Appunti di Algebra Lineare - 2
Mongodi Samuele - s.mongodi@sns.it
31/10/2011
Le note che seguono non vogliono, n´e possono, essere il sostituto delle lezioni frontali di teoria e di esercitazione; anzi, il loro scopo `e di richiamare e integrare quanto svolto in classe. Preciso fin d’ora che non metter`o online le soluzioni di questi esercizi, che potrete controllare venendo a ricevimento. Infine, gli esercizi con il simbolo ? sono pi`u complicati degli altri e il loro svolgimento non `e necessario, ma sono presenti in queste note per chi avesse interesse per la materia.
1
I polinomi
Denoteremo con A uno qualsiasi dei seguenti insiemi numerici Z, Q, R, C .
L’insieme dei polinomi a coefficienti in A nell’incognita x si indica con A[x] e consiste di tutte le espressioni del tipo
anxn+ an−1xn−1+ . . . + a0
con a0, . . . , an ∈ A.
Ovviamente, si ha
Z[x] ⊂ Q[x] ⊂ R[x] ⊂ C[x] .
Se p(x) = anxn+. . .+a0e an 6= 0, allora deg p(x) = n; quindi deg x2+1 = 2,
deg x − x3= 3, deg 1 = 0, mentre deg 0 non `e definito1.
Dati due polinomi p(x), q(x) ∈ A[x], possiamo definire la somma e il pro-dotto p(x) + q(x) e p(x) · q(x) e questi saranno ancora elementi di A[x]; poich´e −1 ∈ A chiunque sia A, se p(x) ∈ A[x], anche −p(x) ∈ A[x], quindi possiamo de-finire anche la differenza tra polinomi e anche questa sar`a ancora un polinomio di A[x].
Notiamo che deg(p(x) + q(x)) ≤ max{deg p(x), deg q(x)} ed `ea uguale se deg p(x) 6= deg q(x); mentre si ha deg p(x)q(x) = deg p(x) + deg q(x).
Esempio: Il polinomio x2+ 2x + 3 appartiene ad A[x] per ogni scelta di A precisata sopra; d’altra parte, il polinomio x2
+ x/2 + 1/3 appartiene a Q[x], R[x] e C[x], ma non a Z[x]. Ancora, il polinomio x2+ x
√
2 +√3 appartiene a R[x] e C[x], ma non agli altri due; infine, x2+ 2ix + 3 appartiene a C[x], ma a nessuno degli altri.
Esempio: Siano p(x) = 3x2+ 2x − 1 e q(x) = x3− 7x + 2; si ha p(x) + q(x) = x3+ 3x2− 5x + 1
p(x) · q(x) = 3x5+ 2x4− 22x3− 8x2+ 11x − 2
e si nota che deg(p + q) = 3 = max{2, 3}, deg(pq) = 5 = 2 + 3.
La divisione tra polinomi presenta invece dei problemi: dati due polinomi a(x), b(x) ∈ A[x], non `e detto che esista un polinomio c(x) ∈ A[x] tale che c(x)b(x) = a(x) (questo vorrebbe dire c(x) = a(x)/b/(x)). In generale, il meglio che possiamo sperare `e la divisione con resto, nel caso A 6= Z: comunque dati a(x), b(x) ∈ A[x] con deg b ≤ deg a, esistono due polinomi q(x), r(x) ∈ A[x], con deg r(x) < deg b(x), tali che
a(x) = b(x)q(x) + r(x) .
q(x) sar`a allora il quoziente e r(x) il resto. Quando r(x) = 0, diciamo che b(x) divide a(x).
Operativamente, la divisione con resto si svolge come segue: dati due poli-nomi
x5 +2x3 −x2 +1 x3+ x − 2
calcoliamo il rapporto tra il termine di testa del dividendo e il termine di testa del divisore, in questo caso x5/x3= x2; lo scriviamo sotto il divisore e calcoliamo il prodotto tra lui e il divisore (ovvero x2· (x3+ x − 2) = x5+ x3− 2x2) che
scriviamo sotto il dividendo
x5 +2x3 −x2 +1 x3+ x − 2
x5 x3 −2x2 x3
Ora si calcola la differenza tra il dividendo e il polinomio in rosso:
x5 +2x3 −x2 +1 x3+ x − 2
x5 +x3 −2x2 x3
// x3 +x2 +1
e, se quanto ottenuto nella colonna a sinistra ha grado maggiore o uguale a quello del divisore, si procede da capo. Si prendono i due termini di testa (evidenziati in blu) e se ne calcola il rapporto: x3/x3 = 1, che va scritto sotto il divisore e moltiplicato per esso (1 · (x3+ x − 2) = x3+ x − 2). Il risultato va scritto sotto
la colonna di sinistra. x5 +2x3 −x2 +1 x3+ x − 2 x5 +x3 −2x2 x3+ 1 // x3 +x2 +1 x3 +x −2 Si calcola la differenza x5 +2x3 −x2 +1 x3+ x − 2 x5 +x3 −2x2 x3+ 1 // x3 +x2 +1 x3 +x −2 // x2 −x +3
e, poich`e il risultato in fondo alla colonna di sinistra ha grado minore di 3, ci fermiamo. Dunque, la divisione con resto tra x5+ 2x3− x2+ 1 e x3+ x − 2 ha
come quoziente x3+ 1 e come resto x2− x + 3.
Se A = Z, non `e detto che il quoziente e il resto siano sempre a coefficienti interi, ad esempio
x2+ 2x − 3 : 2x + 1 = 1 2x +
3
4 con resto − 15/4 .
Questo `e vero se, ad esempio, il divisore `e monico ovvero se il suo termine di testa ha coefficiente uguale a 1 (a meno di moltiplicare per −1 tutto il polinomio, va bene anche se il termine di testa ha coefficiente −1).
Esercizio 1 Si esegua la divisione col resto tra i seguenti polinomi
x4+ x3− 2x + 1 : 2x2− 3x + 4
4x5− x2+ 1 : 2x3+ x
x6+ x + 1 : x3+ x + 1
x7− x6+ x5− x4+ x3− x2+ x − 1 : x − 2
2
Radici e fattorizzazione
Dato un polinomio p(x) ∈ A[x], un elemento a ∈ A si dice radice o soluzione di p(x) se p(a) = 0 come espressione algebrica in A. Il seguente risultato collega l’esistenza di radici all’esistenza di divisori di grado 1.
Teorema di Ruffini Siano p(x) ∈ A[x] e a ∈ A. Allora p(a) = 0 se e solo se (x − a) divide p(x).
Pi`u in generale vale che il resto della divisione di p(x) per x − a `e p(a). Da questo risultato seguono varie propriet`a, tra cui, ad esempio, che le radici di p(x) sono al pi`u tante quanto deg p(x). L’espressione al pi`u `e giustificata da due fenomeni:
1. molteplicit`a Il polinomio x3+ 3x2+ 3x + 1 ha come unica radice x = −1,
ma la sua fattorizzazione `e (x + 1)3 e dunque, in qualche senso, la radice −1
compare 3 volte, ovvero con molteplicit`a 3, che `e proprio deg p(x);
2. assenza di radici A seconda dell’insieme A con cui si sceglie di lavorare, potrebbe essere che non si trovino radici: il polinomio 4x2− 1 non ha radici intere, ma ha due radici razionali, similmente, il polinomio x2− 3 non ha radici razionali, ma ha due radici reali, infine il polinomio x2+ 1 non ha radici reali,
ma ha due radici complesse (x = ±i).
Vale il seguente risultato (dimostraro per la prima volta da Gauss, nel XIX secolo).
Teorema fondamentale dell’algebra Un polinomio p(x) ∈ C[x] di grado n ha esattamente n radici, se contate con molteplicit`a.
Per trovare le radici di un polinomio, bisogna risolvere l’equazione p(x) = 2. Sappiamo farlo per il grado 1 e per il grado 2; vi sono formule per i gradi 3 e
4 (anche se molto complicate), ma in generale non abbiamo un algoritmo per trovare le radici. Un ”trucco” utile pu`o essere li seguente.
Radici razionali di un polinomio a coefficienti interi Supponiamo di avere un polinomio a coefficienti interi:
p(x) = axn+ . . . + b
Allora, se esiste un numero razionale (quindi della forma p/q con p e q interi) che sia una sia radice, si deve avere per forza che p divide b e q divide a. Ad esempio, prendiamo il polinomio
30x3− 7x2− 7x + 2
le sue soluzioni razionali, se esistono, devono essere formate da un divisore di 2 fratto un divisore di 30. I divisori di 2 sono ±1 e ±2, i divisori di 30 sono ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30, quindi i candidati sono
±2, ±1, ±2 3, ± 1 2, ± 1 3, ± 2 5, ± 1 5, ± 1 6, ± 1 10, ± 2 15, ± 1 15, ± 1 30
Si vede, con qualche tentativo, che i numeri −1/2, 1/3, 1/5 sono effettivamente soluzioni.
Ovviamente, pu`o anche capitare che si trovino solo alcune delle soluzioni, o anche nessuna: il polinomio x2− x − 1, secondo questo criterio, pu`o avere
come radici razionali solo ±1, ma non le ha. Le sue radici non sono razionali: (1 ±√5)/2. Il polinomio x2− x + 1 ha le stesse candidate come radici razionali,
ma non ha nemmeno radici reali.
Esempio Vogliamo trovare le radici del polinomio
p(x) = −x3+ 3x + 2
Proviamo a trovare delle radici razionali: esse saranno un divisore di 2 fratto un divisore di −1, quindi abbiamo le quattro possibilit`a ±1, ±2. Vediamo che 2 e −1 funzionano. Facendo la divisione tra polinomi, si trova
p(x) = −(x − 2)(x2+ 2x + 1) = −(x − 2)(x + 1)2.
Esercizio 2 Trovare le radici razionali dei seguenti polinomi
1. x4+ 3x2− 2x + 1
2. 3x4− 2x3+ 2x2− 2x − 1
3. 2x5+ 3x4+ 2x3+ 8x2− x − 2
In generale, se A 6= C, non potremo trovare deg p radici, quindi non riuscire-mo a scrivere p(x) come prodotto di termini di grado 1; possiariuscire-mo per`o tentare di scomporre p(x) in fattori col grado minore possibile. Ad esempio, in Z[x] il polinomio 4x4− 1 si scompone come
e lo stesso `e vero in Q[x]; per`o se lavoriamo in R[x] possiamo proseguire la fattorizzazione:
(√2x + 1)(√2x − 1)(2x2+ 1)
e ovviamente se utilizziamo C[x] otteniamo la fattorizzazione completa in ter-mini di primo grado.
(√2x + 1)(√2x − 1)(√2x + i)(√2x − i) .
Non c’`e un modo algoritmico di fattorizzare i polinomi, bisogna procedere per tentativi ed intuito; la teoria ci dice soltante che su C[x] possiamo arrivare a fattori di grado 1 (eventualmente elevati a qualche esponente), mentre su R[x] il meglio che possiamo fare `e arrivare a fattori di grado 1 o 2 (quindi qualunque polinomio di grado ≥ 3 si fattorizza ulteriormente in R[x]). Su Q[x] (o peggio Z[x]) non abbiamo alcuna informazione di questo tipo. Ad esempio, il polinomio xp−1+ xp−2+ . . . + 1 non si scompone in fattori pi`
u piccoli in Q[x], per ogni p primo in N.
Esercizio 3 Trovare le radici in C dei seguenti polinomi 1. x2+ 3x + 1
2. x3− 2x2+ 1
3. x4+ 2x2+ 7 4. x6− 8
Esercizio 4 Fattorizzare in R[x] i seguenti polinomi 1. x8− 1
2. x4+ x2+ 1
3. 2x3+ 3x2− x − 2
4. x3− 2
