però sono conte-nuti tutti i numeri, sia positivi che negativi. Il dominio è invece il sottoinsieme indicato con R+, ovvero quello
che contiene solo i numeri positivi, ed è leggermente ombreggiato di grigio. La nostra funzione sarà quindi definita solo sul sottoinsieme, ovvero sul suo dominio. In definitiva indicheremo il dominio della radice qua-drata con il sottoinsieme dei numeri reali positivi. Fuori da tale sottoinsieme la funzione non è definita.
Questo era un primo esempio di funzione il cui domi-nio è più piccolo dell’insieme di lavoro, ma ci sono anche funzioni che hanno come dominio proprio tutto R. Un esempio è dato dai polinomi:
f (x) = x3− 4x2+ 2
Questa funzione è per esempio definita su tutto l’insieme dei numeri reali.
Ci sono invece altre funzioni che presentano domini più ristretti, e sarà compito della prossima sezione di questa breve nota approfondire tali aspetti.
Dominio delle funzioni
:In questa sezione andiamo a vedere quali siano i do-mini delle principali tipologie di funzioni, portando un esempio per ciascuna di esse.
Funzioni polinomiali: Le funzioni polinomiali sono
da-te dalla somma di singoli monomi di qualsiasi gra-do positivo. Un esempio di funzione polinomiale è la seguente:
f (x) = x3− 4x2+ 2x − 1
Tutte le funzioni polinomiali di questo tipo (con qua-lunque numero di termini e di qualsiasi grado) hanno dominio pari a tutto l’insieme R. Ne consegue che non ci sono limitazioni ai valori che può assumere la variabile x.
Funzioni razionali: Le funzioni razionali sono quelle che
presentano sia un numeratore che un denominatore. In questo caso il dominio è limitato ai valori che non annullano il denominatore, in quanto non è possibile dividere per zero. Un esempio:
f (x) = x
2− 4
x − 1
In questo caso dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero, ovvero:
x − 1 6= 0
Da cui ne deduciamo che: x 6= 1
Quindi questa funzione è definita in tutto R tranne che in x = 1. Possiamo anche scrivere che il dominio è D = R − {1}.
Funzioni con radicali di indice pari: Nel caso in cui si
presenti una funzione con un radicale di indice pari è necessario che il "contenuto" sotto la radice sia maggiore o tuttalpiù uguale a zero, in quanto la radice pari di un numero negativo non è definita. Facciamo un esempio:
f (x) =px2− 3
Dobbiamo conseguentemente imporre che: x2− 3 ≥ 0
x ≤ −√3 ∨ x ≥√3
Quindi ne consegue che il dominio è proprio x ≤ −√3∨ x ≥√3.
Funzioni con radicali di indice dispari: Nel caso in cui il
radicale abbia indice dispari allora il dominio rimane tutto R, a meno che ovviamente non ci siano limitazioni interne dovute al dominio del radicando. Questo deriva dal fatto che è sempre possibile estrarre una radice dispari, anche di un numero negativo (esempio: √3−8 =
−2).
Se prendiamo:
f (x) =p3
x3− 4x − 2
Ha dominio R.
Funzioni con radicali di indice pari al denominatore:
Ri-spetto al semplice radicale con indice pari dobbiamo aggiungere una ulteriore condizione, ovvero che il radi-cando sia solo maggiore di zero. Infatti ricordiamoci che il denominatore non può mai essere uguale a zero, quindi dobbiamo eliminare anche questa possibilità.
f (x) = √ 1 x2− 3
In questo caso dobbiamo imporre: x2− 3 > 0 Ovvero conseguentemente:
x < −√3 ∨ x >√3
Come vediamo in questo modo sono esclusi i valori x = −√3e x =√3, che annullerebbero il denominatore.
Funzioni con radicali di indice dispari al denominatore:
Qui abbiamo visto che il radicando può assumere qua-lunque valore, anche quelli negativi. Tuttavia, trovan-dosi al denominatore questa volta, si rende necessario escludere quei valori che annullano la radice.
Esempio:
f (x) = √3x − 2 x − 4 Qui bisogna solo imporre che:
x − 4 6= 0
Da cui abbiamo che x 6= 4, senza ulteriori condizioni più stringenti.
Funzioni logaritmiche: Le funzioni logaritmiche
so-no definite se l’argomento del logaritmo è positivo. Consideriamo per esempio:
f (x) = log(x + 7)
Dobbiamo quindi imporre che: x + 7 > 0
Da cui otteniamo immediatamente che x > −7, ovvero il dominio della funzione considerata.
Funzioni esponenziali: Le funzioni esponenziali di per
sé sono definite in tutto R, a meno che non ci siano delle limitazioni sull’esponente stesso. Quindi per esempio la funzione:
f (x) = ex2−4
È definita in tutto R.
Funzioni trigonometriche: Le funzioni trigonometriche
sin(x)e cos(x) sono definite per tutto R, a meno che non ci siano limitazioni dovute all’argomento della funzione stessa.
Un discorso a parte deve essere fatto per la tangente. In questo caso l’argomento deve essere diverso da π/2 e dai suoi multipli dispari:
f (x) = tan(x + 2)
Dobbiamo imporre che: x + 2 6= π
2 + kπ Da cui:
x 6= π
2 + kπ − 2
Funzioni trigonometriche inverse: Le funzioni
trigono-metriche inverse (arcoseno, arcocoseno, arcotangente) hanno dei domini, per così dire, speciali. In particolare abbiamo che il dominio dell’arcoseno è:
−1 < x < 1
Anche nel caso dell’arcocoseno abbiamo che il suo dominio è limitato a:
−1 < x < 1
Infine nel caso dell’arcotangente abbiamo un dominio molto più ampio, ovvero tutto R.
Dominio di funzioni composte
:Capita molto spesso di avere a che fare con funzioni che presentano diversi pezzi, ciascuno dei quali con il pro-prio dominio. In tal caso è necessario studiare ciascun dominio e poi mettere tutto a sistema per vedere gli in-tervalli complessivi in cui la funzione globale è definita. Quindi se per esempio abbiamo un esponenziale con all’esponente una radice, dobbiamo controllare che la radice sia positiva, sebbene il dominio dell’esponenziale sia tutto R. Oppure potremmo avere una frazione tutta sotto una radice, quindi dobbiamo imporre che tutta la frazione sia positiva, e contemporaneamente imporre che il denominatore della frazione sia diverso da zero.
Facciamo un esempio pratico, cercando il dominio della funzione:
f (x) = √
x2− 4
log(x + 2)
Innanzitutto dobbiamo imporre che il radicando sia positivo o tuttalpiù uguale a zero:
x2− 4 ≥ 0 Da cui risolvendo la disequazione:
x ≤ −2 ∨ x ≥ 2
Quindi questo rappresenta il primo pezzo. Successiva-mente dobbiamo imporre che l’argomento del logaritmo sia maggiore strettamente di zero, per la definizione del dominio del logaritmo. Abbiamo quindi:
x + 2 > 0
Da cui abbiamo x > −2.
Infine dobbiamo imporre che il denominatore non sia uguale a zero, ovvero:
log(x + 2) 6= 0
Il logaritmo è nullo quando l’argomento è pari ad 1, ovvero dobbiamo imporre che:
x + 2 6= 1
Da cui otteniamo subito x 6= −1. Possiamo quindi definire il dominio della funzione globale mettendo a sistema le informazioni fin qui ottenute.
Figura 2:Il grafico del dominio della funzione considerata.
Il modo più conveniente è costruire la retta dei reali e segnare i singoli domini sopra di essa. Il dominio
complessivo è la zona (o le zone) dove sono presenti tutte le linee, perché significa che tutte le restrizioni sono rispettate.
In Figura 2 possiamo vedere il grafico del dominio della funzione considerata. Il pallino nero vuoto sta a indicare che quel valore non può essere assunto dalla funzione. In questo caso il valore critico x = −1 non dà problemi, in quanto è fuori dal dominio complessivo. Nel caso di questa funzione il dominio è rappresentato da:
x ≥ 2
Infatti solo in quella zona abbiamo due linee, ovvero sia la radice che il logaritmo sono definiti.
Qualche esercizio
:Trovare il dominio delle seguenti funzioni. f (x) =px2− 4x − 1 f (x) =px3+ 3x2− 13x − 15 f (x) = log x − 5 x + 2 f (x) = e √ x3+x2−5x−6 log(x + 1)
