Formule trigonometriche

PRECORSO DI MATEMATICA

ESERCIZI DI

TRIGONOMETRIA: FORMULE TRIGONOMETRICHE

Esercizio 1: Fissata in un piano cartesiano ortogonale xOy una circonferenza goniometrica, sapendo che α ∈hπ 2 , π i e sin α = 3 4, calcolare cos  α +π 6  .

Svolgimento: Utilizzando la formula di addizione del coseno si ha cos  α +π 6  = cos α cosπ 6 − sin α sin π 6 = √ 3 2 cos α − 1 2sin α .

Quindi, per calcolare il valore dato, bisogna determinare cos α . Dalla prima relazione fondamentale della trigonometria si ha

sin2α + cos2α = 1 , da cui segue che

cos α = −p1 − sin2α = − r 1 − 9 16 = − √ 7 4 , essendo cos α < 0 , poich´e α ∈hπ

2 , π i . Allora si ottiene cos  α +π 6  = √ 3 2 cos α − 1 2sin α = √ 3 2 · − √ 7 4 ! −1 2· 3 4 = − √ 21 + 3 8 .

Esercizio 2: Fissata in un piano cartesiano ortogonale xOy una circonferenza goniometrica, sapendo che α ∈ h π ,3 2π i e cos α = −5 7, calcolare sin 2α . 1

Svolgimento: Per poter utilizzare la formula di duplicazione del seno sin 2α = 2 sin α cos α ,

bisogna calcolare sin α .

Utilizzando la prima relazione fondamentale della trigonometria e il fatto che α ∈ h π ,3 2π i si ha sin α = −p1 − cos2_{α = −} r 1 −25 49 = − 2√6 7 . Allora risulta

sin 2α = 2 sin α cos α = 2 −2 √ 6 7 !  −5 7  = 20 √ 6 49 .

Esercizio 3: Fissata in un piano cartesiano ortogonale xOy una circonferenza goniome-trica, sapendo che α ∈hπ

2, π i e sinα 2 = 3 4, calcolare cos α . Svolgimento: Si ha cos α = cos2 ·α 2  = cos2 α 2 − sin 2 α 2 ,

grazie alla formula di duplicazione del coseno. Utilizzando la prima relazione fondamentale della trigonometria si ottiene anche

cos α = cos2α 2 − sin 2α 2 = 1 − 2 sin 2α 2 . Quindi risulta cos α = 1 − 2 · 9 16 = − 1 8.

Esercizio 4: Fissata in un piano cartesiano ortogonale xOy una circonferenza goniome-trica, sapendo che α ∈h0 ,π

2 i e cos α = 1 5, calcolare cosα 2 . Svolgimento: Poich´e α ∈ h 0 ,π 2 i , allora α 2 ∈ h 0 ,π 4 i e quindi cosα 2 ≥ 0 . Utilizzando la formula di bisezione per il coseno si ha

cosα 2 = r 1 + cos α 2 = s 1 2  1 +1 5  = r 3 5.

Esercizio 5: Fissata in un piano cartesiano ortogonale xOy una circonferenza goniome-trica, sapendo che α ∈hπ

2, 3 4π i e sin 2α = −4 5, calcolare sin α . Svolgimento: Si ha sin α = sin 2α 2  = r 1 − cos 2α 2 ,

grazie alla formule di bisezione per il seno e tenendo conto del fatto che sin α ≥ 0 , essendo α ∈hπ 2 , 3 4π i .

Dalla prima relazione fondamentale della trigonometria segue cos 2α = −p1 − sin22α = r 1 −16 25 = − 3 5, essendo cos 2α ≤ 0 . Allora sin α = r 1 − cos 2α 2 = s 1 2  1 +3 5  = 2 5 √ 5 .

Esercizio 6: Calcolare il valore della seguente espressione (α assume i valori per i quali sono definite tutte le funzioni che compaiono nell’espressione)

cos α 

1 + sin 2α − 2 sin2 α 2



−√2 cos 2α + sin2α
sin 

α −π 4

 .

Svolgimento: Dalle formule di duplicazione si ha

sin 2α = 2 sin α cos α e cos 2α = cos2α − sin2α ,

mentre dalla formula di bisezione sinα 2 = ± r 1 − cos α 2 , segue che sin2 α 2 = 1 − cos α 2 . Infine sinα −π 4  = sin α cosπ 4 − cos α sin π 4 = √ 2 2 (sin α − cos α) .

Sostituendo tali relazioni nell’espressione data si ottiene cos α  1 + sin 2α − 2 sin2 α 2 

−√2 cos 2α + sin2α
sin  α − π 4  = cos α 

1 + 2 sin α cos α − 2 ·1 − cos α 2



−√2 cos2α − sin2α + sin2α
√

2

2 (sin α − cos α) = cos α (1 + 2 sin α cos α − 1 + cos α ) − cos2α (sin α − cos α)

= cos2α (2 sin α + 1 ) − cos2α (sin α − cos α) = cos2α (2 sin α + 1 − sin α + cos α)

= cos2α (sin α + cos α + 1) .

Esercizio 7: Verificare se vale la seguente identit`a (α assume i valori per i quali sono definite tutte le funzioni che compaiono nell’espressione)

(1 + sin α − cos α) (1 − sin α + cos α) 2 cos2 α

2

= sin 2α 1 + cos α.

Svolgimento: Consideriamo il primo membro dell’espressione data. Si ha

(1 + sin α − cos α) (1 − sin α + cos α) = [1 + (sin α − cos α)] [1 − (sin α − cos α)] = 1 − (sin α − cos α)2

= 1 − sin2α − cos2α + 2 sin α cos α = 2 sin α cos α = sin 2α ,

grazie alle formule di duplicazione.

Inoltre, dalla formula di bisezione del coseno

cosα 2 = ± r 1 + cos α 2 , segue che 2 cos2 α 2 = 1 + cos α .

Allora il primo membro dell’espressione data si pu`o scrivere come (1 + sin α − cos α) (1 − sin α + cos α)

2 cos2 α 2

= sin 2α 1 + cos α, quindi l’identit`a data vale.

1. scrivere in funzione di sin α e cos α le seguenti espressioni a. sin  α + π 4  b. tan 2 3π − α  c. cosα −π 4  d. tanπ 2 − α  e. sin  α − π 3  f. cos 5 6π − α  g. sinπ 2 + α  h. cos  α +π 6  i. tan  α +π 4  j. sinπ 3 − α  ; 2. sapendo che α ∈ h 0,π 2 i e sin α = 12

13, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. sin 5 6π + α  b. tanα −π 4  c. cosπ 3 − α  d. cot π 4 + α  ; 3. sapendo che α ∈hπ ,3 2π i e cos α = −24

25, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. cosπ 6 − α  b. sin 5 4π + α  c. tan 2 3π − α  d. cosπ 4 + α  ;

4. sapendo che α ∈h90◦, 180◦ie sin α = √

3

3 , calcolare i valori delle seguenti espressioni a. tan (150◦+ α)

b. sin (45◦+ α) c. cos (60◦− α)

d. cos (135◦+ α) e. sin (120◦− α) f. tan (α − 30◦) ; 5. sapendo che α ∈h3 2π , 2π i e cos α = 3

7, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. cotπ 3 + α  b. cos 7 6π − α  c. sin  α −2 3π  d. cos 3 4π − α  e. tan 5 6π + α  f. sin π 4 + α  ; 6. sapendo che α ∈h0 ,π 2 i e sin α = 3

5, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. sin 2α b. cos 2α c. tan 2α ; 7. sapendo che α ∈hπ 2 , π i e cos α = − 8

17, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. sin 2α b. cos 2α c. tan 2α ; 8. sapendo che α ∈ h 2π , 3π i e sinα 2 = − 2√3

5 , calcolare i valori delle seguenti espressioni a. sin α b. cos α c. tan α ; 9. sapendo che α ∈ h 0 ,π 4 i e cosα 2 = 24

25, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. sin α

c. tan α ; 10. sapendo che α ∈ h 0 ,π 2 i e sin α = 5

13, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. sin 2α +π 3  b. sin2α + π 4  c. cos 2  2α +π 6  ; 11. sapendo che α , β ∈h0 ,π 2 i e sin α = 3 5 e cos β = 7

25, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. sin (2α + β) b. cos (α − 2β) c. cos (2α − β) ; 12. sapendo che α ∈hπ ,3 2π i e tan α = 1

2, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. sin 2α b. cos 2α c. sin  2α + π 6  d. cos2α − π 3  e. tan 2α ; 13. sapendo che α ∈ h 0 ,π 2 i e cos α = 24

25, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. sinα 2 b. cosα 2 c. tanα 2 ; 14. sapendo che α ∈hπ ,3 2π i e cos α = − 7

24, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. sinα 2 b. cosα 2 c. tanα 2 ; 15. sapendo che α ∈h3 2π , 2π i e sin α = − √ 6

3 , calcolare i valori delle seguenti espressioni a. sinα

b. cosα 2 c. tanα 2 ; 16. sapendo che α ∈ h3 4π , π i e cos 2α = 2

3, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. sin α b. cos α c. tan α ; 17. sapendo che α ∈hπ 4 , π 2 i e sin 2α = 12

13, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. sin α b. cos α c. tan α ; 18. sapendo che α ∈hπ 2 , π i e sin α = 3

5, calcolare i valori delle seguenti espressioni a. sin 1 2  α +π 6  b. cos 1 2  α −π 6  c. sin 1 2  α −π 3  d. cos 1 2  α +π 3  .

Esercizi: Calcolare il valore delle seguenti espressioni (α e β assumono i valori per i quali sono definite tutte le funzioni che compaiono nell’espressione)

1. sin (α + 30◦) cos β − cos α cos (β + 60◦) − cos 30◦sin (α + β)

2. 2 sin (45 ◦_{− α)} cos (α + 45◦_{) + cos (α − 45}◦₎ 3. sin 2α 4 sin α − cos α 4. cos 2 3π − α  + sinπ 6 − α  5. 1 + cos α sin2α · sin 2 α 2

6. sin α + π 3
+ sin α − π 3
− 2 sin α cos α + π₃
+ cos α −π 3
− 2 cos α 7. cos 2α cos α + sin α 8. sin (α − β) cos5 6π + sin  β − 5 6π  cos α + sin 5 6π − α  cos β 9. 2 cos2 α 2 · 1 − cos α sin α 10. 1 + sin 2α cos 2α − cos α + sin α cos α − sin α 11. cos2  α +π 3  + cos2  α +5 6π  12. √ 2 cos (135◦+ α) cos (α + 120◦_{) + cos (α − 120}◦₎ 13. 1

2sin 2α + 2 sin α sin

2α 2 14. 1 + cos 2α 1 − cos 2α 15. 4 sin α + π 3
+ sin π 3 − α
3 sin2(α + π) − 1 tan2(π − α) 16. sin 2α 1 + cos 2α 17. sin π 3 − α  − cosπ 6 − α  18. 1 − tan 2 α 2 1 + tan2 α 2 · tan α 19. cos2α + cos2 2 3π + α  + cos2 2 3π − α  20. 2 sin 2α cos 2α sin α − cos α 2 sin2α − 1 21. 2 sin3α 2 · sin α 2 − cos α + cos 2α

22. sin α − π 6
sin α + π₆
− tan α − tanπ₆ tan α + tanπ₆ 23. 1 + sin 2α

sin α + cos α − sin α

24. 2 sin α sin β − sin (α + β) − sin (α − β) 25. cos (α + 2β) + 2 sin2 α + 2β 2  26. 4 sin (α + 60 ◦_{) sin (240}◦_{− α)} tan2_{α − 3} 27. sinα 2 + cos α 2 2 − sin α 28. sin 2α 1 − cos 2α

29. (sin 2α + cos 2α)2− 2 (sin 4α + 1)

30. cos 2α · sec α · csc α sin α + cos α − 1 sin α + 1 cos α.

Esercizi: Scrivere le seguenti espressioni in funzione di tanα

2 (α assume i valori per i quali sono definite tutte le funzioni che compaiono nell’espressione)

1. sin α 1 + cos α 2.  cos α 1 − cos α − 1 + sin α sin α  · sin α 3. 1 − cos α sin α 4. 3 + cos α − 3 sin α 1 + 3 cos α − sin α 5. cos 2_{α − 1} sin2α 6. (1 − cos α) (1 − sin α) 2 (1 + cos α)2

7. 1 + sin α + cos α 1 + sin α − cos α 8. sin α cos α − cos2α + 1

9. √ 2 cos α + sin α 2 sin α + 2 cos (α + 45◦₎

10. sin

2_{α − cos α}

cos2_α .

Esercizi: Verificare se valgono le seguenti identit`a (α e β assumono i valori per i quali sono definite tutte le funzioni che compaiono nell’espressione)

1. cos (α − 120◦) − sin (α − 30◦) = 0 2. sin 2_α 1 + cos α = 2 sin 2 α 2 3. cot α − tan α

cot α + tan α = cos 2α

4. (1 + sin α − cos α)2+ (1 − sin α + cos α)2 = 2 (2 − sin 2α) 5. sin2 α + β 2  − sin2 α − β 2  = sin α sin β 6. 2 cos α + sin 2α 2 cos α − sin 2α =  1 cos α + tan α  :  1 cos α− tan α  7. sin  α +π 3  + cos  α +5 6π  = 0 8. 2 cos 2α sin 2α = 1 tan α− tan α 9. 2 sin α − sin 2α 2 sin α + sin 2α = tan

2 α 2 10. tan  α +π 4  + tan π 4 − α  = 2 1 − 2 sin2α 11. sin2(α + β) − sin2(α − β) = sin 2α sin 2β

12. sin 2α 1 + cos 2α : 1 + cos α cos α = tan α 2

13. coshπ 6 − (α + β) i − sin (α + β) = cosπ 6 + α + β  14. 1 − cos α − tan 2 α 2 2 cos α = sin2 α₂ 1 + cos α 15. 2 cos α + sin 2α 2 cos α − sin 2α = sec α + tan α sec α − tan α 16. sin π 6 + α  + sin π 6 − α  = cos α

17. sin 3α · sin α = cos2α − cos22α 18. 1 − tan 2 π 4 − α
1 + tan2 π 4 − α
= sin 2α 19. cos α + cos β sin α − sin β = cot

 α − β 2  20. 1 2sin 2α = sin α  1 − 2 sin2 α 2  21. cos (45 ◦_{+ α)} cos 2α = 1 cos (45◦_{− α)} 22. sin α − 2 sin2α 2 · cot α = tan α 2 23. sin 2α − sin 4α

cos 4α − cos 2α = cot 3α

24. 1 + sin 2α 1 + cos 2α =

1

2(1 + tan α)

2

25. cos (60◦− α) − cos (120◦− α) = cos α

26. tan α · cos2 α 2 − 1 2sin α = 1 2tan α 27. cos α − π 3
√ 3 cos α = √ 3 6 √ 3 tan α + 1  28. cos2  α + 2 3π  + cos2  α −2 3π  = 1 2+ sin 2_α

29. 4  1 + cot2 α 2  + tan2 α 2 = (3 + cos α)2 sin2α 30. tan (45 ◦_{+ α)} tan (45◦_{− α)} = 1 + sin 2α 1 − sin 2α 31. sin  α +π 6  + cos π 6 − α  = 1 + √ 3 2 (cos α + sin α) 32. (cos α − sin α)2= 1 − sin 2α

33. 2 tan

2_α

1 + tan4_α =

tan22α 2 + tan2_2α

34. cos (α + β) − cos (β − α) = 2 cos α cos β

35. sin 3α cos α sin 2α =

1

2 + cos 2α 36. tan 2α 1 − 2 sin2α
= sin 2α

37. cos 2α sin α + cos α − sin 2α sin α − cos α = √ 2 2 cos (α + 45◦₎ 38. tanα −π 4 

− tan α = tan α · tanπ 4 − α  − 1 39. sin 2_α 1 − cos α = 2 cos 2 α 2 40. cos (α + 45◦) − cos (α − 45◦) = 1 2− sin 2_α 41. tan α − sin α 2 tan α = sin 2 α 2

42. cos 2α + sin 2α = (cos α + sin α)2− 2 sin2α

43. 1 2 tan

2_{α + cot}2_α
= 3 + cos 4α

1 − cos 4α

45. tan α · tanα

2 + 1 = sec α

46. cos 3α − cos α

sin α − sin 3α = tan 2α

47. 2

sin 2α = tan α + cot α

48. cos α sinα₂ + cosα₂ = √ 2 sin 3 4π − α 2 

49. 2 cos (α + β) cos (α − β) = cos 2α + cos 2β

50. 1 − 1 2 cos2_α = tan α tan 2α 51. sin π 4 − α  + cos π 4 + α  = √ 2 cos 2α cos α + sin α 52. cos 2α 1 + sin 2α = cot α − 1 cot α + 1 53. tanπ 4 + α 2  − tanπ 4 − α 2  = 2 tan α

54. sin 2α + 2 sin α sin2 α

2 = 2 sin α

55. cos (α − β) + 2 sin2 α − β 2

 = 1

56. sin α + sin 2α + sin 3α

cos α = 4 cos α 2 · sin 3α 2 57. cos 2α cos2_α = 1 − tan 2_α 58. (cos α + sin α) 2 1 + cos 2α = 1 2(1 + tan α) 2

59. sin α + cos α = 2 tan

α 2 + 2

1 + tan2 α₂ + 1

60. cos α − cos (α + β) = 2 sin  α + β 2  sinβ 2.