Università degli Studi dell’Aquila - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Fisica Generale 2 - Prova scritta d’esame del 4 Luglio 2017 ore 15:00
Nome e Cognome: ………..…… No. di matricola: …….…....…CFU……… Si ricorda che le soluzioni dei problemi del compito vanno consegnate utilizzando un UNICO foglio protocollo. Studenti che devono acquisire CFU ≤ 6: svolgere solo i problemi 1 e 2, in 1ora e 40min.
Problema 1 (10 punti):
Le due armature di un condensatore piano, (quadrate di lato L, parallele e poste a distanza 3a (a<<L)), sono collegate ad un generatore di tensione la cui forza elettromotrice è f .
Nell’intercapedine tra le due lastre può oscillare un piastra metallica quadrata di lato L, spessore a e massa M, sotto l’azione di una molla di costante elastica 2Mg / L e della forza peso. Si trascuri ogni effetto di bordo.
a) Inizialmente, la piastra collegata alla molla si trova immersa completamente tra i piatti del condensatore più esterno. Calcolare la capacità equivalente del sistema in questo caso. (2 punti)
b) Successivamente, la piastra si sposta: sia x la porzione della piastra mobile inserita nell’intercapedine (come in figura). Determinare:
c) la capacità equivalente del sistema delle tre piastre (3 punti) d) la densità di carica di superficie presente sulle piastre (3 punti).
e) Sapendo che la piastra centrale oscilla con la legge: x(t) =L/2(1-cosωt), con ω = !"!, determinare la corrente che fluisce nel generatore in funzione del tempo (2 punti).
Problema 2
Il circuito in figura è da molto tempo nella configurazione a T aperto. Assumendo trascurabile la resistenza interna del generatore r0, calcolare:
a) le correnti nelle resistenze (3 punti); b) la carica sul condensatore (3 punti); Se T viene chiuso, determinare dopo quanto tempo la carica si riduce a metà (4 punti).
Dati: V0 = 80 V; R1 = R2 = R3 = 4 kΩ; C = 1 µF
Problema 3
Il filo in figura è percorso dalla corrente I=I0cos2ωt nel verso indicato.
a) Calcolare il campo magnetico (in modulo, direzione e verso) al centro della circonferenza (3 punti).
b) Il sistema viene immerso in un campo magnetico B0 uniforme,
costante, perpendicolare ed uscente dal piano. Calcolare
modulo, direzione e verso della forza sulla semicirconferenza e della forza per unità di lunghezza sui fili rettilinei. (5 punti)
c) Calcolare la forza elettromotrice indotta nella spira di raggio R, considerando R<< R1 (2
punti).
Dati: R1=40cm, R=1cm, I0=0.2A, B0 = 4T, ω=5rad/s.
x R
Soluzioni Problema 1
a) Trascurando ogni effetto di bordo, nella situazione iniziale il sistema è equivalente ad un sistema di 2 condensatori uguali in serie con spaziatura a e capacità C. Pertanto:
!!" = !!!!! = !!=!!!
!
!!
Quando la lastra interna è solo parzialmente immersa, sempre trascurando gli effetti di bordo, il sistema delle tre piastre è equivalente al parallelo del “condensatore piano” inferiore di lunghezza L x− e spessore 3a con la serie dei due “condensatori piani” di lunghezza x e spessore a. Dunque:
( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 3 0 eq 0 0 eq 0 2 3 eq 1 2 3 L L x C 3a L L x Lx Lx L C C C C x 2L x a 3a 2a 6a C C C C C C − ⎧ = ε ⎪ ⎪ − ⎪ = = ε ⇒ = ε + ε ⇒ = ε + ⎨ ⎪ ⎪ = + ⎪ + ⎩
La densità di carica di superficie sulle facce interne delle piastre fisse non è uniforme. Nella zona inferiore nella quale la piastra centrale non è penetrata la densità di carica superficiale è positiva σ1 sulla faccia di
sinistra (che è a potenziale maggiore) e negativa −σ1 sulla faccia di destra e si ha che:
( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 1 f Q Q C V S L L x L L x 3a ε σ = = = = − −
Nella zona superiore nella quale la piastra centrale è penetrata, si ha che la carica di superficie sulla lastra fissa di sinistra è positiva σ2, sulla superficie di sinistra della lastra mobile è −σ2, sulla superficie di destra
della lastra mobile è σ = σ3 2 e sulla superficie della lastra fissa di destra è negativa −σ = −σ3 2. 0 2 2 2 2 2 2 f Q C V S S 2a ε σ = = =
Il moto della lastra è dato dalla:
( ) L( )
x t 1 cos t 2
= − ω
La capacità dunque varia col tempo secondo la relazione:
( )
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 eq 0 L x t 1 cos t 2 L L C x t 2L x 5 cos t 6a = − ω 12a ε ⎡ ⎤ = ε⎢ + ⎥ = − ω ⎣ ⎦La carica totale sulle piastre è data da:
( ) ( ) 2 0 eq L f Q t C f 5 cos t 12a ε = = − ω
La corrente che attraversa il generatore è:
2 0L f dQ I sin t dt 12a ε = = ω ω
Problema 2
T aperto.
Il potenziale di B coincide con quello di A e il potenziale di E con quello di F, la corrente in A si suddivide nel ramo AF attraversando R1 e in BDE attraversando R2 e R3 in serie.
!! = !! !! = 20! !! = !! !!+ !! = 10! !!− !! = !! = !!!! = !! !!+ !!!! = !! 2 = 40! !! = !!! = 40 !" T chiuso.
B coincide con E e i poli del generatore sono circuitati. Il condensatore si scarica su R2 e R3 che sono in parallelo. ! = !!!! !!+ !! = 2 !Ω ! = !" = 2 !" ! = !!!! ! ! !" ! !! = !" 1 2= − ! ! ! = ! !"2 = 1.39 !" Problema 3
a) Dalla geometria si vede subito che i tratti rettilinei di corrente non danno contributo di campo magnetico al centro. Il campo al centro della semicirconferenza dovuto alla corrente che vi scorre si calcola con la legge di Biot-Savart: !" = !! ! !!×!
!!!! =
!! ! !!!"
!!!!! essendo r e dl perpendicolari punto per punto. Il campo è perpendicolare al foglio ed integrando su dθ si ottiene: ! =!! !
!!!
b) La forza sui fili rettilinei vale F/L=IB0, giace nel piano del sistema ed è diretta
perpendicolarmente ai fili. La forza sul filo semicircolare è radiale, punto per punto alla semicirconferenza. La forza totale pertanto non ha componente x ma solo componente y; calcoliamo solo quest’ultima: !!! = !"#$%&'! = !!!!!!" !"#$, dove α è l’angolo che il generico raggio forma con l’asse x. Quindi !! = !!!!!!!!"#$%$ = 2!!!!!
c) La forza elettromotrice indotta nella spira circolare di raggio R può essere calcolata
considerando il campo B generato dal filo semicircolare costante su di essa, essendo R<<R1.
Quindi semplicemente vale: ! = − !" !" =
!! !!!!!!!!"#$%#&'$%
