Compito scritto di Controlli Automatici del 10 Luglio 2020

(1)

Domande a risposta multipla

Si risponda alle seguenti domande a risposta multipla. Almeno una delle risposte ´e vera. Per ciascuna domanda riportare sul foglio delle risposte le lettere di tutte le riposte che si ritengono vere.

1. La massima sovraelongazione percentuale S% della risposta al gradino di un sistema del secondo ordine privo di zero ´e esprimibile nel seguente modo:

A. S% = 100 e

√−δπ 1−δ2

B. S% = 100 e

√−δωn 1−δ2

C. S% = 100 e

√−δπ 1−2δ2

D. S% = 100 e

√−δωn 1−2δ2

2. Un sistema del secondo ordine a poli complessi coniugati e privo di zeri, ha un picco di risonanza MR

maggiore di uno A. se 0 < δ < ¹₂ B. se 0 < δ < √¹

2

C. se 0 < δ < 1 D. se 0 < δ <√

2

3. Il ritardo puro G(s) = e^−t⁰^s `e un sistema:

A. lineare B. non lineare C. stabile

D. a fase minima

4. Sia dato il diagramma di Nyquist (vedi figura) della seguente funzione G(s) = ^0.5(s+1)_s

(1−s) . Utilizzando il criterio di Nyquist `e possibile

affermare che il sistema retroazionato K G(s)

`e stabile per i seguenti valori di K:

A. 0 < K < K^∗< ∞;

B. 0 < K^∗< K < ∞;

C. −∞ < K^∗< K < 0;

D. −∞ < K < K^∗< 0;

dove K^∗ ´e un opportuno valore costante.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Real -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Imag

Diagramma di Nyquist

0.33 0.39 0.47 0.56 0.68 0.82 1 1.51.2 3.92.2 18

(2)

5. Tipicamente, quali delle seguenti reti correttrici `e bene utilizzare se si vuole stabilizzare in retroazione un sistema caratterizzato da un margine di fase fortemente negativo?

A. un regolatore PD;

B. un regolatore PI;

C. una rete anticipatrice;

D. una rete ritardatrice;

6. Per poter applicare il criterio del cerchio, la caratteristica non lineare y(x) deve:

A. passare per l’origine B. essere ad un sol valore

C. essere simmetrica rispetto all’origine

D. essere contenuta nel I e nel III quadrante

7. La trasformata Zeta nella risoluzione delle equazioni alle differenze:

A. permette di calcolare la risposta libera del sistema B. permette di calcolare la risposta forzata del sistema

C. pu`o essere utilizzata anche nel caso di equazioni alle differenze non lineari

D. pu`o essere utilizzata anche nel caso di equazioni alle differenze lineari tempo-varianti 8. Sul piano z i luoghi dei punti a decadimento costante

A. sono rette uscenti dall’origine

B. sono circonferenze centrate nell’origine C. sono tratti di spirali decrescenti verso l’origine D. nessuna delle precedenti

9. Indicare quale dei seguenti sistemi discreti G(z) tende a zero “pi`u velocemente”:

A. G(z) = _z(z+0.8)¹ B. G(z) = _z(z+0.6)¹ C. G(z) = _z_(2z−1)¹ D. G(z) = _z_(4z−1)¹

10. Nel metodo di descretizzazione per “corrispondenza poli/zeri” applicato alla funzione D(s), il calcolo del guadagno k alle alte frequenze prevede l’utilizzo della relazione

A. lim_s→0G(s) = lim_z→1G(z) B. lim_s→0G(s) = lim_z→−1G(z) C. lim_s→∞G(s) = lim_z→∞G(z) D. lim_s→∞G(s) = lim_z→−1G(z)

(3)

Domande dirette

Si risponda alle seguenti domande dirette. Per ciascuna domanda riportare sul foglio delle risposte la corrispondente risposta.

11. Calcolare la trasformata di Laplace X(s) del seguente segnale temporale x(t):

X(s) = L[x(t)] = L2δ(t) + 5 + 6 e^{−3 t}cos 4t = X(s) = 2 + 5

s+ 6 (s + 3) (s + 3)²+ 16 12. Calcolare la trasformata di Laplace inversa g(t) delle seguente funzione di trasferimento G(s):

g(t) = L^-1[G(s)] = L^-1

20

s(s + 2)(s + 5)

= g(t) = 2 − 10

3 e^−2t+4

3e^−5t = 2 − 3.333 e^−2t+ 1.333 e^−5t Infatti si ha:

G(s) = 20

s(s + 2)(s + 5) = K1

s + K2

s + 2+ K3

s + 5 = 2

s− 10

3(s + 2)+ 4 3(s + 5) 13. In figura sono mostrati i diagrammi di Bode di un sistema lineare G(s) a fase minima.

Calcolare la risposta a regime y(t) del sistema G(s):

y(t) ≃ 30 + 50 sin(10t − 80^◦)

quando in ingresso `e presente il seguente segnale sinusoidale:

x(t) = 3 + 5 sin(10t).

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30

Mag (db)

Diagramma dei moduli

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

Frequency [rad/s]

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

Phase (deg)

Diagramma delle fasi

14. Scrivere la fase ϕ(ω) = arg G(jω) della funzione di risposta armonica del seguente sistema G(s) suppo- nendo t₀ > 0:

G(s) = (3s + 2)

s(2 s − 5)e^{−2 t}⁰^s → ϕ(ω) = arctan3ω

2 − 2 t⁰ω −π

2 − π + arctan2ω 5

(4)

15. Scrivere la funzione descrittiva F (X) di un rel`e ideale di ampiezza Y₁: F (X) = 4 Y1

π X

16. Scrivere l’equazione alle differenze corrispondente alla seguente funzione di trasferimento:

G(z) = Y (z)

X(z) = 3 + 5z⁻¹

2 z + 6 + 4 z⁻¹+ 3 z⁻² → 2 y_k+1+ 6 y_k+ 4 y_k−1+ 3 y_k−2= 3 x_k+ 5 x_k−1 17. Calcolare il valore iniziale y₀ = lim

t→0⁺y(t) e il valore finale y_∞= lim

t→∞y(t) del segnale y(t) corrispondente alla seguente trasformata di Laplace Y (s):

Y (s) = 2 (3 − 5 s)(s + 4)

s(3 s + 1)(10 s + 3) → y₀= −1

3 y_∞= 8

18. Posto T = 0.1 e utilizzando la corrispondenza piano s - piano z, calcolare il tempo di assestamento Ta

della risposta impulsiva g(k) del sistema discreto G(z) = _z−0.6^z :

Ta= 3

1

T| ln(0.6)| = 0.3

| ln(0.6)| = 0.5873

19. A fianco `e riportato il luogo delle radici del sistema G(s) = _(s+1)(s−2)^(s+2) posto in retroazione negativa al variare del parametro K > 0.

Calcolare il valore Kacorrispondente alla condizione di minimo tempo di assestamento del sistema retroazionato:

Ka= − 1 G(s)

s=−4

= 9

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Real -3

-2 -1 0 1 2 3

Imag

Luogo delle radici

20. Calcolare l’evoluzione libera del sistema 4 ˙y(t) + 3 y(t) = 0 con condizione iniziale y(0) = 5. Applicando la trasformata di Laplace si ha:

4 (sY (s) − 5) + 3Y (s) = 0 → Y (s) = 5

s +³₄ → y(t) = 5 e^{−0.75 t}

(5)

Esercizi

Si svolgano i seguenti esercizi. La risposta di ciascun esercizio deve essere riportata sul foglio delle risposte nella sezione specificatamente riservata al corrispondente esercizo.

21. (Mason) Relativamente allo schema a blocchi mostrato in figura, calcolare la funzione di trasferimento G₁(s) = _X^Y^(s)_(s):

G₁(s) = BC + A(1 + BD)

1 + BD + AF + BCED + BCF + BDAF

-

X(s) Y(s)

- -

X(s) Y(s)

-

B

B CC

D D A A

F F

E E

22. (Risposta al gradino)

Disegnare l’andamento qualitativo y₁(t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema:

G(s) = 1200(3 + 0.5s)(s²+ 8s + 20²)

(2s + 6)(3s + 25)²(s²+ 0.2s + 4)(s²+ 4s + 81) Calcolare inoltre:

a) il valore a regime y_∞ della risposta al gradino per t → ∞;

b) il tempo di assestamento Ta della risposta al gradino y₁(t);

c) il periodo Tω dell’eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y₁(t):

y_∞== 32

27 = 1.1852, T_a≃ _0.1³ = 30 s, T_ω ≃ π = 3.145.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Time [s]

0 0.5 1 1.5 2

2.5 Risposta al gradino

y(t)

y_∞

Ta

T_ω

23. (Margini di stabilit´a) Sia data la funzione di risposta armonica, riportata in figura, di un sistema G(s) a fase minima. Nei limiti della precisione consentita dal grafico, calcolare:

a) il margine di ampiezza Mα del sistema;

b) il margine di fase Mϕ del sistema;

c) il guadagno Kϕ per cui il sistema KϕG(s) ha un margine di fase Mϕ= 45;

d) il guadagno Kα per cui il sistema KαG(s) ha un margine di ampiezza Mα= 5;

(6)

I parametri richiesti hanno il seguente valore:

a) Mα= 0.67533 b) Mϕ= −14.7^◦ c) Kϕ = 0.354 d) Kα= 0.135

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Real -2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

1.2

1.5 1.8

2.22.7

3.9 1/Mα

Mϕ

Kϕ

Kα

24. (Criterio di Routh) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s) 2(s − 0.2) s(s²+ s + 9)

- 6

r(t) y(t)

Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

Soluzione.

L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 + 2K(s − 0.2)

s(s²+ s + 9) = 0 → s³+ s²+ (9 + 2K)s − 0.4K = 0 La tabella di Routh ha la seguente struttura:

3 1 (9 + 2K)

2 1 −0.4K

1 9 + 2.4K 0 −0.4K Dalla tabella di Routh si ricavano i seguenti vincoli:

9 + 2.4K > 0, K < 0.

Ne segue che il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile per:

K^∗= −3.75 = − 9

2.4 < K < 0 La pulsazione ω^∗ corrispondente al valore limite K^∗ `e:

ω^∗ =√

−0.4K^∗ =p(9 + 2K^∗) =√

1.5 = 1.225

(7)

Diagramma asintotico dei moduli

0.2 -1

O.

3 0

2x.

-2

-60.

-40.

-20.

0.

20.

Diagramma a gradoni delle fasi

0.2 O.

3 2x.

-180.

-90.

0.

90.

G₀(s)

G_∞(s)

β γ

ϕ_∞ ϕ₀

Figura 1: Diagrammi asintotici di Bode della funzione Gd(s).

25. (Diagrammi asintotici di Bode) Vedi (24). Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s).

Soluzione.

I diagrammi “asintotici” di Bode della funzione Gd(s) sono mostrati in Fig. 1. I diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) sono mostrati in Fig. 2. Le funzioni approssimanti G₀(s) e G_∞(s) per ω → 0 ed ω → ∞ sono le seguenti:

G0(s) = −0.4

9 s = −0.0444 s = K0

s , G_∞(s) = 2

s². Le corrispondenti fasi ϕ₀ e ϕ_∞ hanno il seguente valore:

ϕ₀ = −3π 2 ≡ π

2, ϕ_∞= π ≡ −π.

Sul diagramma asintotico delle ampiezze, il guadagno β in corrispondenza della pulsazione ω = 0.2 e il guadagno γ in corrispondenza della pulsazione ω = 3 sono:

β = 0.4

9 · 0.2 = 0.2222 ≃ −13.06 db, γ = 2

3² = 0.2222 ≃ −13.06 db.

26. (Diagramma di Nyquist) Vedi (24). Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo”

della funzione G(s). Calcolare esattamente la posizione σadi un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ^∗_i con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω_i^∗.

Soluzione. Il diagramma di Nyquist della funzione G(s) per ω∈ [0, ∞] `e mostrato in Fig. 3.

(8)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ -60

-40 -20 0 20 40

Mag (db)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹

Frequency [rad/s]

-100 0 100

Phase (deg)

G₀(s)

G_∞(s)

β γ

ϕ_∞ ϕ0

Figura 2: Diagrammi di Bode della funzione G(s).

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Real -0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Imag

0.1 0.12 0.15 0.18 0.22 0.330.47 0.821.5

1.8

2.2

3.3 2.7 3.9

4.7 σa

Figura 3: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) per ω ∈ [0, ∞].

(9)

La fase iniziale del sistema `e ϕ₀ = ^π₂. Per ω → 0⁺ il diagramma parte in ritardo rispetto a tale fase in quanto la somma delle costanti di tempo del sistema `e negativa:

∆τ = −5 −1

9 = −5.1111 < 0.

Il sistema ´e di tipo 1. La posizione dell’asintoto verticale ´e la seguente:

σa= K₀∆τ = (−0.0444) · (−5.1111) = 0.2272

La variazione di fase ∆ϕ = −^3π₂ che il sistema subisce per ω ∈]0, ∞[ indica che il vettore G(jω) ruota di ^3π₂ in senso orario per raggiungere la fase finale ϕ_∞ = −π. Esiste un’unica intersezione σ^∗1 con il semiasse reale negativo. Tale intersezione si determina nel modo seguente:

σ^∗₁ = − 1

K^∗ = − 1

−3.75 = 0.2667 Il corrispondente valore di pulsazione `e: ω^∗₁ = 1.225. Essendo

∆p = 0.2 + 1 = 1.2 > 0

si pu´o affermare che la G(jω), per ω → ∞, arriva in anticipo rispetto alla fase finale ϕ∞= −π.

27. (Stima di una funzione G(s))

Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura.

Nei limiti della precisione consentita dal grafico, ricavare l’espressione analitica della funzione G(s). Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ.

G(s) = 1000(s + 0.3)(s − 2) s(s²+ 6s + 10²)(s − 200).

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10

Mag (db)

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

Frequency [rad/s]

-270 -225 -180 -135 -90 -45 0

Phase (deg)

Soluzione:

La funzione di trasferimento del sistema `e la seguente:

G(s) = 1000(s + 0.3)(s − 2) s(s²+ 6s + 10²)(s − 200).

Il valore K = 1000 si determina, per esempio, calcolando il modulo γ dell’approssimante G₀(s) in corrispondenza della pulsazione ω = 0.3:

|G⁰(s)|s=0.3 j =

K0.6 100 · 200s

0.3 j

= K

10000 = γ ≃ −20 db ≃ 0.1 → K ≃ 1000.

(10)

Il coefficiente di smorzamento della coppia di poli complessi coniugati stabili `e il seguente:

δ = 1 2Mωn

= 1 5 = 0.3.

La distanza Mωn ≃ 4.5 db ≃ 1.66 di legge dal diagramma di Bode dei moduli.

28. (Luogo delle radici) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G₁(s) (s + 3)(s + 1) s(s − 2)(s + 5)²

- 6

r(t) y(t)

tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K > 0.

Determinare esattamente la posizione degli asintoti. Determinare la posizione di eventuali punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

Sol. L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 + K₁G₁(s) = 0 ↔ 1 + K (s + 3)(s + 1) s(s − 2)(s + 5)² = 0

L’andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema G₁(s) al variare di K > 0 `e mostrato in Fig. 4.

Il luogo delle radici `e caratterizzato da due asintoti verticali. Il centro degli asintoti σa ´e il seguente:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Real -8

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Imag

σa

Figura 4: Luogo delle radici del sistema G₁(s) al variare di K > 0.

σa= 1

2(2 − 10 + 3 + 1) = −2

(11)

29. (Contorno delle radici) Sia data la seguente equazione caratteristica di un sistema retroazionato:

1 +8(s + α)(s + 10)

s³ = 0

Tracciare qualitativamente il contorno delle radici dell’equazione caratteristica al variare del parametro α > 0. Il calcolo di α^∗ non `e necessario. Determinare la posizione dei punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

Sol. L’equazione caratteristica pu´o essere riscritta nel seguente modo 1 + α G₂(s) = 0:

s³+ 8(s + α)(s + 10) = 0 → 1 + α 8(s + 10)

s(s²+ 8s + 80) = 0 Mettendo in evidenza i poli della funzione G₂(s) si ha:

1 + α 8(s + 10) s[(s + 4)²+ 8²] = 0

Il contorno delle radici al variare del parametro α > 0 `e mostrato in Fig. 5.

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4

Real -20

-16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20

Imag

σa

Figura 5: Contorno delle radici del sistema G₂(s) al variare del parametro α > 0.

Il contorno delle radici ha due asintoti verticali. Il centro dei due asintoti del sistema `e:

σa= 1

2(−8 + 10) = 1 30. (Rete correttrice: Nyquist)

(12)

Sia data la funzione di risposta armonica del sistema Ga(s) riportata a fianco.

Progettare una rete correttrice Ca(s) = 1 + τ1s

1 + τ₂s

in grado di far passare la funzione di risposta armonica del sistema compensato C_a(s)G_a(s) per il punto B = (−0.5, −0.5). Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u

opportuno. -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 Real

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

0 0.12 0.27 0.39 0.56 0.68 0.82 1 1.2

1.5

1.8 2.2 3.3 2.7

3.9 4.7 5.6 6.8

8.2 10

12 1518 27

Sistema Ga(s): diagramma di Nyquist

Sol. Il modulo e la fase del punto B si ricava dalle specifiche di progetto:

M_B =√

0.5 = 0.707, ϕ_B = 225^o

In questo caso è possibile utilizzare solo una rete ritardatrice. La regione ammissibile è mostrata in grigio in Fig. 6. Il punto A = G_a(jω_A) scelto per la sintesi della rete correttrice è quello corrispondente alla pulsazione ωA= 5.6:

MA= 2.898, ϕA= 243^o → M = MB

M_A = 0.2440, ϕ = ϕB− ϕÂ= −18ô La rete correttrice che si ottiene utilizzando le formule di inversione è la seguente:

τ₁ = M − cos ϕ

ω sin ϕ = 0.4086, τ₂= cos ϕ − _M¹

ω sin ϕ = 1.8187 → C_a(s) = 1 + 0.4086 s 1 + 1.8187 s Il diagramma di Nyquist delle funzioni Ga(s) e Ca(s)Ga(s) sono mostrati in Fig. 6.

Reti correttrici relative ad altre scelte della pulsazione ωA:

ω_A=[ 5.6 4.7 3.9 3.3 2.7 ]

MA=[ 2.898 3.354 3.767 4.066 4.344 ] ϕA=[ −117 −100.7 −85.22 −73.05 −60.44 ] M =[ 0.244 0.2108 0.1877 0.1739 0.1628 ] ϕ =[ −18 −34.31 −49.78 −61.95 −74.56 ] τ₁=[ 0.4085 0.2323 0.1538 0.1018 0.0397 ] τ₂=[ 1.818 1.479 1.572 1.813 2.258 ] 31. (Rete correttrice: Nichols)

(13)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 Real

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

A B

0 0.12 0.27 0.39 0.56 0.68 0.82 1 1.2 1.5

1.8 2.2 3.3 2.7

3.9 4.7

5.6 6.8

8.2 10

12 15 18

27 0

0.027 0.056 0.082 0.12 0.15 0.18 0.22 0.27 0.33 0.470.39 0.68 0.56

0.82 1 1.2 1.5 1.8 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2

12

Figura 6: Diagrammi di Nyquist delle funzioni Ga(s) e Ca(s) Ga(s).

Sia data la funzione di risposta armonica del sistema G_b(s) riportata a fianco.

Progettare una rete anticipatrice C_b(s) = 1 + τ₁s

1 + τ2s

in modo da garantire al sistema compensato un margine di fase Mϕ = 50^o. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno.

-230 -220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 Phase [degrees]

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

Mag [db]

0.560.47 0.68 0.82 1 1.2 1.5 1.8 2.2 2.7 3.3

4.7

6.8

10

15

22

Sistema G_b(s): diagramma di Nichols

Sol. La specifica di progetto definisce univocamente la posizione del punto B: MB = 0 db = 1 e ϕB= −130^◦. La regione ammissibile `e mostrata in grigio in Fig. 7.

Il punto A = G(jω_A) scelto per la sintesi della rete correttrice `e quello corrispondente alla pulsazione ωA= 6.8:

MA= |G(jω^A)| = 0.0491, ϕA= arg[G(jωA)] = −193.7^◦. I valori di M e ϕ da usare nelle formule di inversione sono i seguenti:

M = MB

MA

= 20.36, ϕ = ϕB− ϕ^A= 63.73^◦ → Cb(s) = (1 + 3.266 s) (1 + 0.06452 s).

(14)

-230 -220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 Phase [degrees]

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

Mag [db]

A

B

0.47 0.56 0.68 0.82 1 1.2 1.5 1.8 2.2 2.7 3.3

4.7

6.8

10

15 22

1.8 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 8.26.8 1210 15 18 22 27 33 39 47 56 68 82 100 120 150

Sistema Gb(s): diagramma di Nichols

Figura 7: Diagrammi di Nyquist delle funzioni Gb(s) e Cb(s) Gb(s).

I diagrammi di Nichols delle funzioni G_b(s) e C_b(s)G_b(s) sono mostrati in Fig. 7.

Sintesi della rete correttrice Cb(s) con altri valori della pulsazione ωA:

ωA=[ 3.3 4.7 6.8 10 15 22 ]

MA=[ 0.2643 0.1137 0.0491 0.0213 0.0091 0.0041 ] ϕA=[ 163.2 163.6 166.3 169.6 172.7 174.9 ] M =[ 3.783 8.792 20.36 46.89 109.2 238.6 ] ϕ =[ 66.76 66.38 63.73 60.38 57.3 55.1 ] τ₁=[ 1.118 1.949 3.266 5.337 8.607 13.19 ] τ₂=[ 0.0429 0.0666 0.0645 0.0544 0.0420 0.0314 ] 32. (Punto di lavoro) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:

- - G1(s)

K s + 1

-N.L. ^- G2(s)

3 s + 1

-

2 s + 1

H(s) 6

r e x y

- 6

3 6

−3

−6

x 45

−4−5 y

Posto K = 1, determinare per quale valore r1del riferimento r il punto di lavoro del sistema retroazionato coincide con il punto (x₁, y₁) = (6, 5).

(15)

Soluzione. La retta di carico del sistema ´e:

x = K₁(r − K2K₃y) dove K₁ = 1, K₂ = 3, K₃ = 2.

da cui si ricava

x = r − 6y → r = x + 6y

Il valore r₁ si ottiene ponendo x = 3 e y = 5 nella retta di carico:

r1 = 6 + 6 · 5 = 36.

33. (Criterio del cerchio) Vedi (32). Posto K = 1, r = r₁ ed utilizzando il criterio del cerchio, dire se il sistema retroazionato `e stabile nell’intorno del punto di lavoro (x1, y1) = (6, 5).

Soluzione. Per r = r₁ il punto di lavoro coincide con il punto (x₁, y₁) = (6, 5). Le pendenze delle 2 rette che passano nel punto di lavoro e che racchiudono a settore tutta la non linearit`a sono:

α = 1

3 = 0.3333, β = 5

3 = 1.6667.

Il cerchio critico interseca il semiasse reale negativo nei seguenti due punti:

−1

α = −3 − 1

β = −3

5 = −0.6.

Per K = 1, il guadagno d’anello del sistema `e:

G(s) = G₁(s) G₂(s) H(s) = 6 (s + 1)³

Il margine di ampiezza K^∗ e la pulsazione ω^∗ della funzione G(s) si calcolano utilizzando il criterio di Routh. L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 + 6K

(s + 1)³ = 0 → s³+ 3s²+ 3s + 6K + 1 = 0 La tabella di Routh ha la seguente struttura:

3 1 3

2 3 6K + 1

1 8− 6K 0 6K + 1 Il sistema retroazionato ´e stabile per

−1

6 < K < 4

3 = 1.333 = K^∗, ω^∗=√

3 = 1.732.

Essendo K^∗< β, il diagramma di Nyquist della funzione G(s) interseca il cerchio critico per cui, in base al criterio del cerchio, non é possibile affermare nulla sulla globalmente stabilitá o meno del punto di lavoro (x₁, y₁) = (6, 5). In Fig. 8 è mostrato il diagramma di Nyquist della funzione G(s) sovrapposto al cerchio critico.

(16)

-6 -3 0 3 6 9 12 x

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

y(x)

Funzione non lineare y(x)

r.c. α

β

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Real -3.5

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Imag

0.68 0.82

1 1.2

1.5 1.82.2 3.3

Figura 8: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) e cerchio critico.

0 3 6 9 12 15 18 21 24

X 0

0.5 1 1.5

F(X)

Funzione descrittiva

m0

m1

m∞

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Real -3.5

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Imag

0.68 0.82

1 1.2

1.5 1.82.22.7

a) b)

c)

−F(X)¹

Figura 9: Andamento della funzione descrittiva F (X).

(17)

34. (Funzione descrittiva) Vedi (32). Disegnare in modo qualitativo l’andamento della funzione descrittiva F (X) della non linearit`a N.L. assegnata, prendendo l’origine come punto di lavoro. Utilizzare delle variabili (per esempio: m1, m2, . . .) per rappresentare gli eventuali valori non noti minimi e massimi della funzione F (X).

Soluzione. L’andamento qualitativo della funzione descrittiva F (X) `e mostrato in Fig. 9. Nella figura si ´e indicato con m₀ = 0 il valore iniziale della funzione F (X) per X < 3, con m₁ ≃ 0.92 il massimo locale per X ≃ 4.58 e con m∞= 0.3333 il valore finale della funzione F (X) per X → ∞.

35. (Discussione al variare di K) Vedi (32). Discutere “qualitativamente” (anche in funzione dei parametri m₁, m₂, . . .) l’esistenza o meno di cicli limite nel sistema retroazionato al variare del guadagno K > 0.

Soluzione. Per K = 1, il margine di ampiezza ¯K^∗ del sistema G(s) `e ¯K^∗= 1.333. Per K 6= 1, il margine di ampiezza K^∗ del sistema K G(s) `e K^∗ = ^K^¯_K^∗ = ^1.333_K . Al variare di K^∗ si possono avere le seguenti condizioni di funzionamento:

a) Per K^∗ > m₁, il diagramma di Nyquist della funzione G(s) non interseca la funzione −1/F (X) la quale rimane esterna al diagramma polare completo della funzione G(s) per cui il sistema ´e globalmente asintoticamente stabile nell’origine.

b) Per m_∞< K^∗ < m₁, il diagramma di Nyquist della funzione G(s) interseca la funzione −1/F (X) in 2 punti a cui corrispondono 2 cicli limite, uno stabile (quello uscente) e uno instabile (quello entrante).

c) Per K^∗ < m_∞ il diagramma di Nyquist della funzione G(s) interseca la funzione −1/F (X) in un solo punto a cui corrisponde un ciclo limite instabile.

36. (Discretizzazione) Utilizzando il metodo della trasformazione bilineare, discretizzare la seguente rete correttrice

D(s) = M (s)

E(s) = (s + 1) s

giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento T = 0.1.

Sol. Utilizzando il metodo delle differenze all’indietro si ottiene:

D(z) = (s + 1) s

s=_T^2(1−z−1)

(1+z−1)

= 2(1 − z⁻¹) + T (1 + z⁻¹)

2(1 − z⁻¹) = T + 2 + (T − 2)z⁻¹ 2 − 2z⁻¹ Per T = 0.1 si ha:

D(z) = M (z)

E(z) = 2.1 − 1.9z⁻¹ 2 − 2z⁻¹ La corrispondente equazione alle differenze assume la forma seguente:

m(k) = 1

2[2 m(k − 1) + 2.1 e(k) − 1.9 e(k − 1)]

cio`e:

m(k) = m(k − 1) + 1.04 e(k) − 0.95 e(k − 1)]

37. (Esercizio opzionale 37).