Universit`a dell’Aquila - Corso di laurea: Ingegneria civile e ambientale I compito parziale di Fisica Generale II - 27/10/2014
Nome Cognome N. Matricola CREDITI
... ... ... ... Un piano carico indefinito ha distribuita sulla sua
superfi-cie una densit´a di carica uniforme σ. a) Calcolare il valore del campo elettrico in tutto lo spazio e la sua direzione e verso (1 punto). b) Calcolare la differenza di potenziale tra un punto posto a distanza d dal piano ed il piano stesso (1 punto). Dal piano carico dato viene eliminata una sezione circolare di raggio R. c) Calcolare il campo elettrico (modulo direzione e verso) in un punto a distanza 2d preso lungo l’asse del foro circolare (4 punti). Una particella di carica q e massa m viene lanciata verso il piano con velocit´a v ad una distanza 3d dall’asse del foro circolare. d) Calcolare la velocit´a min-ima che deve avere la particella per arrivare al centro del foro circolare (4 punti).
Dati: σ = 10 nC/m2, d = 10 m, R = 15 m, q = 0.1 nC, m = 1 ×10−6kg.
SOLUZIONE
a) Il campo elettrico del piano carico infinto ´e diretto nella direzione perpendicolare al piano ed ha direzione uscente dal piano. Il suo modulo ´e dato a:
Epiano =
σ 20
= 563V /m
b) La differenza di potenziale tra il piano ed il punto a distanza d ´e: ∆V = Z 0 d Edx = σd 20 = 5.63kV
c) Il campo elettrico pu´o essere calcolato come la somma del contributo dovuto alla densit´a di carica del piano infinto (Epiano) ed il contributo del foro (Ef oro), realizzato da una carica
superficiale σ0 = -σ distribuita sulla superficie del foro. Questo campo ´e parallelo a quello precedentemente calcolato ma ha verso opposto.
Il campo del foro a distanza x dal suo centro e lungo il suo asse, ´e dato dal campo di un anello carico di superficie 2πrdr integrato sul raggio del foro:
Ef oro(x) = Z R 0 σ0x2πrdr 4π0(r2+ x2)3/2 = σ 0x 40 (−(√ 2 R2+ x2 − 2 x)) = σ0 20 (1 −√ x R2+ x2)
Il campo totale quindi ´e:
E(x = 2d) = σ 20 − σ 20 (1 −√ 2d R2 + 4d2) = 450V /m
c) La velocit´a minima della carica q pu´o essere calcolata dalla conservazione dell’energia considerando che la velocit´a al centro del foro sia mulla:
q(V (3d) − V (0)) = 1 2mv 2, v = r 2q∆V m ∆V = Z 3d 0 Edx = Z 3d 0 σxdx 20 √ R2+ x2 = σ 20 (√R2 + 9d2− R) = 10.4 × 104V da cui v = r 2q∆V m = 1.44m/s
