La divisione di Ruffini
Supponiamo di voler scomporre il polinomio:
x3 + 4 x2 – 7 x – 10
Nel prodotto di più binomi del tipo ( x – a ).
Anzitutto occorre trovare gli zeri del polinomio, cioè i valori di x che lo
annullano. Tali valori vanno cercati tra i divisori del termine noto.
In questo caso il termine noto è 10 ed i suoi divisori sono quindi:
Sostituiamo 1 al posto di x:
P(1) = 13 + 4 12 – 7 1 - 10 = 1 + 4 – 7 – 10 =
- 12
Il risultato non è nullo, quindi 1 non è uno zero del polinomio.
Sostituiamo allora – 1 :
P(– 1) = (- 1)3 + 4 (- 1)2 – 7 (- 1) – 10 = - 1 +
4 + 7 – 10 = 0
Il risultato è nullo, quindi – 1 è uno zero del mio polinomio. Allora esso risulta
divisibile per ( x + 1 )
Possiamo procedere con la divisione di Ruffini.
1
+
4
-
7
- 10
1
+
3
-10
0
- 1
- 1
- 3
+1
0
Scriviamo anzitutto i coefficienti del polinomio che va diviso.
Tracciamo le righe escludendo l’ultimo coefficiente.
Scriviamo lo zero.
Riportiamo il primo coefficiente in basso e moltiplichiamolo per lo zero: nel nostro caso, - 1 per 1 fa – 1.
Sommiamo al risultato il secondo coefficiente e trascriviamolo sotto.
Ripetiamo il procedimento: - 1 per 3 fa – 3, - 7 più – 3 fa – 10, e così via...
...finché non arriviamo al resto, in questo caso 0.
Ora leggiamo i coefficienti nella riga inferiore:
+1 ; + 3 ; - 10
Il primo da destra è il termine noto; il secondo è il coefficiente della x; il
terzo è il coefficiente della x2. Si
comincia sempre da destra per potenze crescenti di x. Il polinomio quoziente è dunque x2 + 3 x – 10.
Ed ecco come si scompone il polinomio iniziale:
x3 + 4 x2 – 7 x – 10 = ( x + 1 ) ( x2 + 3 x
Il trinomio ottenuto:
( x2 + 3 x – 10 )
può essere ulteriormente scomposto tramite la divisione di Ruffini. Infatti si verifica subito che:
P(+2) = 22 + 3 2 – 10 = 4 + 6 – 10 = 0
Provate da soli ad eseguire la scomposizione. Poi passate alla
diapositiva seguente e verificate se avete operato in maniera corretta.
1
3
-10
2
1
5
0
2
10
Dunque il polinomio quoziente è ( x + 5 ).
Perciò x2 + 3 x – 10 = ( x – 2 )( x +
Conclusione
Il polinomio da noi assegnato all’inizio può scomporsi così:
x3 + 4 x2 – 7 x – 10 = ( x + 1 ) ( x – 2 )
( x + 5 ).
