ESERCIZI DA ESAME SUGLI INTEGRALI CURVILINEI
1): Calcolare la lunghezza della curva rappresentata da
y
:= 12
Z02xsin
tq2 + sin
2t dt0
x :2): Calcolare la lunghezza dell'arco di curva (cicloide) rappresentata da
8
>
<
>
:
x
:=
r(
';sin
')
'2
0
2
]
y
:=
r(1
;cos
') ove
re una costante
>0.
3): Calcolare la lunghezza dell'arco di curva (spirale di Archimede) rappresentato da
=
k0
ove
ke una costante
>0.
4): Calcolare la lunghezza dell'arco di curva (elica circolare) rappresentato da
8
>
<
>
:
x
:=
r cos'y
:=
rsin
' '20
2
]
z
:=
kove
re
ksono costanti positive.
5): Calcolare
Z
;
e
px2+y2 dsove ; e la frontiera del settore circolare di vertice l'origine (0
0), di ampiezza
=4, situato nel 1
0quadrante e avente uno degli estremi dell'arco corrispondente nel punto (1
0).
6): Calcolare l'area della supercie laterale del cilindroide avente generatrici parallele
all'asse
z, direttrice la frontiera del dominio
D:=
;=2
=2]
0
1] del piano
xy,
delimitato inferiormente dal piano
xye superiormente dalla supercie
z:= sin
2x+
y.
7): Calcolare l'area della supercie laterale del cilindroide avente generatrici parallele
all'asse
z, direttrice la frontiera del dominio
D:=
f(
xy)
2IR
2) :
x2+
y2l eq=4
y0
g, delimitato inferiormente dal piano
xye superiormente dalla supercie
z:=
1+xy 2.
8): Che relazione c' e, per ogni
a >0, tra la lunghezza dell'arco di curva (catenaria)
rappresentato da
f(
x) := cosh
x,
x20
a], l'area del rettangoloide relativo a
fj0a]e
il volume del cilindro
f(
xyz)
2IR
3: 0
x a0
ycosh
x0
z1
g?
9): Calcolare
Z
;;
x 2
ydy
ove ; e l'ellisse
x92+
y42= 1 percorsa in senso antiorario.
10): Calcolare
Z
;
sin(
xy)
dxove ; e la frontiera del quadrato di vertici (0
0), (1
0), (1
1), (0
1) percorsa in senso orario.
11): Calcolare
Z
;
(
x2+ 8
x+
y;1)
dsove ; e la frontiera del dominio
D:=
f(
xy)
2IR
2: 0
x1
0
y ;x2+ 1
g. 12): Data la cardioide ;, rappresentata e orientata da
:= 2
r(cos
+ 1),
20
2
] (
r >0), determinare, per ogni (
xy)
2;, il versore
~tangente a ; in (
xy) ed il versore
~ninormale interna a ; in (
xy).
13): Data la forma dierenziale lineare
!
(
xy) :=
;yx
2
+
y2 dx+
xx
2
+
y2 dyse ne calcoli l'integrale curvilineo esteso alla curva +Fr(
D), ove
D:=
f(
xy)
2IR
2:
jyj x
2
+ 1
jxj y2+ 1
g.
14): Applicando la 2
aformula di Green nel piano, si calcoli
ZZ
D dxdy
1 +
xove
D:=
f(
xy)
2IR
2: 0
x1
x2 y pxg. 15): Si studi l'esattezza della forma dierenziale lineare
!
(
xy) :=
;yx
2
+
y2 dx+
xx
2
+
y2 dye si determini, eventualmente, una sua primitiva.
16): Si studi l'esattezza della forma dierenziale lineare
!
(
xy) :=
x+ 2
yx
2
+
y2 dx;2
x;yx
2
+
y2 dye si determini, eventualmente, una sua primitiva.
17): Si studi l'esattezza della forma dierenziale lineare
!
(
xy) := (
xx22+
;yy22)
2 dx+ 2 (
x2+
xyy2)
2 dye si determini, eventualmente, una sua primitiva.
18): Si studi l'esattezza della forma dierenziale lineare
!
(
xy) := (
x2+
xy2)
2 dx+ (
x2+
yy2)
2 dye si determini, eventualmente, una sua primitiva.
19): Si studi l'esattezza della forma dierenziale lineare
!
(
xy) :=
xx
2
+
y2 dx+
yx
2
+
y2 dye si determini, eventualmente, una sua primitiva.
20): Si studi l'esattezza della forma dierenziale lineare
!
(
xy) :=
p xx
2
+ 3
y2 dx+ 3
yp
x
2
+ 3
y2 dye si determini, eventualmente, una sua primitiva.
21): Dopo avere vericato che il dominio piano
Dcompreso tra la circonferenza
x
2
+
y2= 1 e l'ellisse
x42+
y2= 1 e regolare, se ne calcoli l'area, utilizzando il teorema di Green nel piano.
22): Calcolare, per mezzo delle formule di Green, l'area del dominio piano regolare
D
delimitato dalla curva chiusa ; di equazioni parametriche
8
>
<
>
:
x
:= sin
tcos
2tt2
0
=2]
y
:= sin
2tcos
t23): Calcolare, per mezzo delle formule di Green, l'area del dominio piano
Ddelim- itato dalla parabola
y=
x2e dalla retta normale alla parabola nel punto di ascissa 1. 24): Calcolare
Z
+
Fr(
D)
x
+ 2
yx
2
+
y2 dx;2
x;yx
2
