Rivestimenti e gruppo fondamentale di uno spazio topologico

Alma Mater Studiorum · Universit`

a di

Bologna

FACOLT `A DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Corso di Laurea Triennale in Matematica

RIVESTIMENTI E

GRUPPO FONDAMENTALE

DI UNO SPAZIO TOPOLOGICO

Tesi di Laurea in Geometria III

Relatore:

Chiar.ma Prof.

Rita Fioresi

Presentata da:

Tommaso Pola

Sessione II

Anno Accademico 2009/2010

. . . che sempre l’ignoranza fa paura

ed il silenzio `

e uguale a morte. . .

Francesco Guccini, Canzone per Silvia

Introduzione

In questa tesi ci occuperemo di analizzare la teoria dei rivestimenti,

stu-diandone le principali propriet`a e approfondendo uno fra i problemi

fonda-mentali di tale teoria: la ricerca di una condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di un rivestimento di uno spazio topologico fissato. Per po-ter ottenere questo risultato, osserveremo la stretta correlazione fra gruppo fondamentale e rivestimenti: molti dei problemi topologici sui rivestimenti verranno infatti trasformati in problemi prettamente algebrici riguardanti i gruppi fondamentali degli spazi coinvolti. Nel corso della trattazione sono inoltre presenti numerosi esempi, molto utili per una maggior comprensione dei risultati esposti.

Il capitolo 1 ha come obiettivo principale quello di introdurre il

concet-to di rivestimenconcet-to, studiandone le principali propriet`a. Dopo aver dato la

definizione di rivestimento di uno spazio topologico e averne studiato alcu-ni esempi, ci concentreremo ed approfondiremo il caso particolare in cui gli

spazi considerati siano G-spazi, cio`e ammettano l’azione di un gruppo G.

Successivamente studieremo alcune propriet`a generali dei rivestimenti,

con-centrandoci in particol modo sul concetto di sollevamento di un rivestimento. A questo proposito studieremo i principali teoremi sul sollevamento, tra cui

spiccano il teorema di unicit`a del sollevamento e il teorema di sollevamento

dei cammini e delle omotopie.

Nel capitolo 2 ci concentreremo sullo stretto legame tra rivestimenti e gruppo fondamentale degli spazi topologici coinvolti. Pertanto, dopo aver dato la definizione di gruppo fondamentale, ne studieremo le principali

pro-priet`a, concentrandoci sulle propriet`a funtoriali e cio`e sul fatto che funzioni

continue tra spazi topologici inducono omomorfismi tra i corrispondenti

grup-pi fondamentali. Questo aspetto verr`a ulteriormente approfondito

analizzan-do il caso in cui la funzione continua sia un rivestimento. Grazie a quanto studiato, approfondiremo inoltre il concetto di sollevamento di un rivestimen-to, trovando una condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di un tale sollevamento. Nella parte finale del capitolo studieremo invece i morfismi di rivestimenti, introducendo il gruppo delle trasformazioni.

Nel capitolo 3 giungeremo a uno fra i risultati pi`u importanti di tutta

la teoria dei rivestimenti: dimostreremo infatti il teorema di esistenza per i rivestimenti. Per poter dimostrare tale teorema avremo bisogno, oltre che di tutti i risultati analizzati nei primi due capitoli, di altre nozioni preliminari. Per questo motivo introdurremo i rivestimenti universali e approfondiremo il gruppo delle trasformazioni. Soprattutto il concetto di rivestimento

uni-versale, come vedremo nel corso del capitolo, risulter`a essere un passaggio

fondamentale per la dimostrazione del teorema suddetto.

Nel capitolo 4 ci concentreremo su un’applicazione concreta della teoria dei rivestimenti; studieremo infatti i rivestimenti ramificati di superfici. Dopo averne dato la definizione e averne visto alcuni esempi, approfondiremo il caso dei rivestimenti ramificati di superfici di Riemann e osserveremo i principali risultati derivanti da questo studio.

Indice

Introduzione i

1 Rivestimenti: esempi e propriet`a 1

1.1 Definizione . . . 1

1.2 Rivestimenti e G-spazi . . . 4

1.3 Principali teoremi sui rivestimenti . . . 9

1.4 Sollevamenti di cammini . . . 11

2 Rivestimenti e gruppo fondamentale 17 2.1 Gruppo fondamentale . . . 17

2.2 Rivestimenti e gruppo fondamentale . . . 21

2.3 Teorema di sollevamento per i rivestimenti . . . 24

2.4 Omomorfismi di rivestimenti . . . 31

3 Teorema di esistenza per i rivestimenti 35 3.1 Rivestimenti universali . . . 35

3.2 L’azione del gruppo π(X, x) sull’insieme p−1(x) . . . 37

3.3 Esistenza di rivestimenti . . . 39

4 Rivestimenti ramificati 47 4.1 Rivestimenti ramificati di superfici . . . 47

4.2 Rivestimenti ramificati di superfici di Riemann . . . 50

Bibliografia 55

Capitolo 1

Rivestimenti: esempi e

propriet`

a

In questo capitolo vogliamo studiare i rivestimenti di uno spazio

topologi-co e le loro principali propriet`a, fino ad arrivare al teorema di sollevamento dei

cammini. Per comprendere appieno il concetto di rivestimento, studieremo alcuni esempi e approfondiremo il legame tra rivestimenti e G-spazi.

1.1

Definizione

In questa sezione, dopo aver enunciato la definizione di rivestimento di uno spazio topologico, studiamo alcuni esempi.

Definizione 1.1.1. Sia p : eX → X un’applicazione continua. Diremo che un

aperto U ⊆ X `e uniformemente rivestito da p se la controimmagine p−1(U )

`e unione disgiunta di sottinsiemi aperti di eX ognuno dei quali `e omeomorfo

a U tramite l’applicazione p. Si dice che p : eX → X `e un rivestimento se

per ogni x ∈ X esiste un intorno aperto di x uniformemente rivestito da p;

l’applicazione p viene detta proiezione, X spazio base e eX spazio totale.

In altri termini, p : eX → X `e un rivestimento se:

• p `e suriettiva;

• per ogni x ∈ X esiste un intorno aperto U di x e una famiglia {Uj}j∈J

di aperti di eX tali che:

1. p−1(U ) =S

j∈JUj;

2. Uj ∩ Uk= ∅ se j 6= k;

3. p|Uj : Uj → U `e un omeomorfismo per ogni j ∈ J.

Per comodit`a useremo la seguente notazione:

Notazione 1.1.1. Se p : eX → X `e un rivestimento, allora indicheremo come

rivestimento di X la coppia ( eX, p).

Vediamo ora alcuni esempi di rivestimenti.

Esempio 1.1.1. Se X `e uno spazio qualsiasi e se id : X → X `e la funzione

identit`a, allora (X, id) `e un esempio banale di rivestimento di X.

Esempio 1.1.2. Sia p : R → S1 _{definita da}

p(t) = (cos t, sin t).

1.1 Definizione 3

La coppia (R, p) `e un rivestimento di S1_{. Infatti fissato x ∈ S}1_{, sappiamo}

che esiste t1 ∈ [0, 2π) tale che x = (cos t1, sin t1). Definiamo ora t2 = π + t1

(ovviamente t2 ∈ [π, 3π)) e −x come l’antipodale di x, cio`e

−x = (− cos t1, − sin t1) = (cos t2, sin t2).

Un intorno aperto di x uniformemente rivestito da p `e dato da S1_\{−x}.

Calcoliamo la preimmagine di questo aperto:

p−1(S1\{−x}) = p−1(S1\{(cos t2, sin t2)}) = = R\[ k∈Z {t2+ 2πk} = [ k∈Z (t2+ 2πk, t2+ 2π(k + 1)).

Tutti questi aperti di R sono a due a due disgiunti e ognuno di essi `e

omeo-morfo a S1\{−x} tramite l’applicazione p e ci`<sub>o dimostra che (R, p) `e un</sub>

rivestimento di S1_.

Esempio 1.1.3. Consideriamo le coordinate polari (ρ, θ) del piano R2_{. La}

circonferenza di raggio unitario `e definita dalla condizione ρ = 1. Fissato

un n ∈ Z\{0} definiamo una funzione pn : S1 → S1 data dalla seguente

equazione:

pn(1, θ) = (1, nθ).

(S1_{, p}

n) `e un rivestimento di S1: la funzione pn avvolge la circonferenza su

se stessa n volte.

Studiamo in maniera pi`u approfondita il caso n = 2, il caso n generico `e una

facile generalizzazione. Consideriamo un qualsiasi x ∈ S1_{. Sappiamo che}

esiste un θ1 ∈ [0, 2π) tale che x = (1, θ1). Studiamo ora i due possibili casi:

• se θ1 = 0 un intorno aperto di x `e U = {1} × (−π, π); la preimmagine

di U `e: p−1₂ (U ) = {{1} × (−π 2, π 2), {1} × ( π 2, 3π 2 )},

costituito da due insiemi disgiunti, ognuno dei quali `e omeomorfo a U

• se θ1 6= 0 un intorno aperto di x `e U = {1} × (0, 2π); la preimmagine

di U `e:

p−1₂ (U ) = {{1} × (0, π), {1} × (π, 2π)},

costituito da due insiemi disgiunti, ognuno dei quali `e omeomorfo a U

tramite p2.

Abbiamo quindi dimostrato che (S1, p2) `e un rivestimento di S1. La

di-mostrazione `e analoga per tutti gli altri interi.

Esempio 1.1.4. Sia p : X × Y → X la proiezione sul primo fattore. Se Y `e

uno spazio discreto, allora (X × Y, p) `e un rivestimento di X. Infatti fissato

un punto x ∈ X e un suo intorno aperto U , sappiamo che

p−1(U ) = [

y∈Y

U × {y}.

Poich`e Y `e uno spazio discreto, ogni suo punto `e un aperto, pertanto (X ×

Y, p) `e un rivestimento di X.

Esempio 1.1.5. Siano ( eX, p) un rivestimento di X e ( eY , q) un rivestimento

di Y . Allora ( eX × eY , p × q) `e un rivestimento di X × Y , dove la funzione

p × q `e definita da

(p × q)(x, y) = (p(x), q(y)).

Infatti ogni punto (x, y) ∈ X × Y ha un intorno uniformemente rivestito da

p × q, precisamente U × V , dove U `e un intorno di x uniformemente rivestito

da p e V `e un intorno di y uniformemente rivestito da q.

1.2

Rivestimenti e G-spazi

Esempi importanti di rivestimento si ottengono a partire dai G-spazi. A questo proposito introduciamo alcune nozioni necessarie alla comprensione di tali esempi.

1.2 Rivestimenti e G-spazi 5

Definizione 1.2.1. Sia X un insieme e G un gruppo. Diremo che G agisce

su X, o che X `e un G − insieme, se esiste una funzione da G × X in X,

denotata con (g, x) → g ∗ x, tale che:

• 1G∗ x = x per ogni x ∈ X, dove 1G `e l’elemento neutro di G;

• g ∗ (h ∗ x) = (gh) ∗ x, per ogni x ∈ X, per ogni g, h ∈ G.

Teorema 1.2.1. Se X `e un G-insieme, per ogni g ∈ G la funzione θg : X →

X definita da x → g ∗ x `e biiettiva.

Dimostrazione. Dalla definizione di G-insieme segue che θg ◦ θh = θgh e che

θ1G = idX; pertanto

θg◦ θg−1 = id_X = θ_g−1 ◦ θ_g

e quindi θg `e biiettiva.

Definizione 1.2.2. Sia X uno spazio topologico e sia G un gruppo; X viene

detto un G − spazio se G agisce su X e se per ogni g ∈ G la funzione θg

definita da x → g ∗ x risulta continua.

Teorema 1.2.2. Sia X un G-spazio, allora la funzione θg : X → X `e un

omeomorfismo.

Dimostrazione. Sappiamo gi`a che la funzione θg `e biiettiva e continua.

Sap-piamo inoltre che θ−1_g = θ_g−1, e, dalla definizione di G-spazio, che θ_g `e

conti-nua per ogni g ∈ G, quindi in particolare per g−1. Abbiamo quindi mostrato

che per qualsiasi g ∈ G, θg `e una funzione continua, biiettiva con inversa

continua e ci`o dimostra che `e un omeomorfismo.

Definizione 1.2.3. Se X `e un G-insieme possiamo definire una relazione di

equivalenza ∼ su X mediante:

x ∼ y ⇐⇒ esiste g ∈ G tale che g ∗ x = y.

L’insieme delle classi di equivalenza, indicato con X/G, `e detto insieme

quoziente di X modulo G. Se X `e uno spazio topologico sul quale agisce

proiezione canonica π : X → X/G; in tal caso lo spazio X/G, `e detto spazio quoziente di X modulo G.

Per comprendere meglio i concetti appena espressi studiamo ora alcuni esempi significativi.

Esempio 1.2.1. Consideriamo l’azione di Z su R definita da θn(x) = n + x.

Poich`e θn`e continua per tutti gli n ∈ Z, R `e uno Z-spazio e lo spazio quoziente

R/Z `e omeomorfo alla circonferenza S1.

Esempio 1.2.2. Consideriamo l’azione di Z2 su Sn definita da θ0(x) = x,

θ1(x) = −x. Poich`e sia θ1, sia θ0 sono funzioni continue, Sn `e uno Z2-spazio.

Pertanto possiamo definire, utilizzando la definizione precedente, lo spazio

proiettivo, denotato con RPn, come lo spazio quoziente di Sn _{modulo Z}2,

cio`_{e RP}n= Sn_/Z2.

Teorema 1.2.3. Se X `e un G-spazio, allora la proiezione canonica π : X →

X/G `e un’applicazione aperta.

Dimostrazione. Sia U un aperto di X e consideriamo π−1(π(U )); avremo

allora:

π−1(π(U )) = {x ∈ X| π(x) ∈ π(U )} =

= {x ∈ X| π(x) = π(y) per qualche y ∈ U } = = {x ∈ X| x = g ∗ y per qualche y ∈ U, g ∈ G} =

= {x ∈ X| x ∈ g ∗ U per qualche g ∈ G} = [

g∈G g ∗ U.

Poich`e θg `e un omeomorfismo e U `e aperto, g ∗ U `e aperto per ogni g ∈ G; ne

segue che π−1(π(U )) `e aperto in X, e quindi che π(U ) `e aperto in X/G.

Definizione 1.2.4. Se X `e un G-spazio, diremo che l’azione di G su X `e

propriamente discontinua se, fissato un qualsiasi x ∈ X, esiste un intorno

V di x tale che, per ogni coppia g, g0 di elementi distinti di G, vale:

1.2 Rivestimenti e G-spazi 7

Si noti che un’azione propriamente discontinua `e libera, cio`e per ogni x ∈ X

e per ogni g ∈ G, g 6= 1G, si ha g ∗ x 6= x.

Queste nozioni ci portano alle seguenti conclusioni.

Teorema 1.2.4. Sia X un G-spazio; se l’azione di G su X `e propriamente

discontinua, allora la proiezione naturale p : X → X/G `e un rivestimento.

Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che p, essendo una proiezione, `e

un’applicazione continua e suriettiva e, per il teorema 1.2.3, aperta. Siano ora x ∈ X e U un intorno aperto di x che verifichi la condizione di

disconti-nuit`a propria; p(U ) `e un intorno aperto di p(x) uniformemente rivestito da

p in quanto p−1(p(U )) = S

g∈Gg ∗ U (per quanto visto nella dimostrazione

del teorema 1.2.3), dove, poich`e l’azione di G su X `e propriamente

discon-tinua, {g ∗ U }g∈G `e una famiglia di aperti disgiunti di X, e la restrizione

p|g∗U : g ∗ U → p(U ) `e una biiezione continua ed aperta e, come tale, `e un

omeomorfismo.

Alla luce dei risultati appena esposti, approfondiamo gli esempi 1.2.1 e 1.2.2.

Esempio 1.2.3. L’azione di Z su R descritta nell’esempio 1.2.1 `e

propria-mente discontinua: infatti, fissato x ∈ R, l’intervallo U = (x − 1₂, x + 1₂) `e

un intorno aperto di x per cui, per ogni n, n0 _{∈ Z, (n + U) ∩ (n}0+ U ) = ∅.

Pertanto la proiezione p : R → R/Z `e un rivestimento.

Esempio 1.2.4. L’azione di Z2 su Sn descritta nell’esempio 1.2.2 `e

propria-mente discontinua: infatti, fissato x ∈ Sn_{, D = {y ∈ S}n_{| ||y − x|| <} 1

2} `e un intorno aperto di x per cui 0 ∗ D ∩ 1 ∗ D = ∅. Pertanto la proiezione

p : Sn _{→ RP}n_{`e un rivestimento.}

Teorema 1.2.5. Se G `e un gruppo finito che agisce liberamente su uno spazio

di Hausdorff X, allora l’azione di G su X `e propriamente discontinua.

Dimostrazione. Siano 1G= g0, g1, g2, ..., gn gli elementi di G e sia x ∈ X.

X uno spazio di Hausdorff, esistono degli intorni aperti U0, U1, ..., Un di

g0 ∗ x, g1 ∗ x, ..., gn∗ x rispettivamente, tali che U0 ∩ Uj = ∅, per ogni

j = 1, 2, ..., n. L’insieme U = n \ j=0 g_j−1∗ Uj

`e un intorno aperto di x, ed inoltre se i 6= j ∈ {0, 1, ..., n},

gi∗ U ∩ gj∗ U = gj((g−1j gi∗ U ) ∩ U ) = = gj(gk∗ U ∩ U ) per qualche k 6= 1G. Ma gk∗ U = n \ j=0 gkg−1j (Uj) ⊆ Uk e U ⊆ U0, quindi gk∗ U ∩ U = ∅. Pertanto gi ∗ U ∩ gj∗ U = ∅

e quindi l’azione di G `e propriamente discontinua.

Combinando i 2 teoremi precedenti, si deduce facilmente il seguente corol-lario.

Corollario 1.2.6. Se G `e un gruppo finito che agisce liberamente su uno

spazio di Hausdorff X, allora (X, p) `e un rivestimento di X/G, dove p `e la

proiezione naturale.

Studiamo ora un esempio concreto di quanto appena esposto. Esempio 1.2.5. Cosideriamo

S3 = {(z0, z1) ∈ C2| |z0|2+ |z1|2 = 1}

e l’applicazione h : S3 → S3 _{definita da}

1.3 Principali teoremi sui rivestimenti 9

dove p e q sono due interi primi tra loro. Ora, poich`e h `e un omeomorfismo e

hp = idS3, possiamo definire un’azione del gruppo ciclico Z_p su S3 mediante

n ∗ (z0, z1) = hn(z0, z1),

dove n ∈ Zp = {0, 1, ..., p − 1}. Allora la proiezione naturale S3 → S3/Zp `e

un rivestimento in quanto l’azione `e libera e S3<sub>`e uno spazio di Hausdorff. Lo</sub>

spazio quoziente S3_/Z

p, denotato con L(p, q), `e chiamato spazio lenticolare.

Introduciamo ora alcune nozioni che ci serviranno nel capitolo 3.

Definizione 1.2.5. Sia X un G − spazio. Diciamo che G agisce

transi-tivamente su X (o che X `e un G − spazio omogeneo) se vale la seguente

condizione: per ogni x, y ∈ X esiste un elemento g ∈ G tale che g ∗ x = y. Definizione 1.2.6. Sia X un G − spazio. Il sottogruppo

Gx = {g ∈ G| g ∗ x = g}

di G `e chiamato sottogruppo di isotropia relativo a x secondo l’azione di G.

Definizione 1.2.7. Sia X un G−spazio e H un sottogruppo di G. Definiamo

il normalizzatore di H, e lo scriveremo N (H), il pi`u grande sottogruppo di

G contenente H come sottogruppo normale. Quindi

N (H) = {g ∈ G| gHg−1 = H}.

1.3

Principali teoremi sui rivestimenti

In questa sezione enunciamo alcuni teoremi sui rivestimenti, che ne de-scrivono le caratteristiche generali. Introduciamo anche il concetto di solle-vamento, fondamentale nello studio dei rivestimenti.

Teorema 1.3.1. Se ( eX, p) `e un rivestimento di X, allora p `e un’applicazione

Dimostrazione. Sia U un sottinsieme aperto di eX, x ∈ p(U ) e V un intorno

aperto di x uniformemente rivestito da p. Siax ∈ U tale che x = p(_{e e}x), allora

e

x ∈ p−1(V ) = [

j∈J Vj

e quindi x ∈ V_e j ∩ U per un qualche j ∈ J. Poich`e Vj ∩ U `e aperto in Vj e

p|Vj : Vj → V `e un omeomorfismo, p(Vj ∩ U ) `e aperto in V e quindi in X.

Inoltre

x = p(_ex) ∈ p(Vj ∩ U ) ⊆ p(U );

abbiamo cos`ı trovato un intorno aperto di x contenuto interamente in p(U ),

il che implica che p(U ) `e aperto. Ci`o dimostra che p `e aperta.

Per quanto riguarda la seconda parte del teorema, poich`e p `e una suriezione

continua e aperta, un sottinsieme V di X `e aperto in X se e solo se p−1(V )

`e aperto in eX e questa `e proprio la definizione di aperto nella topologia

quoziente.

Introduciamo ora il concetto di sollevamento.

Definizione 1.3.1. Se ( eX, p) `e un rivestimento di X e f : Y → X `e una

funzione continua, un sollevamento di f `e una funzione continua ef : Y → eX

tale che p ◦ ef = f . e X p  Y e f ?? f //X (1.1)

Il seguente teorema mostra che, fissato il punto iniziale, se tale

sollevamen-to esiste, `e unico. Si tratta di un risultato fondamentale, la cui importanza

sar`a chiarita nel prossimo capitolo.

Teorema 1.3.2 (Teorema di unicit`a del sollevamento). Sia ( eX, p) un

ri-vestimento di X, e siano ef , ef0 _{: Y → eX due sollevamenti di una funzione}

continua f : Y → X. Se Y `e uno spazio connesso e se ef (y0) = ef0(y0) per un

1.4 Sollevamenti di cammini 11

Dimostrazione. Sia Y0 l’insieme dei punti sui quali ef e ef0 _{coincidono, cio`e:}

Y0 = {y ∈ Y | ef (y) = ef0_(y)}.

Per ipotesi Y0 non `e vuoto (y0 ∈ Y0). Dimostriamo ora che Y0 `e sia aperto sia

chiuso; poich`e Y `e connesso, ne dedurremo che Y0 = Y e che quindi ef = ef0_.

Siano y ∈ Y e V un intorno aperto di f (y) uniformemente rivestito da p;

scriviamo p−1(V ) come unione disgiunta S

j∈JVj, dove Vj `e aperto in eX e

p|Vj : Vj → V `e un omeomorfismo. Se y ∈ Y

0_{, il punto}

e

x = ef (y) = ef0_(y)

appartiene a Vk per qualche k ∈ J , quindi ef−1(Vk) ∩ ef0

−1

(Vk) `e un intorno

aperto di y. Vediamo ora che tale intorno `e interamente contenuto in Y0: se

z ∈ ef−1(Vk) ∩ ef0 −1

(Vk), ef (z) e ef0(z) sono due punti di Vk, entrambi mandati

in f (y) da p; poich`e p|Vk `e iniettiva, ne segue che ef (z) = ef

0_{(z), ossia che}

z ∈ Y0. Ci`o dimostra che Y0 `e aperto.

D’altro canto se y /∈ Y0, ragionando in modo analogo si deduce che ef (y) ∈ Vk

e ef0_{(y) ∈ V}

l, dove k 6= l; di conseguenza ef−1(Vk) ∩ ef0

−1

(Vl) `e un intorno

aperto di y, chiaramente contenuto nel complementare di Y0. Ci`o dimostra

che Y \Y0 `e aperto e che quindi Y0 `e chiuso.

Corollario 1.3.3. Sia ( eX, p) un rivestimento di X con eX connesso per archi,

e sia ϕ : eX → eX una funzione continua con p ◦ ϕ = p. Se ϕ ha un punto

fisso (cio`e se ϕ(x1) = x1, per qualche x1 ∈ eX), ϕ `e l’applicazione identica.

Dimostrazione. Sia x un punto qualsiasi di eX e α : I → eX un arco dal punto

fisso x1 a x. Gli archi α e ϕ ◦ α sono due sollevamenti dell’arco p ◦ α : I → X

(perch`e p ◦ α = p ◦ ϕ ◦ α) ed iniziano entrambi in x1 (perch`e ϕ(x1) = x1).

Dal teorema 1.3.2 segue allora che i due archi coincidono; in particolare

coincidono i loro punti finali, cio`e x = ϕ(x).

1.4

Sollevamenti di cammini

E’ gia stato introdotto il concetto di sollevamento; in questa sezione

in cui l’insieme Y sia l’intervallo I = [0, 1]. e X g  I e f @@ f //X (1.2)

Premettiamo alcune nozioni per comprendere appieno i risultati di questa sezione.

Definizione 1.4.1. Sia p : eX → X un’applicazione continua, la coppia

( eX, p) si dice rivestimento banale di X se eX si pu`o decomporre in un’unione

disgiunta di aperti fXi e p|Xfi `e un omeomorfismo su X.

Notazione 1.4.1. Sia K uno spazio metrico con metrica d, x ∈ X e δ ∈ R+.

Denotiamo con B(x, δ) la palla aperta di centro x e raggio δ, cio`e

B(x, δ) = {y ∈ K| d(x, y) < δ}.

Notazione 1.4.2. Sia K uno spazio metrico con metrica d e K0 ⊆ K. Si dice

che K0 ha diametro c se sup{d(k1, k2)| k1, k2 ∈ K0} = c.

Lemma 1.4.1 (Numero di Lebesgue). Sia K uno spazio topologico compatto

e metrizzabile con metrica d. Per ogni ricoprimento aperto {Uj| j ∈ J}

esiste un numero δ, detto numero di Lebesgue del ricoprimento, tale che

ogni sottinsieme di K con diametro < δ `e interamente contenuto in un Uj.

Dimostrazione. Fissato un x ∈ K, sia ε(x) = sup{δ > 0|∃j ∈ J tale che

B(x, δ) ⊆ Uj}. Poniamo ε0 = infx∈Kε(x). Se ε0 > 0, prendendo ε = ε₂0 si

ottiene l’asserto.

Supponiamo ora per assurdo che ε0 = 0; allora esiste una successione {xn}n∈N

di punti in K tale che limn→∞ε(xn) = 0. Poich`e K `e compatto,

possia-mo supporre che esista x0 ∈ K tale che limn→∞xn = x0. Sia n0 tale che

d(x0, xn) < 1₄ε(x0), per ogni n ≥ n0. Allora si ha B(xn,ε(x₄0)) ⊂ B(x0,ε(x₂0)),

per ogni n ≥ n0 e quindi ε(xn) ≥ ε(x₄0), per ogni n ≥ n0. Pertanto

lim

n→∞ε(xn) ≥ ε(x0)

4 > 0,

1.4 Sollevamenti di cammini 13

Teorema 1.4.2 (Teorema di sollevamento dei cammini e delle omotopie).

Sia ( eX, p) un rivestimento di X.

• per ogni arco f : I → X e per ogni x_e0 ∈ eX con p(xe0) = f (0), esiste

uno e un solo arco ef : I → eX tale che p ◦ ef = f e ef (0) =x_e0.

• per ogni funzione continua f : I × I → X e per ogni x_e0 ∈ eX con

p(x_e0) = F (0, 0), esiste una e una sola funzione continua eF : I × I → eX

tale che p ◦ eF = F e eF (0, 0) =x_e0.

Dimostrazione. Dimostreremo solo il primo caso, in quanto il secondo si di-mostra in maniera analoga.

L’unicit`a deriva direttamente dal teorema 1.3.2.

Rimane ora da dimostrare l’esistenza del sollevamento: consideriamo un

ri-coprimento {Uj}j∈J di X tale che ∀j ∈ J , (p−1(Uj), p|p−1_(U

j)) sia un

rive-stimento banale di Uj. Consideriamo poi il ricoprimento {f−1(Uj)}j∈J di

I, e sia δ il suo numero di Lebesgue: possiamo costruire una successione

0 = b0 < b1 < ... < bn−1 < bn = 1 tale che |bj − bj−1| < δ e dunque

f ([bj−1, bj]) = f (Ij) ⊂ Ukj, per un certo kj ∈ J. Costruiamo ora

indut-tivamente per j = 0, 1, ..., n dei sollevamenti efj, definiti su [0, bj], tali che

e

fj(0) = xe0. Per j = 0 non abbiamo altra scelta che porre ef0(0) = xe0.

Sup-poniamo ora di aver definito un sollevamento efj : [0, bj] → eX con efj(0) =xe0;

consideriamo il punto ef (bj) contenuto nell’aperto p−1(Ukj+1). Usando

l’in-versa di questo omeomorfismo (ricordiamo che (p−1(Uj), p|p−1_(U

j)) `e un

rive-stimento banale di Uj) possiamo definire gfk+1. Pertanto, ponendo ef = efn, si

ottiene il sollevamento cercato.

Corollario 1.4.3 (Teorema di monodromia). Sia ( eX, p) un rivestimento di

X. Siano f, f0 due cammini chiusi su x0 ∈ X tali che f ∼ f0 con omotopia

F . Fissato _ex ∈ p−1(x0) e detti ef un sollevamento di f e ef0 un sollevamento

di f0 con ef (0) = ef0_{(0) =}

e

x, risulta ef (1) = ef0_(1).

Dimostrazione. Per il teorema 1.4.2 esiste uno e un solo sollevamento di

e

F (x, 0) = ef e eF (x, 1) = ef0_{. Inoltre eF (1, t) ∈ p}−1_(x

0). Poich`e x0 ammette

un aperto uniformemente rivestito, ogni elemento di p−1(x0) appartiene ad

un diverso Ui disgiunto dagli altri; poich`e I `e connesso e eF (1, t) `e continua

allora eF (1, I) deve essere connesso e, pertanto, eF (1, I) `e costante.

Definizione 1.4.2. Sia ( eX, p) un rivestimento di X. La controimmagine di

un punto x ∈ X viene chiamata fibra su x.

Corollario 1.4.4. Se ( eX, p) `e un rivestimento di X, allora la fibra su x,

cio`e l’insieme p−1(x), ha la stessa cardinalit`a per qualsiasi x ∈ X.

Dimostrazione. Siano x0, x1 ∈ X, e sia f : I → X tale che f (0) = x0 e

f (1) = x1. Grazie a questo cammino `e possibile definire una mappa biiettiva

da p−1(x0) a p−1(x1). Infatti: dato un qualsiasi punto y0 ∈ p−1(x0), esiste

g, sollevamento di f , in eX con punto iniziale y0 tale che p ◦ g = f . Sia

y1 il punto finale di g. Allora la funzione che manda y0 in y1 `e la funzione

cercata. Usando f , il cammino inverso a f , f (t) = f (1 − t), possiamo definire

in modo analogo a prima una funzione da p−1(x1) a p−1(x0). Risulta ovvio

che queste due funzioni sono una l’inversa dell’altra e questo prova la loro

biiettivit`a.

Grazie a questo corollario `e possibile definire il grado di un rivestimento.

Definizione 1.4.3. Sia ( eX, p) `e un rivestimento di X, e sia x ∈ X. La

cardinalit`a dell’insieme p−1(x), cio`e la cardinalit`a della fibra su x, `e chiamata

grado del rivestimento o numero di fogli del rivestimento.

Troviamo ora il grado di qualche rivestimento precedentemente studiato.

Esempio 1.4.1. Consideriamo il rivestimento (R, p) di S1 descritto

nell’e-sempio 1.1.2. Poich`e

p−1((1, 0)) = {2πk}_k∈Z,

1.4 Sollevamenti di cammini 15

Esempio 1.4.2. Consideriamo il rivestimento (S1_{, p}

n) di S1 descritto

nell’e-sempio 1.1.3. Poich`e

p−1((1, 0)) = {2πk

n | k = 0, 1, ..., n − 1},

tale rivestimento avr`a grado n.

Esempio 1.4.3. Consideriamo il rivestimento (R, p) di R/Z descritto negli

esempi 1.2.1 e 1.2.3. Poich`e

p−1_{([0]) = Z,}

Capitolo 2

Rivestimenti e gruppo

fondamentale

In questo capitolo verr`a analizzato e approfondito il legame fra

rivesti-mento e gruppo fondamentale di uno spazio topologico. Dopo aver definito

il gruppo fondamentale e averne esposto le principali propriet`a, studieremo

la relazione tra i gruppi fondamentali π(X, x) e π( eX,_ex) dato un

rivestimen-to p : eX → X. Grazie ai risultati che analizzeremo, troveremo anche una

condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di un sollevamento, appro-fondendo i risultati della sezione 1.3. Nell’ultima sezione studieremo invece gli omomorfismi tra rivestimenti.

2.1

Gruppo fondamentale

In questa sezione, dopo aver esposto alcune nozioni preliminari, intro-duciamo il concetto di gruppo fondamentale e ne studiamo le principali

propriet`a.

Definizione 2.1.1. Siano f0, f1 : I → X due cammini tali che f0(0) = f1(0)

e f0(1) = f1(1). Si dice che f0 e f1 sono equivalenti (e scriveremo f0 ∼ f1)

se esiste una funzione continua F : I × I → X, detta omotopia tra f0 e f1,

tale che

F (t, 0) = f0(t), F (t, 1) = f1(t),

F (0, s) = f0(0) = f1(0), F (1, s) = f0(1) = f1(1).

In tal caso scriveremo F : f0 ∼ f1.

Definizione 2.1.2. Siano f, g : I → X due cammini tali che f0(1) = f1(0).

Si definisce il prodotto di archi, che indicheremo con ∗, nel seguente modo:

(f ∗ g)(t) =      f (2t), 0 ≤ t ≤ 1 2 g(2t − 1), 1 2 ≤ t ≤ 1

Lemma 2.1.1. Siano f0, f1, g0, g1 dei cammini in X, con f0(1) = g0(0) e

f1(1) = g1(0). Se f0 ∼ f1 e g0 ∼ g1, allora f0∗ g0 ∼ f1∗ g1.

Dimostrazione. Siano F : f0 ∼ f1 e G : g0 ∼ g1 due omotopie, e definiamo

H : I × I → X come: H(t, s) =      F (2t, s), 0 ≤ t ≤ 1 2 G(2t − 1, s), 1 2 ≤ t ≤ 1

Poich`e F (1, s) = f0(1) = g0(0) = G(0, s), H `e continua per il lemma di

incollamento; pertanto H `e un’omotopia tra f0∗ g0 e f1 ∗ g1.

Definizione 2.1.3. Un cammino f : I → X `e detto chiuso se f (0) = f (1).

In particolare il punto x = f (0) = f (1) si chiama base di f .

Definizione 2.1.4. Sia x ∈ X. Consideriamo l’insieme delle classi di equi-valenza dei cammini chiusi di base x e lo denotiamo con π(X, x). Questo

insieme `e dotato di un’operazione binaria definita da [f ][g] = [f ∗ g] (ben

definita per il lemma 2.1.1). Con questa operazione π(X, x) risulta essere un gruppo, chiamato gruppo fondamentale (o primo gruppo di omotopia) di

X con punto base x. L’elemento neutro del gruppo `e [εx], dove εx : I → X

tale che εx(t) = x, per ogni t ∈ I; l’inverso di [f ] `e invece dato da [f ]−1 = [f ],

dove f : I → X tale che f (t) = f (1 − t).

2.1 Gruppo fondamentale 19

Teorema 2.1.2. Se f `e un cammino in X dal punto x ∈ X al punto y ∈ X,

allora i gruppi π(X, x) e π(X, y) sono isomorfi.

Dimostrazione. Se f `e un cammino da x a y, per ogni arco chiuso g di base

x, (f ∗ g) ∗ f `e un cammino chiuso di base y. Definiamo allora:

uf : π(X, x) → π(X, y), come uf[g] = [f ∗ g ∗ f ].

L’applicazione uf `e un omomorfismo di gruppi: infatti

uf([g][h]) = uf[g ∗ h] = [f ∗ g ∗ h ∗ f ] = [f ∗ g ∗ f ∗ f ∗ h ∗ f ] =

= [f ∗ g ∗ f ][f ∗ h ∗ f ] = uf[g]uf[h].

Inoltre, utilizzando il cammino f da y a x, possiamo definire:

u_f : π(X, y) → π(X, x), come u_f[h] = [f ∗ h ∗ f ].

Ora, poich`e u<sub>f</sub>uf[g] = [g] e ufuf[h] = [h], uf `e biiettiva e quindi `e un

isomorfismo.

Una conseguenza ovvia del teorema precedente `e il seguente corollario:

Corollario 2.1.3. Se X `e uno spazio connesso per archi, π(X, x) e π(X, y)

sono gruppi isomorfi per ogni coppia di punti x, y ∈ X.

Questo corollario risulta molto importante, in quanto, a meno di

isomor-fismo, si pu`o parlare di gruppo f ondamentale di X, senza far riferimento

al punto base, qualora X sia uno spazio topologico connesso per archi. Per questo motivo, da ora in poi, supporremo che ogni spazio topologico che con-sidereremo sia connesso per archi, a meno di non specificare esplicitamente di trovarci in altre ipotesi.

Studiamo ora i gruppi fondamentali di due spazi topologici X e Y tali che esista una funzione continua fra di loro.

Definizione 2.1.5. Consideriamo una funzione continua ϕ : X → Y . Ab-biamo immediatamente che:

• se f `e un cammino in X, allora ϕ ◦ f `e un cammino in Y ; • se f ∼ g, allora ϕ ◦ f ∼ ϕ ◦ g;

• se f `e un cammino chiuso in X di base x, allora ϕ ◦ f `e un cammino chiuso in Y di base ϕ(x).

Pertanto, per ogni elemento [f ] di π(X, x), [ϕ ◦ f ] `e un elemento ben definito

di π(Y, ϕ(x)); possiamo quindi definire

ϕ∗ : π(X, x) → π(Y, ϕ(x)) come ϕ∗[f ] = [ϕ ◦ f ].

Teorema 2.1.4. La funzione ϕ∗ `e un omomorfismo di gruppi.

Dimostrazione.

ϕ∗([f ][g]) = ϕ∗[f ∗ g] = [ϕ ◦ (f ∗ g)] = [(ϕ ◦ f ) ∗ (ϕ ◦ g)] =

= [ϕ ◦ f ][ϕ ◦ g] = ϕ∗[f ]ϕ∗[g].

Ci`o dimostra che ϕ∗ `e un omomorfismo.

Definizione 2.1.6. Se ϕ : X → Y `e una funzione continua, l’omomorfismo

di gruppi ϕ∗ : π(X, x) → π(Y, ϕ(x)) definito da ϕ∗[f ] = [ϕ ◦ f ] `e detto

omomorfismo indotto da ϕ.

Teorema 2.1.5. • Se ϕ : X → Y e ψ : Y → Z sono funzioni continue,

allora (ψ ◦ ϕ)∗ = ψ∗◦ ϕ∗.

• Se id : X → X `e l’applicazione identica, id∗ `e l’omomorfismo identico

di π(X, x).

Dimostrazione. Per definizione: •

(ψ ◦ ϕ)∗[f ] = [(ψ ◦ ϕ) ◦ f ],

2.2 Rivestimenti e gruppo fondamentale 21

•

id∗([f ]) = [id ◦ f ] = [f ].

Corollario 2.1.6. Se ϕ : X → Y `e un omeomorfismo, allora ϕ∗ : π(X, x) →

π(Y, ϕ(x)) `e un isomorfismo.

Dimostrazione. Dal teorema precedente segue che:

(ϕ−1)∗ϕ∗ = (idX)∗ = idπ(X,x)

ϕ∗(ϕ−1)∗ = (idY)∗ = idπ(Y,ϕ(x))

e quindi ϕ∗ e (ϕ−1)∗sono isomorfismi e inoltre sono uno inverso dell’altro.

I risultati studiati in questa sezione descrivono l’idea che sta alla base della topologia algebrica, nella quale si cerca di sostituire alcune nozioni algebriche, in modo da utilizzare le nostre conoscenze algebriche per dedurre risultati d’interesse topologico. Il passaggio da uno spazio topologico al suo gruppo fondamentale costituisce infatti un esempio di funtore. Un funtore differisce da una funzione in modo sostanziale. Oltre ad associare ad ogni spazio topologico un gruppo, il funtore associa a funzioni continue tra spazi topologici omomorfismi tra i rispettivi gruppi fondamentali in modo naturale.

2.2

Rivestimenti e gruppo fondamentale

Finora abbiamo studiato il morfismo ϕ∗ indotto da una funzione continua

ϕ : X → Y ha sui gruppi fondamentali π(X, x) e π(Y, ϕ(x)). In questa sezione ci concentriamo nello studio del morfismo indotto da un rivestimento

di X, ( eX, p), sui gruppi fondamentali π( eX, _ex) e π(X, p(_ex)).

Definizione 2.2.1. Uno spazio topologico si dice semplicemente connesso

se `e connesso per archi e se π(X, x) = {1} per qualche (e quindi,

Una conseguenza immediata dei risultati esposti finora `e il seguente teo-rema.

Teorema 2.2.1. Sia ( eX, p) un rivestimento di X, con eX semplicemente

connesso. Per ogni x0 ∈ X c’`e una corrispondenza biunivoca fra gli insiemi

π(X, x0) e p−1(x0).

Dimostrazione. Sia x_e0 ∈ p−1(x0) e definiamo ϕ : π(X, x0) → p−1(x0) come

ϕ[f ] = ef (1) dove ef `e un sollevamento di f con ef (0) =x<sub>e</sub>0 (tale applicazione `e

ben definita). L’inversa ψ : p−1(x0) → π(X, x0) `e definita come ψ(ex) = [p◦f ],

dove f `e un arco in eX da x<sub>e</sub>0 a x (un tale arco esiste perch`e e eX `e connesso

per archi). ψ `e ben definita perch`e due archi f ed f0 in eX da x_e0 a ex sono

necessariamente equivalenti ( eX `e semplicemente connesso), e quindi p ◦ f e

p ◦ f0 sono equivalenti.

Il precedente teorema suggerisce pertanto un metodo per calcolare il

grup-po fondamentale π(X, x0): innanzitutto si trova un rivestimento di X ( eX, p)

con eX semplicemente connesso, poi si definisce una struttura di gruppo

sul-l’insieme p−1(x0) in modo tale che la biiezione ϕ : π(X, x0) → p−1(x0) sia

un isomorfismo di gruppi. Tale metodo tuttavia, non essendo di facile appli-cazione, non viene praticamente mai utilizzato.

Altra conseguenza dei teoremi esposti nel capitolo precedente,

special-mente del teorema 1.4.2, `e il seguente teorema.

Teorema 2.2.2. Sia ( eX, p) un rivestimento di X, x_e0 ∈ eX e x0 = p(xe0).

Allora l’omomorfismo indotto p∗ : π( eX,x_e0) → π(X, x0) `e un monomorfismo.

Dimostrazione. Per mostrare che p∗`e un monomorfismo, basta mostrare che

Ker(p∗) = {e}. Sia ora f un cammino chiuso di base xe0 tale che p∗[f ] = e,

identit`a di π(X, x0); c’`e pertanto un’omotopia F tra p ◦ f e il cammino

costante in x0, εx0. Grazie al teorema 1.4.2, F pu`o essere sollevata a

un’o-motopia eF tra f e un qualche cammino. Poich`e F mappa sia la base inferiore,

2.2 Rivestimenti e gruppo fondamentale 23

e

F mappa a sua volta sia la base inferiore, sia quella superiore del quadrato

unitario nel puntox_e0. Pertanto eF `e un’omotopia tra f e il cammino costante

ε_fx0 e ci`o conclude la dimostrazione.

Scegliendo un diverso punto base x_e1 ∈ p−1(x0) si ottiene in generale

un sottogruppo p∗π( eX,xe1) diverso a seconda del punto scelto. Il seguente

teorema mostra la relazione che c’`e tra i sottogruppi p∗π( eX,xe0) e p∗π( eX,xe1).

Teorema 2.2.3. Sia ( eX, p) un rivestimento di X. Per ogni coppiax_e0,xe1 di

punti di eX esiste un arco f in X da p(x_e0) a p(xe1) tale che ufp∗π( eX,xe0) =

p∗π( eX,xe1), ove uf `e il morfismo g → f ∗ g ∗ f descritto nel teorema 2.1.2.

Dimostrazione. Ogni arco g in eX da x_e0 axe1, per 2.1.2, individua un

isomor-fismo ugfra i gruppi fondamentali π( eX,xe0) e π( eX,xe1); pertanto ugπ( eX,xe0) =

π( eX,x_e1). Applicando l’omomorfismo p∗si ottiene p∗ugπ( eX,xe0) = p∗π( eX,xe1), pertanto l’arco f = p ◦ g soddisfa le condizioni richieste.

Applicando il teorema nel caso in cui p(x_e0) = p(xe1) = x0 si ottiene un

arco chiuso f di base x0, e quindi un elemento [f ] di π(X, x0) per il quale

vale la relazione p∗π( eX,x_e1) = [f ]−1(p∗π( eX,x_e0))[f ]; di conseguenza π( eX,xe1)

e π( eX,x_e0) sono sottogruppi coniugati di π(X, x0). La nostra discussione si

pu`o riassumere con il seguente diagramma commutativo:

π( eX,x_e0) p∗ _// ug  π(X, x0) uf  π( eX,x_e1) p∗ _// π(X, x0) (2.1)

Vale inoltre il seguente:

Teorema 2.2.4. Sia ( eX, p) un rivestimento di X. Se x0 ∈ X, l’insieme

Z = {p∗π( eX,xe0) | xe0 ∈ p −1_(x

0)} `e una classe di coniugio (cio`e una classe di

equivalenza per l’azione di coniugio) di sottogruppi di π(X, x0).

Dimostrazione. Abbiamo gi`a visto che due elementi qualunque dell’insieme

dei sottogruppi p∗π( eX,xe0) in Z, cio`e H = α −1_(p

∗π( eX,xe0))α per qualche α ∈

π(X, x0). Se α = [f ], denotiamo con ef un sollevamento con punto inizialexe0;

per il teorema precedente avremo allora: p∗π( eX, ef (1)) = ufp∗π( eX,xe0) = H,

e quindi H appartiene all’insieme dato.

2.3

Teorema di sollevamento per i

rivestimen-ti

Nella sezione 1.3 abbiamo visto che, dato un rivestimento ( eX, p) di X e

una funzione continua f da uno spazio connesso Y in X, un sollevamento ef

di f in eX, se esiste, `e unico. In questa sezione cerchiamo invece di analizzare

il problema dell’esistenza di tale sollevamento.

Innanzitutto diamo la definizione di spazio topologico localmente connes-so per archi.

Definizione 2.3.1. Uno spazio topologico X `e detto localmente connesso

per archi se, per ogni x ∈ X, ogni intorno aperto di x contiene un intorno aperto di x che sia connesso per archi.

Lemma 2.3.1. Uno spazio connesso e localmente connesso per archi `e

con-nesso per archi.

Dimostrazione. Siano Y uno spazio connesso e localmente connesso per archi, y un punto di Y ed indichiamo con U l’insieme dei punti di Y che possono

essere uniti a y con un cammino in Y . Poich`e Y `e localmente connesso per

archi, ogni punto u ∈ U ammette un intorno aperto V connesso per archi;

tale intorno `e interamente contenuto in U perch`e se v ∈ V esiste un cammino

in V da v a u e un cammino in Y da u a y, e quindi esiste in Y un cammino da

v a y. Ci`o dimostra che U `e aperto. In maniera analoga si dimostra che Y \U

`e aperto. Quindi U `e un sottinsieme di Y non vuoto (contiene sicuramente

y) simultaneamente aperto e chiuso. Poich`e Y `e connesso, ci`o implica che

2.3 Teorema di sollevamento per i rivestimenti 25

Introduciamo ora una notazione per semplificare la scrittura delle fun-zioni.

Notazione 2.3.1. Siano X e Y spazi topologici, x ∈ X e y ∈ Y , allora la notazione

f : (X, x) → (Y, y)

significa che f `e una funzione continua da X in Y con f (x) = y.

Utilizzando la notazione sopra descritta, il problema dell’esistenza di un sollevamento risulta essere il seguente.

Siano ( eX, p) un rivestimento di X, x_e0 ∈ eX, x0 = p(xe0), y0 ∈ Y , e f :

(Y, y0) → (X, x0). Sotto quali condizioni esiste una funzione ef : (Y, y0) →

( eX,x_e0) tale che il seguente diagramma:

( eX,x_e0) p  (Y, y0) e f_uuu::u u u u u u f JJJ_%%J J J J J J (X, x0) (2.2) sia commutativo?

Nel caso ef sia un sollevamento di f , si ha il seguente diagramma

commu-tativo: π( eX,x_e0) p∗  π(Y, y0) e f∗_rrrr 99r r r r r r f∗ LLL&&L L L L L L L π(X, x0) (2.3)

nel quale p∗ `e iniettiva (vedere il teorema 2.2.2) e p∗◦ ef∗ = f∗; pertanto

Ne segue che la relazione f∗π(Y, y0) ⊆ p∗π( eX,xe0) `e una condizione necessaria

per l’esistenza di ef . L’aspetto pi`u interessante `e che, nel caso in cui Y sia

uno spazio localmente connesso per archi, tale condizione `e anche sufficiente.

Tale risultato viene descritto e analizzato nel seguente teorema.

Teorema 2.3.2. Siano ( eX, p) un rivestimento di X, Y uno spazio connesso

e localmente connesso per archi, y0 ∈ Y , xe0 ∈ eX e x0 = p(xe0). Sia f :

(Y, y0) → (X, x0). Condizione necessaria e sufficiente affinch`e esista un

sollevamento ef : (Y, y0) → ( eX,xe0) `e che

f∗π(Y, y0) ⊆ p∗π( eX,xe0).

Dimostrazione. Per semplificare la comprensione dividiamo la dimostrazione in passaggi.

• Abbiamo gi`a mostrato che la condizione `e necessaria; vediamo ora che

essa `e anche sufficiente. Per fare ci`o dobbiamo definire la funzione ef .

Le seguenti considerazioni mostrano che c’`e un solo modo per definire

e

f . Assumiamo che ef esista; sia y un qualsiasi punto di Y . Poich`e Y `e

connesso per archi (per il lemma 2.3.1), possiamo scegliere un cammino

ϕ : I → Y con punto iniziale y0 e punto finale y. Consideriamo i

cammini f ◦ ϕ e ef ◦ ϕ, rispettivamente in X e in eX. Il cammino ef ◦ ϕ

`e un sollevamento di f ◦ ϕ, e ef (y) `e il punto finale del cammino ef ◦ ϕ.

• Alla luce di tali considerazioni, definiamo la funzione ef : (Y, y0) →

( eX,x_e0) nel seguente modo. Fissato un qualsiasi punto y ∈ Y , scegliamo

un cammino ϕ : I → Y con punto iniziale y0 e punto finale y. Allora

f ◦ ϕ `e un cammino in X con punto iniziale x0. Per il teorema 1.4.2

esiste un unico cammino ]f ◦ ϕ : I → eX con punto iniziale x_e0 e tale che

p ◦ ]f ◦ ϕ = f ◦ ϕ. Definiamo:

e

f (y) = punto finale di ]f ◦ ϕ.

Vediamo ora che la definizione `e ben posta, mostrando che ef (y) non

dipende dalla scelta del cammino ϕ. Se ψ `e un altro cammino in Y da

2.3 Teorema di sollevamento per i rivestimenti 27

f∗[ϕ ∗ ψ] ∈ f∗π(Y, y0) ⊆ p∗π( eX,xe0),

e quindi esiste un arco chiuso α in eX di basex_e0 per il quale

[f ◦ ϕ ∗ f ◦ ψ] = f∗[ϕ ∗ ψ] = p∗[α] = [p ◦ α].

Tenendo presenti le propriet`a del prodotto di archi, si ottiene:

f ◦ ϕ ∼ f ◦ ϕ ∗ εx0 ∼ f ◦ ϕ ∗ (f ◦ ψ ∗ f ◦ ψ) ∼

∼ (f ◦ ϕ ∗ f ◦ ψ) ∗ f ◦ ψ ∼ p ◦ α ∗ f ◦ ψ.

Dal corollario 1.4.3 segue allora che ]f ◦ ϕ(1) = γ(1), dove γ `e un

solle-vamento di p◦α∗f ◦ψ che inizia in x0; ma per l’unicit`a di sollevamento,

γ = α ∗ ]f ◦ ψ, e quindi

]

f ◦ ϕ(1) = γ(1) = (α ∗ ]f ◦ ψ)(1) = ]f ◦ ϕ(1),

il che dimostra che ef `e ben definita. Si osservi che finora abbiamo

sfruttato solo l’ipotesi che Y sia connesso.

• Per dimostrare che ef `e una funzione continua, dovremo utilizzare

l’ipote-si di connesl’ipote-sione per archi locale per Y . Siano y ∈ Y e U un

in-torno aperto in eX di ef (y). Per dimostrare la continuit`a, noi dobbiamo

mostrare che esiste un intorno V di y tale che ef (V ) ⊆ U . Per il

teorema 1.3.1 p `e un’applicazione aperta e quindi p(U ) `e un intorno

aperto di p ◦ ef (y) = f (y); possiamo allora trovare un intorno U0 di

f (y) uniformemente rivestito da p, tale che U0 ⊆ p(U ). Per definizione,

p−1(U0) = S

j∈J(Vj), dove ogni Vj `e omeomorfo a U

0 _{tramite p; quindi}

e

f (y) ∈ Vk per qualche k ∈ J . Ne segue che f−1(p(U ∩ Vk)) `e un intorno

aperto di y e, poich`e Y `e localmente connesso per archi, esiste un

in-torno aperto V connesso per archi di y tale che V ⊆ f−1(p(U ∩ Vk)),

• Dimostreremo ora che V `e l’aperto cercato, facendo vedere che ef (V ) ⊆

U ∩ Vk. Siamo dunque y0 un punto di V , ψ un cammino in Y da y0

a y e ϕ un arco in V da y a y0. Per definizione, ef (y0) `e il punto finale

del sollevamento di f (ψ ∗ ϕ) = f ◦ ψ ∗ f ◦ ϕ che inizia in x_e0; un tale

sollevamento `e dato da ]f ◦ ψ ∗ β, dove β `e il sollevamento di f ◦ ϕ

che inizia in ]f ◦ ψ(1) = ef (y). Ne segue che ef (y0) = β(1); `e sufficiente

quindi verificare che β(1) ∈ U ∩ Vk. Si osservi innanzitutto che

β(I) ⊆ p−1(f ◦ ϕ(I)) ⊆ p−1(p(U ∩ Vk)) ⊆ p−1(U0) =

[

j∈J Vj

e che il punto inziale ef (y) di β appartiene a Vk. Poich`e β(I) `e connesso,

ne segue che β(I) ⊆ Vk; d’altro canto

p ◦ β(I) = f ◦ ϕ(I) ⊆ p(U ∩ Vk)

quindi β(I) ⊆ U ∩ Vk perch`e p|Vk `e iniettiva. Ci`o completa la

di-mostrazione del teorema.

Abbiamo osservato nella dimostrazione precedente che per definire ef `e

sufficiente che Y sia connesso, mentre per dimostrare che ef `e continua

ab-biamo utilizzato l’ipotesi che sia localmente connesso per archi. Vediamo ora con un esempio che nel caso di uno spazio connesso, ma non localmente

connesso per archi, la condizione f∗π(Y, y0) ⊆ p∗π( eX,xe0) non `e sufficiente a

garantire l’esistenza di un sollevamento continuo di f .

Controesempio 2.3.1. Lo spazio che consideriamo `e il cosiddetto cerchio

polacco (figura 2.1): Y = A ∪ B ∪ C, dove:

A = {(x, y) ∈ R2_{| x}2_{+ y}2 _{= 1, y ≥ 0}} B = {(x, y) ∈ R2| − 1 ≤ x ≤ 0, y = 0} C = {(x, y) ∈ R2| 0 < x ≤ 1, y = 1 2sin( π x)}

2.3 Teorema di sollevamento per i rivestimenti 29

Figura 2.1: Cerchio polacco

Lo spazio Y `e chiaramente connesso per archi (e quindi, poich`e siamo

in R2, anche connesso), ma non `e localmente connesso per archi, in quanto

ogni intorno di (0, 0) interseca sia B sia C, e l’unico cammino che collega B e C passa attraverso A; quindi se l’intorno assegnato non contiene A,

esso non `e connesso per archi. Consideriamo il rivestimento di S1 _{(R, p),}

descritto nell’esempio 1.1.2, cio`e p(t) = (cos t, sin t). Definiamo f : Y → S1

nel seguente modo: f (x, y) =    (x, y), (x, y) ∈ A (x, −√1 − x2_{), (x, y) ∈ B ∪ C}

Si vede facilmente che f `e una funzione continua. Scegliamo ora come punti

base x0 = (1, 0) ∈ S1 = X, xe0 = 0 ∈ R = eX, y0 = (1, 0) ∈ Y . La condizione

f∗π(Y, y0) ⊆ p∗π( eX,x_e0)

con-nessi (Y `e semplicemente connesso perch`e B ∪ C non `e connesso per archi). Dimostriamo ora che f non ammette un sollevamento continuo. Scegliendo un ramo opportuno della funzione arcocoseno, possiamo trovare una funzione continua ϕ : [−1, 1] → R tale che:

cos(ϕ(x)) = 1, sin(ϕ(x)) ≥ 0, ϕ(−1) = π, ϕ(1) = 0.

Scegliendo un ramo differente, troveremo una funzione continua ψ : [−1, 1] → R tale che:

cos(ψ(x)) = 1, sin(ψ(x)) ≤ 0, ψ(−1) = −π, ψ(1) = 0

Supponiamo ora che esista un sollevamento continuo ef di f . Se (x, y) ∈ A,

p( ef (x, y)) = f (x, y) = (x, y) =

= (x,√1 − x2_{) = (cos(πx), sin(πx)) = p(ϕ(x))}

e quindi ef (x, y) = ϕ(x) + 2πn, dove n = n(x, y) `e un intero che a priori

dipende da (x, y). Poich`e ef e ϕ sono continue, n(x, y) `e una funzione continua

a valori interi definita su A; poich`e A `e connesso, n = n(x, y) `e costante.

Analogamente si deduce che, se (x, y) ∈ B ∪ C, e

f (x, y) = ψ(x) + 2πm,

dove m ∈ Z. Calcolando le due relazioni nei punti (−1, 0) e (1, 0) di A ∩ (B ∪

C) e sottraendo si avr`a:

ϕ(−1) − ψ(−1) = 2π(n − m) ϕ(1) − ψ(1) = 2π(n − m);

dalla prima relazione si ottiene n − m = 1 e dalla seconda n − m = 0. Se ne deduce quindi che non esiste un sollevamento continuo.

Alla luce di quanto osservato in questa sezione, da ora in poi assumeremo che tutti gli spazi topologici che considereremo siano connessi e localmente connessi per archi.

2.4 Omomorfismi di rivestimenti 31

2.4

Omomorfismi di rivestimenti

In questa sezione cerchiamo di ottenere alcune informazioni fondamentali sui possibili rivestimenti di un dato spazio X. A questo proposito introdu-ciamo i concetti di omomorfismo, isomorfismo e automorfismo tra

rivesti-menti e ne studiamo le principali propriet`a. Definiamo anche il gruppo delle

trasformazioni di rivestimento e studiamo l’azione che tale gruppo ha sul rivestimento.

Definizione 2.4.1. Siano ( fX1, p1) e ( fX2, p2) rivestimenti di X. Un

omo-morfismo da ( fX1, p1) in ( fX2, p2) `e una funzione continua ϕ : fX1 → fX2 tale

che il seguente diagramma sia commutativo:

f X1 p1 ~~~~~~ ~~~ ϕ  X f X2 p2 ``@@@_@@@ @ (2.4)

Si noti che la composizione di due omomorfismi `e ancora un

omomor-fismo e che, se ( eX, p) `e un rivestimento di X, allora id<sub>Xe</sub> : eX → eX `e un

omomorfismo.

Definizione 2.4.2. Un omomorfismo ϕ da ( fX1, p1) in ( fX2, p2) `e chiamato

isomorfismo se esiste un omomorfismo ψ da ( fX2, p2) in ( fX1, p1) tale che

entrambe le composizioni ψ ◦ ϕ e ϕ ◦ ψ siano la funzione identit`a. Due

rivestimenti sono detti isomorfi se esiste un isomorfismo di uno nell’altro.

Un automorfismo `e un isomorfismo da un rivestimento in s´e stesso.

Definizione 2.4.3. Gli automorfismi di rivestimenti sono solitamente chia-mati trasformazioni di rivestimenti. L’insieme delle trasformazioni del

rive-stimento ( eX, p) di X, con la composizione di funzioni come operazione, `e

ov-viamente un gruppo, chiamato gruppo delle trasformazioni di rivestimento,

Lemma 2.4.1. Siano ϕ0 e ϕ1 omomorfismi da ( fX1, p1) in ( fX2, p2). Se esiste

un punto x ∈ fX1 tale che ϕ0(x) = ϕ1(x), allora ϕ0 = ϕ1.

Questo `e un caso particolare del teorema 1.3.2, in quanto ϕ0, ϕ1 sono

due sollevamenti di p1 con un punto in comune.

Una conseguenza immediata di questo lemma `e il seguente corollario.

Corollario 2.4.2. Se ϕ ∈ A( eX, p) e ϕ 6= id

e

X, allora ϕ non ha punti fissi.

Lemma 2.4.3. Siano ( fX1, p1) e ( fX2, p2) due rivestimenti di X, e fissiamo

come punti base x_e1 ∈ fX1, xe2 ∈ fX2, x0 ∈ X, con p1(xe1) = p2(xe2) = x0.

Allora esiste un omomorfismo ϕ da ( fX1, p1) a ( fX2, p2) tale che ϕ(xe1) = xe2

se e solo se p1∗π( fX1,xe1) ⊆ p2∗π( fX2,xe2).

Questo `e un caso particolare del teorema 2.3.2

Corollario 2.4.4. Siano ( fX1, p1) e ( fX2, p2) due rivestimenti di X, e fissiamo

come punti basex_e1 ∈ fX1, xe2 ∈ fX2, x0 ∈ X, con p1(xe1) = p2(xe2) = x0. Allora

esiste un isomorfismo ϕ da ( fX1, p1) a ( fX2, p2) tale che ϕ(xe1) =xe2 se e solo

se p1∗π( fX1,xe1) = p2∗π( fX2,xe2).

Questa `e una conseguenza diretta del lemma 2.4.3, della definizione di

isomorfismo e del corollario 2.4.2.

Teorema 2.4.5. Due rivestimenti ( fX1, p1) e ( fX2, p2) di X sono isomorfi se e

solo se, per ogni coppia di puntix_e1 ∈ fX1 exe2 ∈ fX2 tale che p1(xe1) = p2(xe2) =

x0, i sottogruppi p1∗π( fX1,xe1) e p2∗π( fX2,xe2) appartengono alla stessa classe

di coniugio di π(X, x0).

Anche questo teorema `e una conseguenza immediata dai risultati sinora

studiati: deriva infatti dal corollario 2.4.4 e dal teorema 2.2.4.

Questo teorema esprime un concetto fondamentale nello studio dei

rivesti-menti; infatti mostra che ad ogni classe di coniugio del gruppo π(X, x0) `e

2.4 Omomorfismi di rivestimenti 33

Riprendiamo ora il gruppo delle trasformazioni di rivestimento definito

precedentemente A( eX, p) e studiamone l’azione su eX.

Teorema 2.4.6. Sia ( eX, p) un rivestimento di X; l’azione di A( eX, p) su eX

`e propriamente discontinua.

Dimostrazione. Fissato un punto x ∈ e_e X, esiste un intorno U connesso per

archi di x = p(x) uniformemente rivestito da p: quindi p_e −1(U ) `e l’unione

disgiunta di {Vj}j∈J. Per ogni elemento h 6= 1A( eX,p), avremo per il corollario

1.3.3 che h(_ex) 6= _ex; inoltre x, h(_{e e}x) ∈ p−1(x) ⊆ p−1(U ), e quindi _ex ∈

Vk, h(ex) ∈ Vl per qualche k, l ∈ J . Allora l 6= k perch`e altrimenti h(x) ee ex

sarebbero due punti distinti di Vk aventi la stessa immagine tramite p|Vk, che

`e una funzione iniettiva. Poich`e p ◦ h(Vk) = p(Vk) = U si ha h(Vk) ⊆S_j∈JVj;

ma h(Vk) `e connesso per archi (`e omeomorfo a U ) e h(ex) ∈ Vl, quindi h(Vk) ⊆

Vl. Ne segue che Vk∩ h(Vk) ⊆ Vk∩ Vl= ∅ e quindi l’azione di A( eX, p) su eX

`e propriamente discontinua.

Questa propriet`a ci permette, in alcuni casi, di descrivere lo spazio base

X come spazio quoziente dello spazio totale eX:

Teorema 2.4.7. Sia ( eX, p) un rivestimento di X; se p∗π( eX,xe0) `e un

sot-togruppo normale di π(X, x0), allora X `e omeomorfo a eX/A( eX, p).

Dimostrazione. Verifichiamo innanzitutto che la condizione di normalit`a vale

per ogni punto base _ex ∈ eX. Per il teorema 2.2.3 p∗π( eX,x) = ue fp∗π( eX,xe0),

dove f `e un cammino da x0a p(x); poich`e e uf`e un isomorfismo, ufp∗π( eX,xe0) `e

normale in ufπ(X, x0) = π(X, p(ex)) e quindi p∗π( eX,x) `e e normale in π(X, p(ex)).

Definiamo ora la funzione f : X → eX/A( eX, p) mediante f (x) = π(_ex), dove

e

x `e un punto di p−1(x) e π : eX → eX/A( eX, p) `e la proiezione canonica, e

verifichiamo che f non dipende dalla scelta di _ex ∈ p−1(x). Se y ∈ p_e −1(x),

i due sottogruppi p∗π( eX,x) e pe ∗π( eX,y) sono coniugati in π(X, x) e quin-e

di coincidono perch`e sono normali in π(X, x). Per il corollario 2.4.4 segue

che π(x) = π(_e y)._e

Sappiamo inoltre che f `e biiettiva e che il seguente diagramma

X f  e X p eeKKKK_KKKK KKK π zzuuuuuu uuuu e X/A( eX, p) (2.5)

`e commutativo; pertanto, siccome X ha la topologia quoziente relativa a p,

e

X/A( eX, p) ha la topologia quoziente relativa a π e f `e una biiezione, f `e un

Capitolo 3

Teorema di esistenza per i

rivestimenti

Fino ad ora abbiamo studiato e approfondito cosa sia un rivestimento e

quali siano le sue principali propriet`a. Il problema che ci poniamo in questo

capitolo `e quello di trovare una condizione necessaria e sufficiente per

l’e-sistenza di un rivestimento. Per fare ci`o avremo bisogno di alcune nozioni

preliminari: nella sezione 3.1 definiremo il concetto di rivestimento univer-sale e nella sezione 3.2 approfondiremo il gruppo delle trasformazioni di un rivestimento. Alla luce dei risultati di queste due sezioni, nella sezione 3.3 troveremo finalmente la condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di un rivestimento.

3.1

Rivestimenti universali

In questa sezione introduciamo il concetto di rivestimento universale, fondamentale per la comprensione dei risultati di questo capitolo.

Definizione 3.1.1. Sia ( eX, p) un rivestimento di X. ( eX, p) si dice essere un

rivestimento universale di X se eX `e semplicemente connesso.

Teorema 3.1.1. Siano ( fX1, p1) e ( fX2, p2) due rivestimenti di X, e sia ϕ un

omomorfismo da ( fX1, p1) a ( fX2, p2). Allora ( fX1, ϕ) `e un rivestimento di fX2.

Dimostrazione. Innanzitutto notiamo che ogni punto x ∈ X ha un intorno

U connesso per archi uniformemente rivestito sia da p1 che da p2. Possiamo

ottenere un tale intorno, scegliendo due intorni aperti di x, U1 e U2,

uni-formemente rivestiti rispettivamente da p1 e da p2 e definendo U come la

componente connessa per archi di U1∩ U2 contenente x.

Ora proviamo che ϕ `e suriettiva. Sia y ∈ fX2; dobbiamo mostrare che esiste

un punto x ∈ fX1 tale che ϕ(x) = y. Fissiamo un punto base x1 ∈ fX1 e sia

x2 = ϕ(x1), x0 = p1(x1) = p2(x2). Consideriamo un cammino f in fX2 con

punto iniziale x2 e punto finale y e sia g = p2◦ f . Per il teorema 1.4.2 esiste

un unico cammino h in fX1 con punto iniziale x1 tale che p1◦ h = g. Sia x

il punto finale di h. Allora i cammini ϕ ◦ h e f hanno stesso punto iniziale

e vale p2◦ ϕ ◦ h = g = p2◦ f , quindi, sempre per il toerema di sollevamento

dei cammini, ϕ ◦ h = f . Pertanto ϕ(x) = y.

Ora, fissato z ∈ fX2, risulta immediato trovare un intorno di z uniformemente

rivestito da ϕ. Prendiamo un intorno U di x = p2(z) uniformemente rivestito

sia da p1, sia da p2 e sia W la componente di p−12 (U ) contenente z. Tale W

`e l’intorno di z cercato.

Per cominciare a capire l’utilit`a della nozione di rivestimento universale,

osserviamo il teorema appena enunciato. Se ( eX, p) `e un rivestimento

uni-versale di X e (fX0_{, p}0_{) `e un rivestimento di X, per il lemma 2.4.3, esiste un}

omomorfismo ϕ da ( eX, p) a (fX0_{, p}0_{), e, per il teorema appena dimostrato,}

( eX, ϕ) `e un rivestimento di fX0<sub>. Pertanto eX pu`o essere sempre visto come</sub>

un rivestimento di ogni rivestimento di X e ci`o giustifica la terminologia

ri-vestimento universale. In altre parole ( eX, p) `e un rivestimento universale di

X se e solo se ogni altro rivestimento (fX0_{, p}0_{) di X `e rivestito da ( eX, p), cio`e}

si ha il seguente diagramma comutativo:

e X   p  f X0 //_X (3.1)

3.2 L’azione del gruppo π(X, x) sull’insieme p−1(x) 37

Teorema 3.1.2. Due rivestimenti universali di X sono isomorfi.

3.2

L’azione del gruppo π(X, x) sull’insieme

p

(x)

In questa sezione approfondiamo lo studio del gruppo A( eX, p) delle

trasfor-mazioni di un rivestimento ( eX, p) di X che abbiamo introdotto nella sezione

2.4. Per fare ci`o, per ogni x ∈ X definiamo un’azione di π(X, x) sull’insieme

p−1(x).

Definizione 3.2.1. Sia ( eX, p) un rivestimento di X e sia x ∈ X. Per ogni

punto x ∈ p_e −1(x) e per ogni α ∈ π(X, x), definiamo x ? α ∈ p_e −1(x) nel

seguente modo. Dal teorema 1.4.2, sappiamo che esiste un’unica classe di

cammini α in e_e X tale che p∗(α) = α e che abbia punto iniziale_{e e}x. Definiamo

e

x?α come il punto finale della classe di camminiα. Poich`_e e (x?α)?β =_e x?(αβ)_e

ex ? 1_e π(X,x) =x, abbiamo che pe

−1_{(x) `e un π(X, x) − spazio.}

Teorema 3.2.1. Sia ( eX, p) un rivestimento di X e sia x ∈ X. Il gruppo

π(X, x) agisce transitivamente su p−1(x).

Dimostrazione. Siano x_e0,xe1 ∈ p

−1_{(x). Poich`e eX `e connesso per archi, esiste}

una classe di camminiα in e_e X con punto inizialex_e0e punto finalexe1. Sia α =

p∗(α); allora α `e e una classe di equivalenza di cammini chiusi e, ovviamente,

e

x0? α =xe1.

Una conseguenza immediata di questo teorema `e il seguente risultato.

Corollario 3.2.2. Sia ( eX, p) un rivestimento di X e sia x ∈ X. Per ogni_ex ∈

p−1(x), il sottogruppo di isotropia rispetto a questo punto `e precisamente il

sottogruppo p∗π( eX,x) di π(X, x) e il grado del rivestimento `e e uguale all’indice

del sottogruppo p∗π( eX,ex).

Grazie a queste nozioni, studiamo la relazione tra il gruppo delle

Teorema 3.2.3. Sia ( eX, p) un rivestimento di X e sia x ∈ X. Per ogni

automorfismo ϕ ∈ A( eX, p), per ogni puntox ∈ p_e −1(x) e per ogni α ∈ π(X, x),

ϕ(x ? α) = ϕ(_e x) ? α. In altre parole, l’azione di π(X, x) su p_e −1(x) commuta

con ϕ.

Dimostrazione. Solleviamo α a un camminoα con punto iniziale_{e e}x e tale che

p∗(α) = α;e x ? α sar`e a il punto finale di α. Consideriamo ora il camminoe

ϕ∗(α) in ee X. Il suo punto iniziale `e ϕ(x) e il suo punto finale `e e ϕ(ex ? α).

Osserviamo che p∗[ϕ∗(α)] = (p ◦ ϕ)e ∗(α) = pe ∗(α) = α, cio`e e ϕ∗(α) `e e a sua volta

un sollevamento di α. Perci`o, per definizione, ϕ(<sub>e</sub>x) ? α `e il punto finale del

cammino ϕ(α), cio`_e e ϕ(_ex) ? α = ϕ(x ? α), come richiesto._e

Ora possiamo determinare completamente la struttura di A( eX, p).

Teorema 3.2.4. Sia ( eX, p) un rivestimento di X e sia x ∈ X. Allora

A( eX, p) `e isomorfo al gruppo delle trasformazioni di p−1(x), considerato come

π(X, x) − spazio.

Dimostrazione. Se ϕ `e un qualsiasi automorfismo di ( eX, p), allora la

re-strizione ϕ|p−1_(x) `e un automorfismo di p−1(x) per il teorema 3.2.2. Inoltre

per il corollario 2.4.2, ogni automorfismo ϕ `e completamente determinato

dalla sua restrizione ϕ|p−1_(x). Esiste pertanto un monomorfismo tra A( eX, p)

`e il gruppo delle trasformazioni del π(X, x) − spazio, p−1(x). La suriettivit`a

di tale morfismo risulta immediata dal corollario 2.4.4. Pertanto A( eX, p) `e

isomorfo al gruppo delle trasformazioni di p−1(x).

Conseguenza immediata di questo teorema `e il seguente corollario.

Corollario 3.2.5. Per ogni punto x ∈ X e per ogni x ∈ p_e −1(x), A( eX, p)

`e isomorfo al gruppo quoziente N (p∗π( eX,ex))/p∗π( eX,x), dove N (pe ∗π( eX,x))e

denota il normalizzatore di p∗π( eX,x) in π(X, x).e

Definizione 3.2.2. Sia ( eX, p) un rivestimento di X. Se p∗π( eX,_ex) `e un

sottogruppo normale di π(X, x), allora ( eX, p) si dice essere un rivestimento

3.3 Esistenza di rivestimenti 39

Corollario 3.2.6. Se ( eX, p) `e un rivestimento regolare di X, allora A( eX, p)

`e isomorfo al gruppo quoziente π(X, x)/p∗π( eX,x) per ogni x ∈ X e per ognie

e

x ∈ p−1(x).

Questo deriva direttamente dal corollario 3.2.4, poich`e in questo caso

N (p∗π( eX,ex)) = π(X, x).

Questo risultato risulta particolarmente interessante se applicato ai rive-stimenti universali, infatti vale il seguente.

Corollario 3.2.7. Sia ( eX, p) un rivestimento universale di X e x ∈ X.

Allora A( eX, p) `e isomorfo a π(X, x), e l’ordine di π(X, x) `e uguale alla fibra

del rivestimento ( eX, p).

Esempio 3.2.1. Consideriamo il rivestimento (R, p) di S1 definito

nell’e-sempio 1.1.2. Poich`<sub>e R `e contraibile, `e semplicemente connesso. Pertanto</sub>

(R, p) `e un rivestimento universale di S1<sub>, quindi `e applicabile il corollario</sub>

3.2.6. Cerchiamo ora di determinare il gruppo delle trasformazioni di R.

Per la periodicit`a delle funzioni seno e coseno, risulta ovvio che la traslazione

Tn : R → R definita da Tn(t) = t + 2πn `e un automorfismo per ogni intero

n. Inoltre risulta ovvio che se x `e un punto di S1 e se t1, t2 sono due punti

qualsiasi p−1(x), allora esiste un intero n tale che Tn(t1) = t2. Ne segue

che ogni automorfismo del rivestimento (R, p) `e una di queste traslazioni

Tn (vedere lemma 2.4.1 e corollario 2.4.2). Poich`e il gruppo di queste

traslazioni{Tn}n∈Z `e ovviamente un gruppo ciclico di ordine infinito, anche

π(S1, x) `e un gruppo ciclico di ordine infinito. A questo proposito ricordiamo

che un gruppo ciclico di ordine infinito `_{e sempre isomorfo al gruppo (Z, +).}

3.3

Esistenza di rivestimenti

Nel capitolo precedente abbiamo dimostrato che un rivestimento ( eX, p)

di uno spazio topologico X `e determinato, a meno di isomorfismi, dalla classe

seguente domanda: fissato uno spazio topologico X e una classe di coniugio di

sottogruppi di π(X, x), esiste un rivestimento ( eX, p) di X tale che p∗π( eX,ex)

appartenga alla classe di coniugio data? In questa sezione mostriamo che

la risposta a questa domanda `e affermativa, purch`e X soddisfi un ipotesi

aggiuntiva.

Proviamo innanzitutto che `e sufficiente considerare il problema nel caso

particolare in cui la classe di coniugio di sottogruppi fissata consista nel sottogruppo banale {1}.

Lemma 3.3.1. Sia X uno spazio topologico che ammetta un rivestimento

universale ( eX, p) e sia x ∈ X. Per ogni classe di coniugio di sottogruppi di

π(X, x), esiste un rivestimento ( eX, p) di X tale che p∗π( eX,ex) appartenga

alla classe di coniugio data.

Dimostrazione. Sia (Y, q) un rivestimento universale di X. Grazie a quanto

studiato nella sezione 3.2, π(X, x) agisce transitivamente su q−1(x) e, poich`e

Y `e semplicemente connesso, agisce senza punti fissi. Inoltre il gruppo delle

trasformazioni A(Y, q) `e isomorfo a π(X, x), quindi agisce a sua volta

tran-sitivamente e senza punti fissi su q−1(x). Scegliamo ora un punto y ∈ q−1(x)

e un sottogruppo G di π(X, x) che appartenga alla classe di coniugio data. Sia H il sottogruppo di A(Y, q) definito nel seguente modo: ϕ ∈ H se e solo se esiste un elemento α ∈ G tale che ϕ(y) = y ? α. In questo modo G e H sono isomorfi: ϕ ↔ α ⇔ ϕ(y) = y ? α.

Poich`e H `e un sottogruppo di A(Y, q), agisce in maniera propriamente

discon-tinua su Y . Siano ora: eX lo spazio quoziente Y /H, r : Y → eX la proiezione

canonica e p : eX → X la funzione indotta da q : Y → X. In questo modo

otteniamo il seguente diagramma commutativo: Y q  r $$I I I I I I I I I I e X = Y /Q p zzuuuuuu uuu X (3.2)

3.3 Esistenza di rivestimenti 41

(Y, q) `e un rivestimento di X per costruzione e (Y, r) `e un rivestimento di eX

per il teorema 1.2.4; pertanto anche ( eX, p) `e un rivestimento di X.

Quin-di il gruppo π(X, x) agisce su p−1(x). Sia ora x = r(y) ∈ p_e −1(x). Per la

costruzione di eX `e chiaro che il sottogruppo di isotropia di π(X, x)

corrispon-dente al punto_ex `e precisamente il sottogruppo G e, per quanto osservato nella

sezione 3.2, ci`o `e equivalente a dire che p∗π( eX,_ex) = G.

La domanda posta all’inizio della sezione diventa pertanto la seguente: sia X uno spazio topologico; X ha un rivestimento universale?

Innanzitutto deriviamo una semplice condizione necessaria. Sia ( eX, p) un

rivestimento universale di X, x un punto qualsiasi di X, x un punto di_e

p−1(x), U un intorno di x uniformemente rivestito da p e V la componente di

p−1(U ) contenente x. Abbiamo dunque il seguente diagramma comutativo,_e

riguardante i gruppi fondamentali.

π(V,_ex) // (p|V)∗  π( eX,_ex) p∗  π(U, x) i∗ //π(X, x) (3.3)

Poich`e p|V `e un omeomorfismo di V in U , (p|V)∗ `e un isomorfismo. Inoltre,

per ipotesi, π( eX,x) = {1}. Da questi due fatti e dalla commutativit`_e a del

diagramma, segue che i∗`e l’omomorfismo banale, cio`e Im(i∗) = {1}.

Pertan-to possiamo concludere che lo spazio X gode della seguente propriet`a: ogni

punto x ∈ X ha un intorno U tale che l’omomorfismo π(U, x) → π(X, x)

sia l’omomorfismo banale. Uno spazio con tale propriet`a `e detto

semilocal-mente semplicesemilocal-mente connesso. Tale definizione pu`o anche essere formulata

nel seguente modo.

Definizione 3.3.1. Uno spazio topologico X `e detto semilocalmente

sem-plicemente connesso se ogni punto x ∈ X ha un intorno U tale che ogni

cappio in U di base x `e equivalente in X all’arco costante εx.

Controesempio 3.3.1. Gli spazi topologici pi`u interessanti sono tutti