Problema2

(1)

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PNI 2013 SESSIONE SUPPLETIVA -

PROBLEMA 2

Si consideri la funzione:

( )

1)

Si studi tale funzione e si tracci il suo grafico , su un piano riferito ad un sistema di assi

cartesiani ortogonali .

( )

Dominio:

∞ < < +∞

Simmetrie notevoli:

( ) ( ) + ( )

La funzione è dispari, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine degli assi.

Intersezioni con gli assi cartesiani:

0, 0

confrontiamo graficamente le due funzioni

Quindi la funzione ammette gli zeri , 0, 𝑜𝑛 < < 3

Segno della funzione:

(2)

Il grafico della funzione appartiene quindi alle seguenti zone del piano cartesiano:

Limiti:

lim ( ) ∞ ( 𝑛𝑜 𝑛 𝑜 𝑜 𝑜 𝑜𝑛 )

lim ( ) + ∞ ( 𝑛𝑜 𝑛 𝑜 𝑜 𝑜 𝑜𝑛 )

Ci potrebbero essere asintoti obliqui.

lim ∞ ( ) lim ∞ lim ∞ lim ∞( ( ) ) ∞lim ( )

Quindi per ∞ c’è l’asintoto obliquo di equazione: +

Per la simmetria del grafico rispetto all’origine, avremo anche asintoto obliquo per +∞ di equazione:

(simmetrica di + rispetto all’origine degli assi).

Derivata prima:

( ) +

+ > 0 > 0 𝑜è 𝑝 < 𝑣 >

La funzione è crescente per < e > , decrescente per: < < ; abbiamo pertanto un massimo 𝑀 relativo per ed un minimo relativo per :

( ) ( ) (

4) + ≅ 0.57 𝑀 ( + ) ( ) ( ) ≅ 0.57 ( )

(3)

Derivata seconda:

_{( )}

( ) > 0 > 0

Il grafico avrà la concavità verso l’alto per > 0 e verso il basso per < 0; flesso in 0: 𝐹 (0 0).

Il grafico della funzione ( ) è quindi il seguente:

2)

La curva incontra l’asse , oltre che nell’origine, in altri due punti aventi ascisse

opposte. Detta l’ascissa positiva, si dimostri che < < e se ne calcoli un valore

approssimato con due cifre decimali esatte.

Nel punto precedente abbiamo visto che incontra l’asse delle x in: , 0, 𝑜𝑛 < < 3

Quindi, posto è verificato che < < .

Dobbiamo trovare un valore approssimato di con due cifre decimali esatte.

La funzione ( ) è continua nell’intervallo ed assume agli estremi valori di segno opposto:

( ) ≅ 0.57 < 0 ( ) ≅ > 0

La funzione ammette derivata prima e seconda continue in tutto il suo dominio ed in particolare la derivata seconda, nell’intervallo dato, ha segno costante:

_{( )}

( ) > 0 > 0 𝑛

_{( ) > 0 𝑛 in tale intervallo}

risulta poi: ( ) ( ) < 0 quindi possiamo applicare il metodo delle tangenti con punto iniziale .

(4)

Applichiamo la seguente formula iterativa: ( ) ′( ) Poniamo ( ) tan _{( )} ← ( ) ( ) ( ) + ( ( )) ( + ) : ← ( ) ( ( )) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )≅ .386 ( ) ( ) ( ) ( .386) ≅ .33 ( ) ( ) ( ) ( .386) ≅ .33

Quindi: con due cifre decimali esatte è: .33 (per difetto)

N.B.

Con il metodo delle tangenti sono sufficienti 2 iterazioni per avere due cifre decimali esatte; con metodo di bisezione ne occorrono 8:

(5)

3)

Si scriva l’equazione della tangente a nel suo punto di flesso, si verifichi che essa risulta perpendicolare ad entrambi gli asintoti e si calcoli l’area del triangolo che essa forma con uno degli asintoti e l’asse .

La tangente alla curva in 𝐹 (0 0) ha coefficiente angolare ’(0) . Tale tangente ha quindi equazione: che è perpendicolari agli asintoti, che hanno equazioni

+ e

L’intersezione tra le rette e è 𝐺 ( ).

Il triangolo richiesto ha base e altezza , quindi la sua area è:

(6)

4)

Si calcoli l’area della regione di piano, delimitata da e dall’asse sull’intervallo chiuso

0 .

𝐴 ∫ ( ) ∫ ( )

Calcoliamo per parti ∫ :

∫ ∫ ∫ + ∫ + 𝑛( + ) + Quindi: 𝐴 ∫ ( ) [ + 𝑛( + )] 0 ( ( ) + 𝑛 ) + 4 𝑛 ( + 𝑛 ) ≅ 0.38