Compito scritto di Controlli Automatici del 10 Luglio 2020

Compito scritto di Controlli Automatici del 10 Luglio 2020

Domande a risposta multipla

Si risponda alle seguenti domande a risposta multipla. Almeno una delle risposte ´e vera. Per ciascuna domanda riportare sul foglio delle risposte le lettere di tutte le riposte che si ritengono vere.

1. La massima sovraelongazione percentuale S% della risposta al gradino di un sistema del secondo ordine privo di zero ´e esprimibile nel seguente modo:

A. S% = 100 e

−δπ

√1−δ2

B. S% = 100 e

−δωn

√1−δ2

C. S% = 100 e

−δπ

√1−2δ2

D. S% = 100 e

−δωn

√1−2δ2

2. Un sistema del secondo ordine a poli complessi coniugati e privo di zeri, ha un picco di risonanza MR

maggiore di uno A. se 0 < δ < ¹₂ B. se 0 < δ < √¹

2

C. se 0 < δ < 1 D. se 0 < δ <√

2

3. Il ritardo puro G(s) = e^−t0s `e un sistema:

A. lineare B. non lineare C. stabile

D. a fase minima

4. Sia dato il diagramma di Nyquist (vedi figura) della seguente funzione G(s) = ^0.5(s+1)_s

(1−s) . Utilizzando il criterio di Nyquist `e possibile

affermare che il sistema retroazionato K G(s)

`e stabile per i seguenti valori di K:

A. 0 < K < K^∗< ∞;

B. 0 < K^∗< K < ∞;

C. −∞ < K^∗< K <0;

D. −∞ < K < K^∗<0; ^-1

-0.5 0 0.5 1 1.5

Imag

Diagramma di Nyquist

0.39 0.47 0.56 0.68 0.82 1 1.51.2 3.92.2 18

5. Tipicamente, quali delle seguenti reti correttrici `e bene utilizzare se si vuole stabilizzare in retroazione un sistema caratterizzato da un margine di fase fortemente negativo?

A. un regolatore PD;

B. un regolatore PI;

C. una rete anticipatrice;

D. una rete ritardatrice;

6. Per poter applicare il criterio del cerchio, la caratteristica non lineare y(x) deve:

A. passare per l’origine B. essere ad un sol valore

C. essere simmetrica rispetto all’origine D. essere contenuta nel I e nel III quadrante

7. La trasformata Zeta nella risoluzione delle equazioni alle differenze:

A. permette di calcolare la risposta libera del sistema B. permette di calcolare la risposta forzata del sistema

C. pu`o essere utilizzata anche nel caso di equazioni alle differenze non lineari

D. pu`o essere utilizzata anche nel caso di equazioni alle differenze lineari tempo-varianti 8. Sul piano z i luoghi dei punti a decadimento costante

A. sono rette uscenti dall’origine

B. sono circonferenze centrate nell’origine

C. sono tratti di spirali decrescenti verso l’origine D. nessuna delle precedenti

9. Indicare quale dei seguenti sistemi discreti G(z) tende a zero “pi`u velocemente”:

A. G(z) = _z(z+0.8)¹ B. G(z) = _z(z+0.6)¹ C. G(z) = _z(2z−1)¹ D. G(z) = _z(4z−1)¹

10. Nel metodo di descretizzazione per “corrispondenza poli/zeri” applicato alla funzione D(s), il calcolo del guadagno k alle alte frequenze prevede l’utilizzo della relazione

A. lim_s→0G(s) = lim_z→1G(z) B. lim_s→0G(s) = lim_z→−1G(z) C. lim_s→∞G(s) = lim_z→∞G(z) D. lim_s→∞G(s) = lim_z→−1G(z)

Domande dirette

Si risponda alle seguenti domande dirette. Per ciascuna domanda riportare sul foglio delle risposte la corrispondente risposta.

11. Calcolare la trasformata di Laplace X(s) del seguente segnale temporale x(t):

X(s) = L[x(t)] = L2δ(t) + 5 + 6 e^{−3 t}cos 4t = . . .

12. Calcolare la trasformata di Laplace inversa g(t) delle seguente funzione di trasferimento G(s):

g(t) = L^-1[G(s)] = L^-1

 20

s(s + 2)(s + 5)



= . . .

13. In figura sono mostrati i diagrammi di Bode di un sistema lineare G(s) a fase minima.

Calcolare la risposta a regime y(t) del sistema G(s):

y(t) ≃ . . .

quando in ingresso `e presente il seguente segnale sinusoidale:

x(t) = 3 + 5 sin(10t).

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30

Mag (db)

Diagramma dei moduli

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

Frequency [rad/s]

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

Phase (deg)

Diagramma delle fasi

14. Scrivere la fase ϕ(ω) = arg G(jω) della funzione di risposta armonica del seguente sistema G(s) suppo- nendo t₀ >0:

G(s) = (3s + 2)

s(2 s − 5)e^{−2 t0s} → ϕ(ω) = . . . 15. Scrivere la funzione descrittiva F (X) di un rel`e ideale di ampiezza Y₁:

F(X) = . . .

16. Scrivere l’equazione alle differenze corrispondente alla seguente funzione di trasferimento:

G(z) = Y(z)

= 3 + 5z⁻¹

→ . . .

17. Calcolare il valore iniziale y₀ = lim

t→0⁺y(t) e il valore finale y_∞= lim

t→∞y(t) del segnale y(t) corrispondente alla seguente trasformata di Laplace Y (s):

Y(s) = 2 (3 − 5 s)(s + 4)

s(3 s + 1)(10 s + 3) → y₀ = . . . y_∞= . . .

18. Posto T = 0.1 e utilizzando la corrispondenza piano s - piano z, calcolare il tempo di assestamento Ta

della risposta impulsiva g(k) del sistema discreto G(z) = _z−0.6^z : T_a= . . .

19. A fianco `e riportato il luogo delle radici del si- stema G(s) = _(s+1)(s−2)^(s+2) posto in retroazione negativa al variare del parametro K > 0.

Calcolare il valore K_acorrispondente alla con- dizione di minimo tempo di assestamento del sistema retroazionato:

K_a= . . .

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Real -3

-2 -1 0 1 2 3

Imag

Luogo delle radici

20. Calcolare l’evoluzione libera del sistema 4 ˙y(t) + 3 y(t) = 0 con condizione iniziale y(0) = 5.

y(t) = . . .

Esercizi

Si svolgano i seguenti esercizi. La risposta di ciascun esercizio deve essere riportata sul foglio delle risposte nella sezione specificatamente riservata al corrispondente esercizo.

21. (Mason) Relativamente allo schema a blocchi mostrato in figura, calcolare la funzione di trasferimento G₁(s) = _X^Y(s)_(s):

G₁(s) = . . .

-

X(s) Y(s)

- -

X(s) Y(s)

-

B

B CC

D D A A

F F

E E

22. (Risposta al gradino)

Disegnare l’andamento qualitativo y₁(t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema:

G(s) = 1200(3 + 0.5s)(s²+ 8s + 20²)

(2s + 6)(3s + 25)²(s²+ 0.2s + 4)(s²+ 4s + 81)

Calcolare inoltre:

a) il valore a regime y_∞ della risposta al gradino per t → ∞;

b) il tempo di assestamento Ta della risposta al gradino y₁(t);

c) il periodo T_ω dell’eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y1(t):

y_∞= T_a≃ T_ω≃

t y₁(t)

23. (Margini di stabilit´a) Sia data la funzione di risposta armonica, riportata in figura, di un sistema G(s) a fase minima. Nei limiti della precisione consentita dal grafico, calcolare:

a) il margine di ampiezza Mα del sistema;

b) il margine di fase M_ϕ del sistema;

c) il guadagno Kϕ per cui il sistema KϕG(s) ha un margine di fase Mϕ= 45;

d) il guadagno K per cui il sistema K G(s) ha un margine di ampiezza M = 5;

a) M_a=. . . . b) M_ϕ= . . . . c) K_ϕ = . . . . d) K_α= . . . .

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Real -2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

Diagramma di Nyquist

1.2

1.5 1.8

2.22.7

3.9

24. (Criterio di Routh) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s) 2(s − 0.2) s(s²+ s + 9)

- 6

r(t) y(t)

Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

25. (Diagrammi asintotici di Bode) Vedi (24). Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s).

26. (Diagramma di Nyquist) Vedi (24). Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo”

della funzione G(s). Calcolare esattamente la posizione σ_adi un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ^∗_i con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω_i^∗.

27. (Stima di una funzione G(s))

Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura.

Nei limiti della precisione consentita dal grafico, ricavare l’espressione analitica della funzione G(s). Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ.

G(s) = . . .

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10

Mag (db)

Diagramma dei moduli

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

Frequency [rad/s]

-270 -225 -180 -135 -90 -45 0

Phase (deg)

Diagramma delle fasi

28. (Luogo delle radici) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G₁(s) (s + 3)(s + 1) s(s − 2)(s + 5)²

- 6

r(t) y(t)

tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K > 0.

Determinare esattamente la posizione degli asintoti. Determinare la posizione di eventuali punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

29. (Contorno delle radici) Sia data la seguente equazione caratteristica di un sistema retroazionato:

1 +8(s + α)(s + 10)

s³ = 0

Tracciare qualitativamente il contorno delle radici dell’equazione caratteristica al variare del parametro α > 0. Il calcolo di α^∗ non `e necessario. Determinare la posizione dei punti di diramazione “solo in modo qualitativo”. a

30. (Rete correttrice: Nyquist)

Sia data la funzione di risposta armoni- ca del sistema Ga(s) riportata a fianco.

Progettare una rete correttrice C_a(s) = 1 + τ1s

1 + τ₂s

in grado di far passare la funzio- ne di risposta armonica del siste- ma C_a(s)G_a(s) per il punto B = (−0.5, −0.5). Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u

opportuno. -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 Real

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

0 0.12 0.27 0.39 0.56 0.68 0.82 1 1.2

1.5

1.8 2.2 3.3 2.7

3.9 4.7 5.6 6.8

8.2 10

12 1518 27

Sistema Ga(s): diagramma di Nyquist

31. (Rete correttrice: Nichols)

Sia data la funzione di risposta armoni- ca del sistema G_b(s) riportata a fianco.

Progettare una rete anticipatrice C_b(s) = 1 + τ₁s

1 + τ₂s

in modo da garantire al sistema com- pensato un margine di fase Mϕ = 50^o. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno.

-230 -220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 Phase [degrees]

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

Mag [db]

0.560.47 0.68 0.82 1 1.2 1.5

1.8 2.2 2.7 3.3

4.7

6.8

10

15

22

Sistema Gb(s): diagramma di Nichols

32. (Punto di lavoro) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:

- - K s+ 1

-N.L. ^- 3 s+ 1

-

2  s+ 1 6

r e x y

- 6

3 6

−3

−6

x 45

−4−5 y

Posto K = 1, determinare per quale valore r₁ del riferimento r il punto di lavoro del sistema retroazio- nato coincide con il punto (x₁, y₁) = (6, 5).

33. (Criterio del cerchio) Vedi (32). Posto K = 1, r = r1 ed utilizzando il criterio del cerchio, dire se il sistema retroazionato `e stabile nell’intorno del punto di lavoro (x₁, y₁) = (6, 5).

34. (Funzione descrittiva) Vedi (32). Disegnare in modo qualitativo l’andamento della funzione descrit- tiva F (X) della non linearit`a N.L. assegnata, prendendo l’origine come punto di lavoro. Utilizzare delle variabili (per esempio: m1, m₂, . . .) per rappresentare gli eventuali valori non noti minimi e massimi della funzione F (X).

35. (Discussione al variare di K) Vedi (32). Discutere “qualitativamente” (anche in funzione dei para- metri m1, m2, . . .) l’esistenza o meno di cicli limite nel sistema retroazionato al variare del guadagno K >0.

36. (Discretizzazione) Utilizzando il metodo della trasformazione bilineare, discretizzare la seguente rete correttrice

D(s) = M(s)

E(s) = (s + 1) s

giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo

37. (Esercizio opzionale 37).