Ex3 CV

Esercizi di Analisi Complessa in Pi`

u Variabili - 3

14/02/2012

Samuele Mongodi

s.mongodi@sns.it oppure samuele.mongodi@gmail.com

Esercizio 1 Sia Ω un aperto di Cn _{e sia u ∈ P SH(Ω) tale che per ogni z ∈ Ω esiste  per cui, se}

|z − z0_{| <  e Rez}

j= Rezj0 per j = 1, . . . , n, allora u(z) = u(z0). Allora u `e localmente convessa in Ω.

Esercizio 2 Sia Ω un aperto di Cn_{; dimostrare che la topologia di convergenza uniforme sui compatti e}

la topologia di convergenza Lp _{sui compatti coincidono su O(Ω).}

Esercizio 3 Sia φ ∈ P SH(Cn); dimostrare che per ogni g ∈ L2_p,q+1(Cn, φ) con ∂g = 0 esiste f ∈ L2

p,q(Cn, φ) tale che ∂f = g e

2 Z

|f |2_{(1 + |z|}2₎−2_e−φ_{dm ≤}Z _|g|2_e−φ_{dm .}

Hint: Si consideri ψ = φ + 2 log(1 + |z|2_{) nel caso φ ∈ C}2 _{e si applichi il teorema per un peso}

strettamente plurisubarmonico. Per il caso generale φ ∈ P SH si regolarizzi opportunamente. Esercizio 4 (?) Siano φ ∈ P SH(Cn_{) ∩ C}2 e k ∈ N; definiamo A(φ, k) =  u ∈ O(Cn) : Z Cn |u|2_e−φ_{(1 + |z|}2₎−k_{dm < +∞}

dove dm `e la misura di Lebesgue. Vogliamo dimostrare che tale spazio `_{e denso in O(C}n).

1. Sia L : O(Cn) → C lineare e continua per la topologia della convergenza uniforme sui compatti; si dimostri che

L(u) = Z

Cn

uvdm per v ∈ L2_(Cn), con suppv ⊂ B(0, R) per qualche R > 0. 2. Si ponga

φk(z) = φ(z) + log(1 + |z|2) + kχ(log(1 + |z|2))

con χ convessa e crescente, tale che χ−1(0) = (−∞, log(1 + R2_{)) e lineare su (M, +∞). Si dia una}

stima per il pi`u piccolo autovalore della forma di Levi di φk.

3. Si dimostri che esiste una f ∈ L2

0,1(Cn, φk) tale che ∂ ∗ f = veφk _{e per cui} Z |f |2_{(1 + |z|}2₎−2_e−φk_{dm ≤} Z |v|2_eφk_{dm .}

4. Si concluda che L(u) = 0 per ogni u ∈ O(Cn_).

Esercizio 5 Si dica se le funzioni u1(x) =  x se 0 ≤ x ≤ 1 1 se 1 ≤ x ≤ 2 u2(x) =  x se 0 ≤ x ≤ 1 2 se 1 ≤ x ≤ 2 appartengono o meno allo spazio W1,1_{((0, 2)).}

Esercizio 6 Sia I un intervallo della retta reale. Si dimostri che W1,1_{(I) ⊂ C}0_{(I) e che l’embedding `e}

continuo nelle rispettive norme. E’ compatto?

Esercizio 7 Sia Ω = {|z| < 1} ⊂ C e sia fα(z) = |z|α. Si determini per quali valori di α si ha

fα∈ W1,2(Ω).

Esercizio 8 Sia P = Pn

j=1aj(x)_∂x∂_j un operatore differenziale del primo ordine su Rn. Si trovi tP ,

ovvero l’operatore Q tale che

Z (P φ)ψdm = Z φ(Qψ)dm per ogni φ ∈ C∞_{c (R}n_{) e ψ ∈ C}∞ (Rn_).

Si generalizzi il risultato al caso di un operatore di ordine m:

P = X |p|≤m ap(x)  ∂ ∂x p .

L’operatore P sulle distribuzioni D0_{(Ω) `e definito come il trasposto dell’operatore lineare}t_{P : C}∞ c (Ω) →

C∞ c (Ω).

Esercizio 9 Sia φ ∈ C_c∞_{(R); per Rea > −1, la funzione} Fφ(a) =

Z

R

xaφ(x)dx

`

e analitica. Si provi che ammette una continuazione analitica meromorfa su C, con poli negli interi negativi. Si calcoli il residuo Rk in k = −1, −2, . . . e si ponga

Fφ(k) = lim

a→kFφ(a) −

Rk

a − k .

Si mostri che φ → Fφ(a) `e una distribuzione per ogni a e che, detta Ta tale distribuzione, questa risolve

l’equazione xaχ[0,+∞)T−a= χ[0,+∞) e che vale d dxTa= aTa−1 per a 6= −1, −2, . . ..

Esercizio 10 Si dimostri che

∂ ∂ ¯z

1 πz = δ0 come distribuzioni in C.

Esercizio 11 Si dimostri che

−4 1

ωn(n − 2)|x|n−2

= δ0

come distribuzioni in Rn per n ≥ 3, dove ωn `e l’area della sfera unitaria.

Esercizio 12 Una distribuzione positiva `e una misura.

Indichiamo con W−k,p(Ω) lo spazio delle distribuzioni che possono scriversi come somma finita di derivate fino all’ordine k di funzioni appartenenti a Lp_(Ω).

Esercizio 13 (?) W−k,p(Ω) `e isomorfo al duale di W₀k,q(Ω).

Esercizio 14 Sia λ > 0. Si dimostri che per ogni f ∈ W−1,2(Ω) esiste un’unica u ∈ W₀1,2(Ω) tale che

(4 − λ)u = f e che

W1,2(Ω) = W₀1,2(Ω) ⊕ Nλ

dove Nλ `e l’insieme delle soluzioni di (4 − λ)u = 0.