(prof. M.P.Cavaliere)
NUMERI COMPLESSI E EQUAZIONI I numeri complessi
I numeri complessiI numeri complessi
Anche se il campo reale `e sufficientemente ricco per la maggior parte delle applicazioni, tuttavia le equazioni del tipo x2 = a con a < 0 non hanno soluzione in R. Occorre quindi allargare ancora il campo dei numeri introducendo i numeri complessi.
Definiamo insieme dei numeri complessi, denotato conC, il prodotto cartesiano R × R con le seguenti operazioni:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Si verifica che con tali operazioni C `e un campo, che non pu`o essere ordinato perch´e in un campo ordinato il quadrato di un elemento non nullo `e sempre positivo.
Possiamo identificare il numero reale a con la coppia (a, 0), in questo modo risultaR ⊂ C; se inoltre si conviene di scrivere i invece che (0, 1) si vede che per ogni elemento (a, b) ∈ C risulta
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) e quindi ogni elemento di C si pu`o scrivere
(a, b) = a + ib.
Il numero reale a si dice parte reale di z = a + ib e il numero reale b si dice parte immaginaria di z e si denotano rispettivamente Re(z) e Im(z).
Si definisce per ogni numero complesso z = a + ib il coniugato di z come z = a − ib,
Propriet`a del coniugato: 1) z = z, ∀z ∈ C.
2) z + w = z + w, ∀z, w ∈ C. 3) zw = z w, ∀z, w ∈ C. 4) z = z ⇐⇒ z ∈ R.
Si definisce per ogni numero complesso z = a + ib la norma di z come N (z) = zz = a2+ b2.
`
E chiaro che N (z) `e un numero reale positivo o nullo e inoltre vale N (z) = 0 ⇐⇒ z = 0.
Quindi se z `e un numero complesso non nullo, dalla relazione zz = N (z) si ottiene che z ha un inverso che `e 1 z = z N (z) = a N (z) + i −b N (z). Propriet`a della norma:
N (zw) = N (z)N (w), ∀z, w ∈ C.
Non sempre si ha N (z + w) = N (z) + N (w).
Definiamo il modulo di un numero complesso z come |z| =pN (z). Allora valgono le seguenti propriet`a
1) |z| `e un numero reale positivo o nullo. 2) |z| = 0 ⇐⇒ z = 0.
3) |zw| = |z||w|, ∀z, w ∈ C.
4) |z + w| ≤ |z| + |w|, ∀z, w ∈ C (disuguaglianza triangolare). 5) |z| =valore assoluto di z se z `e un numero reale.
Ogni numero complesso si pu`o ”visualizzare” come un punto del piano reale (piano di Argand-Gauss). Se z = a + ib, il punto che lo rappresenta `e il punto di coordinate (a, b), il coniugato `e il simmetrico di z rispetto all’asse x e |z| `e la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come cateti a e b e quindi rappresenta la distanza del punto z dall’origine degli assi. Definiamo per ogni numero complesso z = a + ib l’argomento di z come l’angolo compreso tra l’asse delle ascisse e il segmento che congiunge il punto P = (a, b) con l’origine. Si conviene di assegnare come verso di rotazione quello antiorario e di definire l’argomento a meno di multipli di 2π nel senso che due angoli che differiscano per multipli di 2π sono considerati eguali.
Allora indicando con ρ il modulo del numero complesso z e con θ il suo argomento si ha: z = ρ(cosθ + isenθ)
da cui si ricava ¯z = ρ(cos(−θ) + isen(−θ)) e z−1 = ρ−1(cos(−θ) + isen(−θ)).
Con questa notazione trigonometrica, dati due numeri complessi z = ρ(cosθ + isenθ) e w = σ(cosα + isenα), il loro prodotto diventa
zw = (ρ(cosθ + isenθ))(σ(cosα + isenα)) = ρσ(cos(θ + α) + isen(θ + α)). Ne segue:
1) Il modulo del prodotto `e il prodotto dei moduli.
2) L’argomento del prodotto `e la somma degli argomenti. Inoltre z w = ρ σ(cos(θ − α) + isen(θ − α)), mentre la potenza `e zn = ρn(cos nθ + isen nθ). Data la equazione xn= z
ove n `e un numero intero positivo e z un numero complesso, si possono trovare le n radici distinte di questa equazione nel modo seguente:
ponendo z = σ(cosα + isenα) e x = ρ(cosθ + isenθ) si ha ρn(cos nθ + isen nθ) = σ(cosα + isenα)
da cui ½
ρ = √nσ
θ = (α + 2kπ)/n, k = 0, . . . , n − 1.
Quindi le n radici n-esime di un numero complesso z si possono visualizzare nel piano di Gauss (quello in cui sull’asse x si rappresenta la parte reale e sull’asse y il coefficiente della i) come i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di raggio
n
p
|z|. A partire dalla prima, posta sulla retta per l’origine che forma con l’asse x un angolo θ = α/n, dove 0 ≤ α < 2π `e l’argomento di z, le altre si ottengono ruotando ogni volta di 2π/n.
Esempio:
Determiniamo le radici terze di (1 + i)4.
Anzitutto scriviamo in forma trigonometrica (1 + i) =√2(cosπ4 + isenπ4). Elevando alla quarta si ha: (1 + i)4 = (√2)4(cos4π
4 + isen4 π
4) = 4(cosπ + isenπ) = −4. Allora le radici
terze saranno della forma xk =3
√
4(cosπ+2kπ3 + isenπ+2kπ3 ) e precisamente: x0=3 √ 4(cosπ3 + isenπ3) =3√4(1 2 + i √ 3 2 ), x1 = 3√4(cos3π 3 + isen 3π 3 ) = − 3√4, x2=3 √ 4(cos5π3 + isen5π3 ) =3√4(12 − i√23).
Un ulteriore tipo di rappresentazione dei numeri complessi `e quella che si chiama la forma esponenziale, in cui si sfruttano le propriet`a della funzione esponenziale per rendere pi´u facili i calcoli. Essa `e basata sulla seguente definizione (che ha giustificazioni teoriche) introdotta da Eulero (1707-1783):
eiθ = cosθ + isenθ
e quindi z = |z|eiArgz . Usando le propriet`a formali delle potenze si ha, se z = x + iy,
ez = exeiy = ex(cosy + iseny)
Inoltre, dalle definizioni date si ricavano immediatamente le formule di Eulero: senx = e ix − e−ix 2i cosx = eix+ e−ix 2 . Infatti, poich´e
½ eiθ = cosθ + isenθ
e−iθ = cos(−θ) + isen(−θ) = cosθ − isenθ, sottraendo le due equazioni si ottiene la la prima e sommandole la seconda.
Esercizi:
1) Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi (ove occorre passando attraverso la formula trigonometrica):
1−i
2+i (2 + 2i)
100 (√3 + i)20(√
12 − 2i)10
2) Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi:
(2 − 7i)(5 + 3i) 1+i1+i√5 i
i(cos π4 + isen π4) − (cos 32π − isen 32π) 3) Calcolare le radici n-esime di z dove:
a)n = 3, z = i; b)n = 4, z = −16; c)n = 4, z =√3 − i; 4) Provare che 1 + eiπ = 0
5) Rappresentare sul piano i seguenti sottoinsiemi di C. A = {z ∈ C : z(1 − z) ∈ R} B = {z ∈ C : Re(z4) = 0} C = {z ∈ C : N (z + 1) > 2} D = {z ∈ C, |z| = 12} E = {z ∈ C, |z| = |z2| } F = {z ∈ C, zz = 0} G = {z ∈ C, |z| = 1 e (1 + 2i)z ∈ R} H = {a + ib ∈ C, ab ≥ 0} 6) Risolvere in C le equazioni:
z = 1z x3 = cosπ3 − senπ6 z5+ i sen(π7) = cos(π7) z4+ 5z2+ 4 = 0
Cenni sulle equazioni algebriche Cenni sulle equazioni algebricheCenni sulle equazioni algebriche
Dati a0, a1, . . . , an in un campo K (nel nostro caso K = R oppure K = C) possiamo
considerare il polinomio f (X) = a0+ a1X + a2X2+ · · · + anXn. Se an 6= 0 si dice che il
polinomio f (X) ha grado n e si scrive δf = n. L’equazione:
a0+ a1x + a2X2+ · · · + anxn = 0
si dice equazione polinomiale (o algebrica) di grado n.
I numeri a0, a1, . . . , an si dicono coefficienti di f (in particolare an si dice coefficiente
direttivo) e X si dice indeterminata. I numeri z tali che f (z) = 0 si dicono soluzioni (o radici) dell’equazione algebrica f (X ) = 0 o anche zeri o radici del polinomio f (X ).
Se K `e il campo dei numeri complessi vale il seguente importante teorema provato da Gauss nella sua tesi di laurea (1799), di cui omettiamo la dimostrazione.
Teorema fondamentale dell’algebra. Ogni equazione algebrica ha almeno una radice complessa.
Dati due polinomi a coefficienti in un campo K, f (X) = a0+ a1X + a2X2+ · · · + anXn
e g(X) = b0+ b1X + b2X2 + · · · + bsXs, possiamo definire una somma e un prodotto nel
modo seguente: f (X) + g(X) = (a0+ b0) + (a1 + b1)X + (a2+ b2)X2+ · · · + (ai+ bi)Xi+ . . . f (X)g(X ) = a0b0+ (a0b1+ a1b0)X + (a0b2+ a1b1+ a2b0)X2+ · · · + ( i X j=0 ajbi−j)Xi+ . . .
L’insieme dei polinomi con tali operazioni si denota K[X ].
Osserviamo che il prodotto di due polinomi ha come grado la somma dei gradi, infatti se δf = n e δg = s il termine di grado massimo di f g `e anbsXn+s, quindi δ(f g) = n + s.
Inoltre vale il seguente teorema di cui non diamo la dimostrazione :
Teorema di divisibilit`a dei polinomi. Dati due polinomi f (X) e g(X ) a coefficienti in un campo K, con g(X) 6= 0, esistono due polinomi q(X) e r(X) (detti rispettivamente quoziente e resto) tali che:
f (X) = g(X)q(X ) + r(X ) con δr < δg oppure r = 0.
Esempio: Siano f (X ) = X5+ X4 + 2X3− 1, g(X) = X2− 2, allora
X5 +X4 +2X3 −1 −X5 +2X3 +X4 +4X3 −1 −X4 +2X2 4X3 +2X2 −1 −4X3 +8X +2X2 +8X −1 −2X2 +4 8X + 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ X2− 2 X3+ X2+ 4X + 2 cio`e f (X ) = g(X)(X3+ X2+ 4X + 2) + (8X + 3).
In particolare se g(X) = X − a si ha f (X) = (X − a)q(X) + r dove r `e una costante (infatti δr < δ(X − a) = 1 per cui δr = 0).
Allora se calcoliamo f (a) risulta f (a) = (a − a)q(a) + r = 0 + r = r, perci`o f (X) = (X − a)q(X) + f(a).
Abbiamo dimostrato quindi il seguente teorema:
Teorema di Ruffini. Dato un polinomio f (X ), se f (a) = 0 allora f (X) = (X − a)q(X). Dal teorema fondamentale dell’algebra e dal teorema di Ruffini segue allora che
Proposizione. Ogni polinomio f (X) = a0+a1X+a2X2+· · ·+anXna coefficienti complessi
si pu`o scomporre nel modo seguente:
f (X ) = an(X − z1)(X − z2) · · · (X − zn), z1, . . . , zn ∈ C
Dimostrazione. Per induzione sul grado n di f . Se n = 0 la tesi `e vera; sia n > 0 e supponiamo la tesi vera per n − 1. Per il teorema fondamentale dell’algebra f ha almeno una radice z, quindi per il teorema di Ruffini f = (X − z)g, dove g `e un polinomio di grado n − 1. Applicando a g l’ipotesi induttiva si ha dunque la tesi.
Teorema. Sia f (X) = a0+ a1X + a2X2+ · · · + anXn un polinomio a coefficienti reali. Se
z ∈ C\R `e uno zero di f , allora anche z lo `e.
Dimostrazione. Se f (z) = 0 si ha a0+ a1z + a2z2+ · · · + anzn= 0, quindi considerandone i
coniugati si ha
(∗) a0+ a1z + a2z2+ · · · + anzn = 0.
Ma 0 = 0 e ai = ai per ogni i = 0, . . . , n perch´e sono numeri reali, quindi tenendo conto
delle propriet`a del coniugato (∗) diventa a0+ a1z + a2z2+ · · · + anzn = 0. Ne segue che
f (z) = 0.
Osserviamo che (X − z)(X − z) = X2− (z + z)X + zz `e un polinomio a coefficienti reali, quindi dalla proposizione e dal teorema precedente segue che ogni polinomio a coefficienti reali si pu`o scomporre in fattori (a coefficienti reali) di primo o secondo grado (a seconda che le sue radici siano reali o complesse). Ne segue che:
Corollario. Ogni polinomio a coefficienti reali di grado dispari ha almeno una radice reale. Dimostrazione. Abbiamo gi`a osservato che un polinomio f a coefficienti reali si scompone in prodotto di polinomi di primo o secondo grado (e il grado di f `e la somma dei gradi dei singoli fattori). Quindi se f ha grado dispari almeno uno dei fattori `e di primo grado ed ha quindi una radice che `e anche radice di f .
Se un polinomio a coefficienti reali ha grado pari invece o non ha radici reali o ne ha in numero pari.
Quanto al problema di determinare tali radici, un’equazione algebrica di primo grado ax + b = 0 ha un’unica soluzione z = −b
a.
Un’equazione algebrica di secondo grado aX2+ bX + c = 0 ha due soluzioni zi = −b + d
i
2a i = 1, 2, dove d1, d2 sono le due radici complesse di ∆ = b
2
− 4ac, quindi l’equazione ha soluzioni reali se e solo se ∆ ≥ 0 (distinte se ∆ > 0, coincidenti se ∆ = 0), altrimenti ha due radici complesse coniugate.
Anche per risolvere le equazioni di terzo e quarto grado esiste una formula (pi´u complicata) in cui intervengono somma, prodotto e estrazione di radice, mentre si dimostra che tale formula non esiste in generale per le equazioni di grado ≥ 5 (ovviamente per certe equazioni algebriche particolari pu`o esserci, per esempio per quelle del tipo Xn = y le cui soluzioni
sono le radici n-esime di y). Esercizi:
1) Determinare le radici complesse dei seguenti polinomi: a) x3− 1
b) (x + 1)4+ i
c) x2+ 2x + 2ix + i + 1
d) x8+ x7+ x6+ x5+ x4+ x3+ x2+ x + 1 e) x8− x7+ x6− x5+ x4− x3+ x2− x + 1
2) Scomporre in fattori di primo e secondo grado i seguenti polinomi in R[x]. a) x5+ x4+ x3+ x2+ x + 1
b) x4− 2
c) x8+ x7+ x6+ x5+ x4+ x3+ x2+ x + 1
Osservazione:
Se si ha un rapporto di polinomi f (X)g(X), col grado di f (X) minore di quello di g(X), la scomposizione in fattori irriducibili di primo e secondo grado del denominatore permette di scrivere f (X)g(X) come somma di frazioni pi´u semplici. Vediamolo con un esempio:
La frazione (X3−XX2+X−1) =
X
(X−1)(X2+1) si pu`o scrivere come somma di frazioni
A (X−1) +
BX+C (X2+1).
Per calcolare A,B,C basta fare il comun denominatore ed eguagliare il numeratore a quello della frazione di partenza, ricordando che due polinomi sono uguali se hanno uguali i coefficienti dei termini dello stesso grado. Risulta A(X2+ 1) + (BX + C)(X − 1) = X, da cui (A + B)X2+ (C − B)X + A − C = X, quindi A + B = 0, C − B = 1, A − C = 0 e dunque A = C = 12, B = −12.
Si osservi che se il denominatore `e di secondo grado non pi´u riducibile nel prodotto di due fattori di primo grado, `e necessario che il numeratore sia posto di primo grado (il grado di un possibile generico resto della divisione `e ≤ 1, anche se poi il coefficiente di X pu`o risultare nullo), altrimenti possono non esserci soluzioni (se avessimo posto B = 0 non avremmo trovato C e A tali che X
(X−1)(X2+1) =
A (X−1) +
C (X2+1)).
Nel caso in cui nella frazione f (X)g(X) il grado del numeratore sia maggiore di quello del denominatore, dividendo f (X ) per g(X ) si ottiene f (X ) = g(X )q(X)+r(X ) con δr < δg oppure r = 0 e quindi ci si pu`o ridurre al caso precedente, ponendo f (X)g(X) = q(X) + r(X)g(X) e ragionando su g(X)r(X).
Esercizi:
1) Calcolare il resto della divisione di f (X) per g(X ) dove: f (X) = 3X2− 5X + 2 e g(X) = 2X2+ 2;
f (X) = 2X5
− 5X + 3 e g(X) = X + 2;
2) Scrivere come somma di frazioni con denominatore non riducibile le frazioni seguenti: 1 x2− 2x − 3; x4+ 3x3+ x − 1 x3+ x ; x5− 1 x4+ 4; x3+ 2 x3− x; x3+ 2 x4− x
