Effetto dell'ozono sulla salute umana: un approccio basato sull'utilizzo delle concentrazioni orarie

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Universit`

a degli Studi di Padova

FACOLT `

A DI SCIENZE STATISTICHE

Corso di Laurea Specialistica in Statistica e Informatica

Tesi di Laurea

Effetto dell’ozono sulla salute umana:

un approccio basato sull’utilizzo

delle concentrazioni orarie

Relatore:

Prof.ssa Monica Chiogna

Laureando:

Filippo Da Re

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Introduzione 1

1 Base di partenza 5

1.1 Misura dell'esposizione . . . 5

1.2 Eetto dell'ozono . . . 9

2 I dati: un'analisi preliminare 13 3 Preparazione dei Modelli 29 3.1 Espansione deidati giornalieri . . . 29

3.2 FormulazionedeiModelliAdditivi . . . 32

3.2.1 Costruzione . . . 32

3.2.2 La sceltadei GAM . . . 33

3.3 Core Models . . . 35 3.3.1 Ricalibrazione . . . 40 4 Inserimento dell'Ozono 47 4.1 I Modelli nali . . . 48 4.2 Risultati sull'Ozono . . . 55 5 Conclusioni 61

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1.1 Esempiodella distribuzione diOzono nell'arco diunagiornata . . . 8

2.1 MediagiornalieradiOzononeglianni1998-2003 nellacittàdiMilano 18

2.2 Valorigiornalieri di

O

3

peritremesi estividal'98al'03 . . . 19 2.3 Valoriorari di

O

3

peritremesi estividal'98al'03 . . . 20 2.4 Rilevazioni orarie diOzonorelative allagiornata dell'11 Agosto2003 21

2.5 Distribuzioneoraria della quantità di

O

3

. . . 22 2.6 Numero diricoveri legatiaproblemi ditipo respiratorio,registrati

aMilano nelperiodoindicato . . . 23

2.7 Andamento del

P M

10

e dell'

O

3

nell'arco dei seianniconsiderati . 25 2.8 Temperatura giornalierae livello diOzono . . . 26

2.9 Distribuzionerispettoaigiorni della settimana edifestadiOzono e del numero di ricoveri. I giorni della settimana sono codicati con 0=Domenica; 1=Lunedì; ... . . 27

2.10 Numero di ricoveri, livello di Ozono e Temperatura divisi nei sei annidello studio . . . 28

3.1 ConcentrazionediOzono . . . 30

4.1 Gracidellesplinedilisciamentonelprimomodello. Insensoorario dain altoa sinistra: s(Tempo), s(Temperatura) es(Temperat.-rit.). 52

4.2 Analisideiresiduididevianzaperiduemodelli: graco Quantile-Quantile eIstogrammadelle frequenze . . . 54

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4.5 EettodiOzonoeTemperatura-ritsulleprevisionidelnumero di ricoveri . . . 59

(7)

2.1 Valoridisoglia per l'Ozono . . . 17

3.1 Valorimedi,divisiperora,diozono . . . 30

3.2 Coecienti parametrici,Core Model 1 . . . 37

3.3 Signicatività approssimatadeitermini lisciati,Core Model1 37 3.4 Indici, Core Model 1 . . . 38

3.5 Coecienti parametrici,Core Model 2 . . . 39

3.6 Signicatività approssimatadeitermini lisciati,Core Model2 39 3.7 Indici, Core Model 2 . . . 39

3.8 Stime deicoecienti

β

·

neidue CoreModel . . . 40

3.9 Indici relativiaidue Core Model . . . 41

3.10 EDFperlevariabiliusate nonparametricamente . . . 42

3.11 Indicatoriperlevariabiliutilizzate parametricamente . . . 43

3.12 Calcolo delle costanti

t

i

diricalibrazione . . . 44

4.1 Indici relativiaidue Modellidenitivi . . . 49

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(9)

Questo studio analizza la problematica relativa all'analisi della relazio-ne tra inquinamento dell'aria e salute dell'uomo. In particolare, la tesi si concentra sull'ozono, per trovare un metodo signicativo con cui trattarlo all'interno di uno studio sugli eetti causati dall'

O

3

troposferico sulle con-dizioni di salute dell'uomo, rappresentata dal numero di ricoveri registrati dovuti aproblemi allevie respiratorie.

Diversi studi epidemiologicihannogiàdimostratol'eetto nocivoche le par-ticelledi ozononell'aria,respirate dall'uomo,hannosulsistemarespiratorio. Dunque lo scopo di questo lavoro è cercare di determinare un buon meto-do di rappresentazione della concentrazione di

O

3

in un modello che mette in relazione salute ed inquinamento. La motivazione di base che spinge a ricercare modidiversi di rappresentare la concentrazionedell'inquinante nei modellièdovutaall'inecaciadiindicigiornalieriqualilamedia,ilmassimo o lamediana.

Già diversi studi hanno dimostrato che modicando l'informazione relativa all'inquinantesi possono ottenere risultati diversi.

Cercheremo quindi di vericare se, utilizzando le singole rilevazioni orarie, si riesca a dare il giustopeso all'ozono. Confronteremo due modelliadditivi generalizzati, ilprimo contenente un indice giornalierocome lamedia, men-tre nel secondo inseriremo tutti i dati orari per cercare dicogliere lagrande diversitàdi valoriche vengonomisurati nell'arcodiuna giornata.

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permodellareilconteggiogiornalierodiricoveriospedalieri,considerando so-loquelliregistratiperproblemiallevierespiratorie,infunzionediun insieme di variabili esplicative. Quest'ultime verranno diviseindue gruppi: ilprimo sarà l'insiemeditutte levariabiliconfondenti,ovvero quelleche utilizzeremo perdescrivere l'ambienteincuilavoriamo mache non sarannodirettamente sottostudio,ilsecondo comprendenteun'unica variabileriguardantel'ozono, oggettodiquesta tesi.

Per vericare se un aumento di informazione sull'ozono, all'interno di un modello, comporti migliori risultati in uno studio salute-inquinamento, confronteremotradiloroduemodelli,similitraloro,con duediverse speci-cazioniper laconcentrazione dell'ozono. La prima sarà la mediagiornaliera diconcentrazione di

O

3

, mentre la seconda utilizzerà le singole osservazioni orarie.

Lostudioeleanalisisviluppateinquestatesisonostatefattesudati rile-vatinellacittàdiMilanonell'arcoditempotrail1998eil2003. Utilizzando le fonti Istat, abbiamo ottenuto il numero di ricoveri ospedalieri avvenuti nella città lombarda nel periodo di tempo indicato, dai quali abbiamo sele-zionato,considerando laclassedietà elatipologiadiricovero, i datirelativi ai ricoveri per problemi respiratori. Tutti i valoriinerenti l'ozono e gli altri elementiatmosfericisono stati raccoltidaARPA Lombardia.

Latesièsuddivisibileinquattropartidelineate daiquattro capitoli prin-cipali.

NelCapitolo1 si introdurrà l'argomentodando uno sguardogenerale ad ar-ticolie lavori giàpubblicati sull'argomento. In particolare, si sottolineerà la necessità di sopperire allaimpossibilità di avere dati individuali sull'esposi-zione agli inquinanti aerei ripiegando su indicigenerali. Inoltre, si discuterà l'inecacia degli indici giornalieri che non colgono l'andamento altalenante della concentrazione di ozono nell'arco di una giornata. Vedremo anche la proposta,persuperarequestoproblema, avanzatadaChiognaePauli(2008) che suggeriscono l'uso ditre indici: l'intensità,la duratae l'esposizione

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not-conseguenza, rappresentano meglio i diversi valori registrabili nelle 24 ore giornaliere.

Nel Capitolo 2 si analizzeranno i dati raccoltiper denirecon maggiore ac-curatezza alcuni dettagli,utiliin seguitoperla formulazionedeimodelli. In particolare, si delineeranno i soggetti daconsiderare, ovvero solo gli anziani di età superiore ai 75 anni, ed il periodo di studio, limitandocisolo ai mesi estivi, periodo in cui l'attività solare, e di conseguenza anche le concentra-zionidiozono,èmaggiore. Inoltre,saràdato unprimosguardoallavariabile ozono ed a tutte le altreconsiderate nello studio.

Nel Capitolo3,andremo apreparare glistrumenti con iqualipoi confronte-remo i due modi di trattare l'ozono: sintesi giornaliera o valoriorari. Qui, deniremo imodelliadditivi generalizzatieletecniche con cuitratteremole singole variabiliprese inconsiderazione, adeccezione dell'ozono. Difatti for-muleremo due modelliGAM di base (Core Models), aventi tutte le variabili esplicative esclusa quella relativa all'ozono. Avendo, infatti, tutte variabili formatedadatigiornalieri,perpoterstimareun modelloconi valorioraridi

O

3

,e poterlo successivamente confrontare con quellocon lamedia giornalie-ra, dovremo espandere articialmentetutti i dati; ovvero dovremo replicare 24 volte tutti i valori di tutte le variabili. Lo scopo dei due Core Model, calcolati uno sui dati giornalieried il secondo sui dati orari, sarà, appunto, quellodi preparare delle basi calibratesucuipoipoter inserire idue indica-toridell'ozono e poterli confrontare.

NelCapitolo4inseriremol'ozononeidue CoreModel, tramitemedia giorna-liera e tramite osservazioni orarie, e vedremo ledierenze tra i due metodi. Inoltre analizzeremo il modello calcolato con i dati orari soermandoci ad osservare l'eetto dell'ozono.

Quelloche ciaspettiamoèche aumentando l'informazioneriguardante l'ozo-no, tramite l'utilizzo dei dati orari, si riesca a dar signicato all'eetto che sappiamoche l'

O

3

ha sulla salutedell'uomo.

In questa tesi tutte le analisi sono state compiute tramite il software statisticoopen sourceR. Inparticolare perlastima deimodelliGAM cisiè

(12)

La stesura del testo e la sua gestione graca sono state condotte tramite linguaggioL A T E X.

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Base di partenza

Sono molti gli studi già compiuti sul tema della relazione tra problemi respiratori ed ozono, moltidei quali riportano un'associazione positiva trai due elementi. Risulta ancora dicile, comunque, riuscire a misurare questo eetto, che, epidemiologicamente,è noto, mache, statisticamente, èdicile da cogliere.

Nella preparazionediquesta tesi, cisiè basatiprincipalmentesudue ar-ticoli-e suquelliadessi connessi - che trattanoquesto argomento. Il primo lavoro (Chiogna e Bellini, 2002) introduce tre nuovi metodi di misurazione degliagentiinquinantieliinseriscenellostudiodellarelazione inquinamento-salute. Ilsecondo (ChiognaePauli, 2008)riguardal'applicazionepraticadei tre indicatori descritti nel lavoro precedente e viene studiato, più in parti-colare, l'eetto ozono e la sua inuenza sulla salute umana. In tale lavoro vengonoutilizzatiglistessi dati impiegatiinquesta tesi, relativiallacittàdi Milano.

1.1 Misura dell'esposizione

L'eetto che gli inquinanti dell'aria hanno sui ricoveri ospedalieri o sui decessidovutiaproblemirespiratorièuntemaincontinuoapprofondimento. Il punto di partenza comune degli studi su questo argomento è basato sulla

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determinatecovariate tra le quali quelle relative all'inquinamento; quest'ul-timevengonointesecomerappresentazionemediagiornalieradell'esposizione a cuiogni soggetto èsottoposto.

L'idea base di questi modelli è quella di considerare per

J

giorni la variabile conteggio esprimente il numero di decessi o numero di ricoveri,

Y

j

, j = 1, . . . , J

, come una variabile casuale di Poisson,

Y

j

∼ P oisson(λ

j

)

, sulcuivalore medio

λ

j

viene denitoun modello diregressione di Poisson:

log(λ

j

) = β

0 x

j

con

x

j

vettore dellevariabiliesplicativeindipendentie

β

vettoredei parame-tri. Lamediagiornaliera

λ

j

dipendedalleprobabilitàindividuali

θ

ij

dimorire o essere ricoverati in ospedale, con

i = 1, . . . , n

e

n

numero di soggetti con-siderati. Infatti, per ogni individuo

i

studiato nelgiorno

j

, l'evento ricovero può essere considerato una realizzazione di una variabile casuale di Bernulli con probabilità

θ

ij

, che dipende da un insieme di covariate considerate, tra cui gliagentiatmosferici equelli inquinanti.

Risulta evidente che, nellasituazione ideale,dovremmo averedeivalori indi-viduali di esposizione agli agenti inquinanti per modellare al meglio

λ

j

, ma questonon èpossibile. Laquestione principale,dunque, èquelladi determi-nareinqualemodosiamegliorappresentare l'esposizioneall'inquinamentoe comeinserirla all'internodelmodellodi regressione.

La World Health Organization Guidelines for Air Quality ci fornisce la seguente denizione di esposizione giornaliera: L'esposizione totale giorna-liera di un individuoall'inquinamento aereo è lasomma dei contattiseparati con l'inquinante vissuti dall'individuo mentre attraversa diverse condizioni, luoghi, ambienti durante il corso della giornata (luoghi di lavoro, casa, stra-da, ...). L'esposizione separata in ognuno di questi luoghi è calcolata dal prodotto tra la concentrazionedegli inquinanti e il tempo speso nelluogo.

È chiaro che cercare di rilevare la quantità di inquinamento aereo per-cepito da ogni individuo è un'operazione dispendiosa sia in termini di soldi che di tempo;inoltre è un'azione complicata da compiere. Quindi, l'utilizzo

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questi tipi di studi. Da questo ne derivano principalmentedue problemi: il primo è che, così facendo, si deve rinunciare a un indice individuale per un indice più generale, che tralascia le dierenze di locazione dei soggetti (ad esempio non risulta se l'individuo èin un luogo chiuso oaperto); ilsecondo è relativo alla necessità discegliere un indice di sintesi per rappresentare la quantità di inquinamento rilevata, come per esempio la media giornalierao la concentrazionemassima.

A questo proposito, in Chiogna e Bellini (2002) gli autori propongono tre diversi indicatoriperrappresentare l'esposizionea cuisono soggetti gli indi-vidui, da usare in alternativaagli indici più comuni. Due di essi, intensità (severity) e durata (duration), sono relativi al tempo, mentre il terzo, esposizione notturna (night exposure), èconnesso all'esposizionespecica individualenotturna.

L'idea allabase deiprimidue indicatorinasce dalla necessità disottolineare la dierenza tra i giorni con alti picchi di inquinamento daquelli normali e per accentuare gliepisodiincuisisono registratialtilivellidi inquinamento per un lungo periodo di tempo. A tale proposito, in accordo con Abbey e Burchette (1996),gli autoriintroduconol'idea di soglia,ovvero di un livello ssatosoprailqualel'inquinanteèdenitoavere un'altaconcentrazione. De-terminata questa soglia, che varia a seconda dell'inquinante, si può denire l'intensità come la dierenza tra la massima concentrazione di inquinante registrata durante il giorno e il valore ssato della soglia, e la durata come la durataoraria delsuperamento della soglia.

La sceltadelvaloredella soglia èlasciataa chiconduce le analisi. Un valore consigliatopuò esserequellodisogliadeterminatadaglientinazionali(soglia d'informazione o d'allarme, dierenti per ogni tipo di inquinante dell'aria), ma in alternativa si possono utilizzare la media, la mediana o il valore del terzo quartile calcolatisui dati rilevati.

L'idea allabasedella costruzionedell'Intensità,dellaDurata e dell'Espo-sizione notturna è data in Figura 1.1. In essa sono rappresentati i valori orari della concentrazioned'ozonorilevatiin una giornatatipica diAgosto

1 . Possiamonotareche unandamentocosì oscillanteèsicuramentemal

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sentato dalla media delle osservazioni, mentre un idea più precisasembrano darcela i tre indicatori. Nel graco, S rappresenta la soglia scelta, i è l'in-tensità (distanza trala concentrazionemassimae la sogliaS), d è la durata (il periodo didurata durante ilquale si hannovaloridiozono superiore alla soglia)em èl'esposizionenotturna(lamediadiinquinamentoduranteleore notturne).

Figura1.1: Esempiodella distribuzione diOzono nell'arco diunagiornata

Peril calcolodeivaloridiintensitàe duratasi utilizzanosoloidati delle ore diurne, calcolando una media sullo spazio tra i vari valori rilevati nel-le diverse centraline di monitoraggiodislocatenei dierenti punti geograci. Di conseguenza, entrambi gliindicatorinon possono essere consideraticome indici individualidi esposizione. La scelta di utilizzaresolo i valoriottenuti durante le ore del giorno è dovutaal fatto che le massime concentrazioni di inquinamento si vericano durante le ore centrali della giornata, che sono quelle incui lepersonetrascorronomaggiortempoall'ariaaperta, perstrada

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con gli agenti inquinanti.

Descritti i tre nuovi indici, nell'articolo preso in considerazione, gli auto-ri cercano, dunque, di analizzare gli eetti dell'uso di indicatori di sinte-si giornaliera invece delle esposizioni individuali nelle stime dei modelli di regressione.

In conclusione, la proposta fattain questo articolo(di Chiogna e Bellini (2002)), è quella di adoperare un modello di Poisson, utilizzando il numero di decessi o di ricoveri come variabile conteggio. Per poter rappresentare la relazione saluteinquinamento dell'aria, vengono inseriti nel modello, come variabili esplicative, oltre a tutti i fattori ambientali e climatici, degli in-dicatori d'inquinamento alternativi. Al posto di impiegare semplici sintesi dell'inquinante,come lamediagiornaliera, edessendo impossibilitatiad usa-reuneettivoindiceindividuale,vengonopropostitreindicatori: l'Intensità, la Durata el'EsposizioneNotturna. Questitre elementihanno ilcompitodi descrivere l'esposizione a cui sono sottoposti i soggetti durante il giorno e la notte, sottolineando, in particolare, le giornate con alta concentrazione dell'inquinantesotto osservazione e quelle con alti livelli perlunghi periodi.

1.2 Eetto dell'ozono

Per vedere più nel dettaglio questi tre indicatori d'inquinamento, intro-dotti nel paragrafoprecedente, ci si può riferire all'articolodi M. Chiognae F. Pauli(2008).

In questo lavoro, gli autori utilizzano i tre indici, intensità, durata ed esposizione notturna, sui dati relativi alla città di Milano, inerenti ad inquinamento, condizioni atmosferiche ed ai soggetti considerati (decessi e ricoveri legati a problemi alle vie respiratorie). Nel lavoro, vengono utiliz-zati dei modelliadditivi generalizzatiper lo studio della relazione salute ed inquinamentodell'aria.

Questo articoloèdigranderilevanza perquesta tesi, peralcuni importa-tanti fattori, diseguito richiamati.

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analisisvolteinquestatesi sièutilizzato,almenoinparte,ilmedesimo dataset impiegatonello studioqui descritto.

•

I modelli utilizzati (additivi generalizzati) sono gli stessi adottati in questa tesi.

•

L'utilizzodeitreindicatoridiinquinamentoèlimitatoallostudio dell'o-zono. Nell'articoloindiscussione, come in questa tesi, iltema centrale è quello ditrovare un indicatore alternativoalla mediagiornalieraper poter cogliere la relazione tra salute ed ozono; non generalizzando su tuttiitipidiinquinamentodell'aria,maconcentrandol'attenzionesolo su questo inquinante.

La specica descrizione del dataset e la spiegazione di determinate scel-te fatte nell'articolo e riprese in questa tesi vengono rimandate al capitolo successivo. Sottolineiamosolo che, in questo articolo,gli autoriconsiderano il numero di ricoveri limitatamentea persone anziane di età superiore ai 75 anni;ilperiododistudioèristrettotra il1995e i2003 ed aisolimesi estivi.

Gliautoriimpostanolo studiodella relazionetrasalutee concentrazione diozono formulandoun modelloadditivo generalizzato(GAM).

Detta

Y

k,t

lavariabileche conta il numero diricoveri in ospedale nelgiorno

t

perlaclasse dietà

k

(vengonoutilizzatedue classi: 7589anni eover90), si assume:

Y

k,t

∼ P oisson(λ

k,t

),

esi considera il modelloperla relazionericoveriozono:

log(λ

k,t

) = β

0 _,k

+ conf ondenti

_k,t

+ ozono

_t

,

dove

conf ondenti

k,t

ècostituitodall'insiemedituttiglielementiche vengono consideratifattoriconfondentitrail numerodi ricoverie l'eettodell'ozono;

ozono

t

invece èlafunzionedellaconcentrazionedi

O

3

che ne misural'eetto. Ilmodellosopraformulatosaràsimilealmodellocheverràutilizzatoinquesta

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L'elemento diconfondimentoviene espresso dagli autori come:

conf ondenti

k,t

= f (t

t

) + g

k

(T

t

) + z

t

+ γh

t

+ αw

t

,

con

f (t

t

)

funzione di lisciamento del tempo,

g

k

(T

t

)

funzione di lisciamento specica della classe di età, della media della temperatura dei tre giorni precedenti (

T

t

),

z

t

è la concentrazione media giornaliera di

P M

10

,

h

t

è un indicatore di vacanzafesta e

w

t

è un indicatore del giorno della settimana. Altri elementie dettaglivengono rimandatialcapitoloseguente.

Normalmente l'ozono viene rappresentato tramite un indicatore giorna-liero della concentrazione, come la media o il massimo, e la sua presenza in un modello, come quello formulato precedentemente, è semplicemente

ozono

t

= βo

t

,essendo

o

t

l'indicatoregiornalieroscelto.

Nell'articolo considerato, gli autori cercano di sostituire questi indicatori semplici con letre misure introdotte daChiognae Bellini(2002),perdare peso maggiore a quei giorni in cui si sono registrate alte concentrazioni di ozono e a quelli con prolungata presenza di valori elevati. Gli indici intro-dotti vengono inseriti in maniera lineare nel del modello, anche se, a causa dell'altacorrelazione,alpostodiutilizzareseparatamentei ed,seneutilizza il prodotto.

Lo scopo degli autori in questo articolo è quello di determinare se l'utiliz-zo di questi nuovi indicatori dell'ozono consenta di cogliere meglio l'eetto dell'inquinante all'interno della relazione con la salute dell'uomo. Per fare ciò,tengonossalacomponente

conf ondenti

k,t

estimanodiversimodellicon diverse soluzioniperilfattore

ozono

t

. Leformulazioniconsiderate nello stu-dio sono 61e comprendono modellicon il sempliceinserimentodi indicatori classici dell'ozono,mediaemassimo,emodelliconl'utilizzodegliindicatori intensità, durata ed esposizione notturna, calcolati con tre livelli diversi di soglia e in diverse combinazioni,utilizzando anche valoriritardati deigiorni precedenti.

La selezione dei modelliviene fatta utilizzando criteri quali l'UnBiased Risk Estimate (UBRE) e la Generalized Cross Validation (GCV) suggerite

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Inoltre gli autori utilizzano il metodo Bootstrap, suggerito da Sauerbrei (1999), per la scelta del modello, replicando, tramitericampionamenti boo-tstrap, la selezione del modello ed usando la frequenza di selezione come metododi valutazione.

I risultati ottenuti, descritti nell'articolo, mostrano una maggiore signi-catività dei modelli in cui vengono utilizzati intensità e durata, rispetto a quelli in cui viene inserita la media o il massimo giornaliero. Il meto-do bootstrap sottolinea che tutti i modelli più frequentemente selezionati contengono lacomponente dell'ozono,sostenendo l'ideache questoelemento inquinante inuenzi eettivamente la salute umana. Inoltre, osservando la signicatività dei parametri relativi ad intensità e durata, rispetto a quelli inerenti a media e massimo, calcolata in modelli dierenti, risulta evidente chesintesigiornalieredellaconcentrazionediozonocheriescanoadesprimere sial'altaconcentrazionesialapersistenzadiquesto fenomenoesprimano me-glio l'inuenza dell'inquinante rispetto a degli indicatori troppo riassuntivi come la mediae il massimo.

Questi risultatisottolineanolanecessità diesprimere lavariabilitàdeivalori di ozono rilevatinell'arco di una giornata. Da questo punto di partenza, in questa tesi,sicercheràdiandareoltreitre indicidescritti,che già evidenzia-nola signicativitàdell'eettodell'ozono rispettoagliindici giornalieri, pro-ponendo l'inserimento di valori orari dell'inquinante per cercare di cogliere

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I dati: un'analisi preliminare

I datianalizzatiprovengonodaduedatasetsdistintieraccolgonole infor-mazioni

1

inerenti all'inquinamentorilevato nella zona di Milano nelperiodo che va dal01 Gennaio1998 al30 Dicembre 2003.

Il primo dataset, oltre al numero di ricoveri giornalieriavvenuti per proble-mi alle vie respiratorie, riporta i valori medi giornalieri di inquinamento rilevati nella zona e nelperiodoindicati. Sono dunque contenute, in questo dataset, informazioni relative ai vari inquinanti ed alle condizioni atmosfe-riche (temperatura, umidità, velocità del vento, ...) tramite i valori medi calcolatiin ogni giorno nelperiodosotto studio.

Il secondo insieme di dati (dataset), invece, è costituito semplicemente dai valoriraggiuntidagli inquinantinelperiodo1998-2003rilevatidatre centra-line nella zona di Milano (via Juvara, Parco Lambro e Verziere). Delle tre rilevazioni per ogni inquinante, una per centralina, si è ottenuta una media oraria ed ècon queste rilevazioneorarie che cercheremo di vericare in se-guito le ipotesi formulate nell'introduzione. Quello che segue è una breve descrizione delle variabili che verranno utilizzatinella stima deimodelli.

OZONO

Sicuramente la variabile di maggior interesse per questo studio è l'ozono e per questo gli dedicheremo un maggiorspazio rispetto aglialtrielementi.

1

(22)

L'ozono 2

è un gas bluastro che nella nostra atmosfera è presente in due diversi strati con due funzionalità e conseguenze distinte. Al 90% è presen-te nella stratosfera (tra i 10 e i 50 km di altezza) e in questa zona funge da importante ltro per i raggi UV (l'attuale problema del buco dell'ozono si riferisce ad un impoverimento di

O

3

in questa zona e di conseguenza al-l'assottigliamento della fascia protettiva contro i raggi UV). La formazione dell'ozono stratosferico ha luogo per la maggior parte a più di 30 Km di altezza. Qui leradiazioni UV con lunghezza d'ondainferiore ai 242 nm dis-sociano l'ossigeno molecolare in ossigeno atomico che, per la sua reattività, si combina rapidamente con una molecoladi ossigenooriginando l'ozono

O + O

2 =⇒ O

3 .

A lorovoltale molecole diozono che si formano nel corso di questa rea-zioneassorbono leradiazionisolaricon lunghezza d'ondacompresafra 240e 340 nm,e questo ne provoca lafotolisiche libera un atomo ed una molecola diossigeno

O

3 =⇒ O

2 + O.

Indenitivaquestiprocessiinstauranounequilibriodinamicoche mantie-ne laconcentrazionediozonopressoché costanteeche permettedischermare più del90% delle pericoloseradiazioniUV provenientidal sole.

Il secondo strato atmosfericoincuiè presentel'ozonoèlatroposfera (no ai 10kmdialtezza);quièpresente,inmanieranaturale,pereettodella circola-zioneatmosfericaopereetto discariche elettricheduranteitemporali. Una maggiorepresenza diozono nella troposfera, che lorende un insidioso inqui-nante secondario, è dovuta allareazione di inquinanti atmosferici principali prodotti dagas inquinanti emessidalle automobili,dalle industrie, dalle raf-nerie, che reagisconoin presenza dellaluce solare (smog fotochimico). Una dellesorgentiprincipalitragliinquinantiprimarièdatadalbiossidodiazoto che, come già detto, in presenza della luce solare dà origine per fotolisi al-l'ossigenoatomico(che produce l'ozonoreagendo con l'ossigenomolecolare).

(23)

Dunque laproduzionediozonodapartedell'uomoèindiretta, macomunque determinante. I gas precursori dell'ozono difattivengonoimmessi dall'uomo tramite processi di combustione civile e industriale e da processi che utiliz-zano o produconosostanze chimiche volatili,come solventi e carburanti.

Gli eetti che l'ozono ha sull'organismo 3

umano sono in relazione alla con-centrazione della sostanza nell'aria, alladurata diesposizione (alnumero di orepassateall'ariaaperta),allaventilazionepolmonaredurantel'esposizione (quindi ad eventuali sforzi legati allavoro o adattività sportive) ead even-tuali condizioni di salutedei soggettiesposti.

I disturbi causati all'organismo umano da un'eccessiva esposizione sono so-prattutto a carico di:

- occhi (aumentodella sensibilitàe fenomeni irritativi);

-sistemarespiratorio(tosse,irritazioneallagolaeaipolmoni,riduzionedelle funzioni polmonari esensazione di oppressioneal torace,Fiato corto); -sistemacardiocircolatorio(tachicardiaeaumentodelrischioinsoggetti car-diopatici);

- sistema immunitario (aumento di sensibilità agli allergeni che provocano attacchi d'asma e maggiori possibilità di insorgenza di episodi acuti in sog-getti asmatici).

Quattro gruppidi persone,sono particolarmentesensibiliall'ozono.

•

bambini. I bambini sono il gruppo a più alto rischio per una esposi-zione adozono, perchè essi trascorronogran parte delle vacanze estive all'aperto,impegnatiinattivitàsiche intense. Ibambinihanno anche maggiori probabilità di sviluppare l'asma o altre malattie respirato-rie. L'asma è lamalattiacronica più comune neibambinie può essere aggravata da una esposizione all'ozono;

•

adulti che fanno attività fisica all'aperto. Adulti in buona salute che fanno attività sica all'aperto sono considerati un gruppo

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sensibile perché sono più esposti all'ozono, rispetto a popolazione meno attiva;

•

persone con malattie respiratorie, come ad esempio l'Asma: Non c'è certezza che l'ozono causi asma o altre malattierespiratorie croni-che, ma queste malattie rendono i polmoni più vulnerabili agli eetti dell'ozono. Così gliindividui che si trovano in queste condizioni risen-tono primadeglieetti dell'ozonoe aconcentrazionipiù basserispetto agli individuimeno sensibili;

•

anziani. A tutt'oggi, vi sono alcuneevidenze che indicanoche gli an-ziani olepersone conmalattiecardiache hannounaumentata sensibi-litàall'ozono. Comunque,comealtriadulti,lepersoneanzianepossono essereadaltorischiosesoronodimalattierespiratorieosesonoattivi all'aperto, ose sono particolarmentesuscettibili.

Acausadeglieettidell'ozonosull'uomoconfermatidanumerosistudi epide-miologici,lanormativaeuropea,eacascataquellaitaliana,hanno regolamen-tato la valutazione delle concentrazioni di tale inquinante. Il Decreto Legi-slativo183/04,cherecepisce laDirettiva2002/3/CE,introduceledenizioni di:

•

soglia di informazione: livello oltre il quale vi è un rischio per la salute umana in caso di esposizione di breve durata per alcuni gruppi particolarmentesensibilidella popolazione;

•

soglia di allarme: livellooltre il quale vi è un rischio per la salute umanaincasodiesposizionedibrevedurataeraggiuntoilqualedevono essere adottate le misure previste dall'articolo 5, comma3 che prevede l'adozione di azionia breve termine;

•

obiettivo a lungo termine: concentrazione di ozono nell'aria al di sottodellaqualesiritengonoimprobabili,inbasealleconoscenze scien-tiche attuali, eetti nocivi diretti sulla salute umana e sull'ambiente nel suo complesso. Tale obiettivo è conseguito nellungo periodo, pur-ché sia realizzabile mediante misure proporzionate, al ne di fornire

(25)

Nella tabella che segue sono indicati questi tre valorisoglia ssati 4

.

Obiettivo a lungo termine per la protezione della salute umana

Media su 8 ore massima gior-naliera nel periododi un anno civile

120µg/m

3

Soglia diinformazione Media di 1ora

180µg/m

3

Soglia diallarme Media di 1ora

240µg/m

3

Tabella2.1: Valoridisoglia per l'Ozono

Di tutteleinformazionisull'ozonosopracitate,alcuneinparticolaresono state prese in considerazione in questo studio per ottenere migliori risulta-ti. Di queste, certe verrannoanalizzate inseguitoparlandospecicatamente delle altre variabili osservate, come i soggetti considerati (solo gli anziani), la temperatura ei fattoriinerenti al giornodella settimana.

Un altro fattore importante è legato a quanto è stato detto sulla relazione tra l'ozono e i raggi solari. È chiaro per gli studiosi che la presenza nociva diozono perl'essereumanosiverica maggiormenteneiperiodidell'annoin cui l'attività solare è più intensa.

Il graco inFigura 2.1 rappresenta il valor medio giornalierodi ozono nei6 anniindicaticomeperiododellostudio. Daquièevidentel'andamento perio-dico dell'ozono, caratterizzato dalla ciclicitàannuale in cuii picchi maggiori sono nei mesi estivi, quelli con maggiore attività solare. Notiamo, inoltre, che lamediadiconcentrazionediozononelperiodoestivo(imesi diGiugno, Luglio eAgosto) èdi

78, 29µg/m

3

mentre quellaperi restantimesi è solodi

25, 98µg/m

3

.

Osservando quanto visto nel graco e considerando i valori medi nella sta-gione estivaenelresto dell'annosiè deciso,basandosi anche sulla medesima scelta fattainChiognae Pauli(2008), diutilizzareinquesto studiosoloi tre mesi estiviperogni annopreso inconsiderazione. Quinditutte leanalisiche seguiranno saranno fatte solosui mesi Giugno, Luglio ed Agosto tra il 1998 e il 2003.

Come già spiegato nell'introduzione, lo scopo di questo lavoro è provare ad utilizzare osservazioni orarie dell'ozono per saggiare la signicatività di un

(26)

0

500 1000

1500

2000

0

20

40

60

80

100

120 Ozono

1998

1999

2000

2001

2002

2003

(27)

nessoconlasalutedell'uomo. Diconseguenza,èstatotenutoin considerazio-ne un secondo datasetnelqualesonoinseritiivalorioraridiozono registrati da tre centraline collocate a Milano. Nel graco riportato in Figura 2.2

0

100

200

300

400

500

0

50

100

150

200

250 Valori Giornalieri

Livello di Ozono

Valori di Soglia

120ug/m3

180ug/m3

240ug/m3

Figura 2.2: Valorigiornalieri di

O

3

peritremesiestivi dal'98al'03

si riportano le osservazioni giornaliere (medie) di ozono per itre mesi estivi nei sei anni tenuti in considerazione. Nel secondo graco (Figura 2.3) sono rappresentate le rilevazioni orarie del medesimo inquinante. In entrambi i graci sono state aggiuntele linee relativeallasoglia di allarme,di informa-zioneequellarelativaall'obiettivoalungotermineprecedentemente denite. Possiamonotare come siano pochi i valori, considerando la media giornalie-ra, che superino il valore di

120µg/m

3

della soglia dell'obiettivo pressato a lungo termine e che non ci siano valori che raggiungano, nell'arco dei sei anni, le soglie diinformazione od'allarme. Tutt'altra idea invece l'abbiamo osservandoilsecondogracoincuisonorappresentatelesingoleosservazioni

(28)

0 2000

4000

6000

8000

10000

12000

0

50

100

150

200

250 Valori Orari

Livello di Ozono

Valori di Soglia

120ug/m3

180ug/m3

240ug/m3

(29)

Prendiamo ad esempio le osservazioni relative ad un singolo giorno (i pun-ti rossi nei due graci Figura 2.2 e Figura 2.3, inerenti ai dati raccolti l'11 Agosto2003)riportatenelgracoinFigura2.4. Notiamoun andamento

cre-5

10

15

20

50

100

150

200

250 Rilevazioni 11 Agosto 2003

Ore

Livello di O3

Media = 117,58 ug/m3

Figura2.4: Rilevazioni orariediOzono relative allagiornata dell'11Agosto 2003

scenteconapiceduranteleorecentralidelgiornoeunabbassamentodurante le ore notturne. La media di queste osservazioni, e di conseguenza il valore utilizzato nel primo graco dei due precedenti, è di

117, 58µg/m

3

, sotto la prima delle tre soglie, mentre il massimo è

251, 6µg/m

3

, oltre la soglia d'al-larme. Possiamo pensareche laviache cercheremo dipercorrere neimodelli che seguiranno, non utilizzando più un indice sintetico dell'ozono quale la media,matutteleosservazioniorarie,possa coglierequestiandamentiorari. Il graco in Figura 2.5 rappresenta la distribuzione oraria, sui i sei anni, dell'ozono. Ogni diagramma a scatola è relativo ad ogni ora e mostra che quanto evidenziato nell'esempio riportato è valido per tutti i giorni presi in

(30)

nettoinnalzamentodeivaloridiozono,noncoltodaunindicesinteticoquale la media. Questo aumento durante leore centraliè confermatoda quantoè

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

0

50

100

150

200

250 Ore

Ozono

Figura 2.5: Distribuzione oraria della quantità di

O

3

statodettoinprecedenzasull'ozono esulla suareazione neimomentidiforte attivitàsolare.

NUMERO RICOVERI

Comegià delineato nell'introduzione, lo scopo deimodelliche stimeremo in seguito è valutare se l'ozono sia un fattore penalizzante per la salute del-l'uomo. Per fare ciò, ci serviremo della variabile numero di ricoveri quale variabile risposta nei modelli esplicitati nei prossimi capitoli. Si è detto, parlando dell'ozono, che i soggetti maggiormente a rischio sono i bambini, personechefannoattivitàsiche,personeconprecedentiproblemirespiratori e gli anziani. In questo studio si è tenuto conto solo di questi ultimi,

(31)

per-di ricoveri dovutia problemirespiratori registratidal sistemaospedalierodi Milano

5

, per pazienti con età maggiore ai 75 anni residenti a Milano. Tutti gli altri gruppi di ricoveri, compreso quella per cause accidentali, non sono stati tenutiin considerazione nelconteggio.

In Figura 2.6sono rappresentati il numero di ricoveri registrati nei sei anni diinteresse. Daquesta immaginepossiamocogliereiltrendcrescentedi

rico-0

100

200

300

400

500

20

40

60

80

100 Numero di Ricoveri

1998

1999

2000

2001

2002

2003

Figura 2.6: Numero di ricoveri legati a problemi di tipo respiratorio, registrati a Milano nelperiodo indicato

veri, identicato dalla linea continua, che evidenzia un aumento progressivo col passaredel tempo. Questo fattore tempo dovrà essere tenuto in consi-derazione nella formulazionedelmodello.

PM10

Moltisono gliinquinantiritenutinociviperlasalute dell'uomoeper questo

(32)

monitoratitramite le stazioni di rilevamento. I principali sono: Monossido di Carbonio (

CO

), Biossido di Azoto (

NO

2

), Ozono (

O

3

), Polveri

P M

10

, BiossidodiZolfo(

SO

2

)e Benzene (

C

6 H

6

).

Di questi,solodue sonoconsideratiinquestatesi esono: l'oggettoprincipale dello studio, l'ozono, e le polveri sottili o

P M

10

. Non si è voluto utilizzare tuttiglialtrielementivistoche, comeevidenziato nell'introduzione,loscopo diquesto lavorononètrovare un modellocolqualefaredelleprevisioni futu-re, ma piuttosto soloquello di trovare un metodo alternativo e signicativo per trattare i valori dell'ozono. Inoltre il

P M

10

è spesso l'unico incluso, a dierenzadegli altrielementi,comeeetto confondenteinstudi comequesto in cuisi modellanorelazioni trasalute e inquinamento(Belletal., Itoet al., Levy etal.(2005))

6 .

ConPM10vieneidenticatol'insiemeditutteleparticellesolideoliquideche restano insospensione nell'aria. Il particolato sospeso totalerappresenta un insiemeestremamenteeterogeneodisostanzelacuioriginepuòessere prima-ria(emessecometali)o derivata (dauna seriedireazionisiche echimiche). Leparticelledidimensionimaggiori(diametro

> 10µm

,daquipm10)hanno un tempo medio di vita nell'atmosfera che varia da pochi minuti ad alcune ore ehannolapossibilitàdiessereaerotrasportateperunadistanzamassima di 1-10 Km.

Le maggioriconcentrazionidipm10 sitrovano neicentriabitati etracatie i picchi più alti diquesto inquinante sono, all'esatto opposto dell'ozono, nei periodi invernali, quando sono più frequenti le condizioni di ristagno degli agentiinquinanti. NellaFigura2.7èsottolineatoquesto aspetto: ipicchidei valoridell'ozono corrispondonoagli abbassamentidi

P M

10

, e viceversa.

TEMPERATURA

Un altro fattore da tenere in considerazione al momento della formulazione delmodelloèlatemperatura. L'utilizzodiquesta variabileècomuneinstudi come questo in cui si analizza lo stato di salute di persone di età avanzata. Inoltre, come detto precedentemente, l'ozonoè legato all'attività solare e di conseguenza aiperiodicon alte temperature. Il gracoinFigura2.8

(33)

0

500 1000

1500

2000

0

50

100

150

200 PM10 e O3

Concentrazione ug/m3

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

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+

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+

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₊

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₊

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₊

+

₊

+

₊

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₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

₊

+

1998

1999

2000

2001

2002

2003

o

+

Pm10

O3

(34)

ziaquesto legamemostrandolacorrispondenza tralacrescitadiun fattoree quelladell'altro. È inoltreragionevoleritenere che la temperatura abbia un

15

20

25

30

20

40

60

80

100

120 Temperatura

Livello di Ozono

Figura 2.8: Temperatura giornaliera elivello diOzono

eetto sullasalutechesiprolungaaldilàdelgiornostesso. Pertenereconto diquesto aspetto siinserirànelmodellouna variabileche indicheràlamedia della temperaturadei tre giorni precedenti.

WDAY E FESTA

Gli ultimi due fattori che verranno tenuti inconsiderazione sono degli iden-ticativi dei giorni della settimana e di giorno di festa. Questi indicatori possono essere utili, inparticolare per identicarei giorni in cuile persone, nelnostrocasoglianzianimilanesi,sianostatipropensiastareall'ariaaperta e quindi essere maggiormente esposti all'ozono, oppure per identicarequei giorni in cui leemissioni diagentiinquinantisiano maggiori.

(35)

0

1

2

3

4

5

6

20

60

100 Giorno della settimana

Ozono

FALSE

TRUE

20

60

100 Giorno di Festa

Ozono

0

1

2

3

4

5

6

20

40

60

80 Giorno della settimana

N° Ricoveri

FALSE

TRUE

20

40

60

80 Giorno di Festa

N° Ricoveri

Figura 2.9: Distribuzione rispetto ai giorni della settimana e difesta di Ozono e delnumero diricoveri. Igiornidella settimana sono codicati con0 =Domenica;

(36)

fattoriné sulnumero diricoveri né sulla quantitàdi ozono. Comunque è di prassiinserire,almomentodellaformulazionedeimodelli,questicomponenti.

ANNO (TEMPO)

Come già accennato parlando della variabile relativa al numero di ricoveri, dovremmo tenerein considerazione ilfattore tempo edella dierenza, anche se pur minima,di rilevazionitra un anno ed un altro.

DaitregraciinFigura2.10,incuisonorappresentatiidiagrammiascatola

1998

2000

2002

20

40

60

80

100 Anno

N° Ricoveri

1998

2000

2002

20

40

60

80

100

120 Anno

Ozono

1998

2000

2002

15

20

25

30 Anno

Temperatura

Figura2.10: Numerodiricoveri,livellodiOzonoeTemperaturadivisineiseianni dello studio

divisiperannodinumero ricoveri, ozonoetemperatura, notiamoin partico-lareche nell'anno2003 tutti iparametri hannoregistrato valorimediamente

(37)

Preparazione dei Modelli

Passeremoora,utilizzandoidatiappenadescritti,acercarediidenticare una specicazioneadeguata peresprimerelarelazionetral'ozonoeiricoveri dovuti a problemi respiratori. Per farlo, dovremmo decidere in quale modo utilizzarele informazionirelativeallaquantità diinquinante

O

3

registrato.

Abbiamo visto nell'analisi esplorativa dei dati, che la concentrazione di ozono varia drasticamentenelle diverse ore delgiorno. In particolare, osser-vando laTabella3.1 ela Figura 3.1si nota che durantele ore centralidella giornata, al crescere dell'attività solare, si verica un aumentodi ozono che decresce nel nire del giorno. Sarà questa osservazione il punto di partenza per illavoro che segue.

3.1 Espansione dei dati giornalieri

Lo scopo di questa tesi è vericare se, utilizzando le singole osservazioni orarie, è possibile riuscire a rendere signicativo, all'interno di un model-lo di regressione, il fattore che rappresenta l'ozono. L'inuenza che questo inquinante ha sulla salute umana è noto, ma indicatori comunemente usati qualila mediao ilmassimogiornalieronon sempresono soddisfacenti perlo studio di questa relazione. Studi già condotti hanno mostrato che, aumen-tando l'informazioneinseritaneimodelli,siarrivaspesso a miglioririsultati.

(38)

Ora Media Ora Media 0 51.33 12 104.06 1 51.45 13 120.78 2 53.76 14 130.47 3 53.96 15 135.02 4 51.89 16 133.39 5 46.35 17 128.21 6 35.53 18 120.12 7 30.19 19 109.49 8 36.45 20 96.76 9 51.37 21 79.40 10 68.52 22 65.82 11 85.55 23 56.79

Tabella3.1: Valorimedi,divisiperora, diozono

0

2

4

6 8 10

13

16

19

22

0

50

100

150

200

250 Ore

Ozono

(39)

scritto nel paragrafo 1.2, sui dati inerenti alla città di Milano, usati anche perquesta tesi,hamostratoche utilizzandoindiciqualil'intensità,ladurata e l'esposizione notturna, che maggiormentecolgonol'andamentoaltalenante delle osservazioni di ozononell'arcodella giornata,si ottengonorisultati più soddisfacenti.

Inparticolaresiprenderàunmodellobasatosuvalorigiornalieripertutte le variabili esplicative esu valoriorari diozono.

Il primo ostacolo da superare in questo procedimento riguarda la dispa-rità di rilevazioni che così facendo ci ritroviamo. Utilizzandoun modello di regressione linearea titolo esemplicativo, quelloche ci sipregge è, infatti, riuscire astimare un modello deltipo:

Y

j

= β

0 + β

1 x

_j,1

+ β

2 x

_j,2

+ · · · + β

_p

x

_j,p

(h) +

_j

;

(3.1)

j = 1, . . . , J

;

h = 1, . . . , 24

;dovemettiamoinrelazioneunavariabilerisposta (

Y

j

),con un insiemedi

p − 1

variabiliindipendenti misuratesuscala giorna-liera (

J

osservazioni)e con una variabile,

x

j,p

(h)

, misuratasu base oraria

h

. Infatti, per tutte le variabili considerate, esclusa quella relativa all'ozono, possediamo la media giornaliera, avendo così

552

osservazioni per variabile (

92

osservazioni per trimestre estivo per i

6

anni dello studio); dell'ozono, però, vogliamo utilizzare le singole osservazioni orarie per ogni giorno, di-sponendo così di

552 × 24 = 13248

osservazioni. Quindi, per poter stimare in seguito i modelli necessari, si è costruito un nuovo dataset espanso, in cui ogni singolaosservazione è stata replicataventiquattro volte. In termini pratici, presa una qualsiasi covariata

k

considerata

(k 6= p)

,ogni valore

x

j,k

,

j = 1, . . . , J

,con

J = 552

numerodigiorni,viene replicato24volte ottenen-do

x

j,k

(h)

,con

h = 1, . . . , 24

; ovvero

x

j,k

(h) = x

j,k

∀h

.

(40)

3.2 Formulazione dei Modelli Additivi

Lasceltadeltipodimodelloperlavericadellenostreipotesiricadenella classe dei modelli additivi generalizzati. Quello che si cercherà di fare è di formulareecalcolareunprimo CoreModel, un modellonucleo,che conterrà tuttele variabiliconfondenti selezionate eritenute utili. Perquesto modello si utilizzeranno le medie giornaliere osservate (i dati originali). Il secondo passo sarà quello di creare un secondo Core Model, impiegando la stessa formulazione e gli stessi elementi del primo modello, ma utilizzando i dati espansi. Formulati i due modelli, e calibrati tra di loro, si inseriranno in essi ledue variabilirelative all'ozono,rispettivamentela media giornalierae leosservazioni orarie, perpoter confrontare idue metodi.

3.2.1 Costruzione

La formulazione delmodello di partenza è simile a quellaintrodotta nel paragrafo 1.2, anche se in questa tesi non verranno utilizzati modelli stra-ticati per età ma verranno presi in considerazione solo gli anziani over75 anni.

Considerandoilnumerodiricovericomevariabilerisposta, èfacileimpostare il problema con

Y

j

, j = 1, . . . , J

(

J

numero di giorni) variabile conteggio e quindi:

Y

j

∼ P oisson(λ

j

)