Calcolo: limiti, derivate, integrali

(1)

LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi

1 Esercitazione su: calcolo (limiti, derivate, integrali)

11 aprile 2010

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(2)

Indice

1 Limiti che non presentano forme indeterminate 3

1.1 Limiti che non esistono. . . 3

1.2 Limiti con maggiorazioni e sostituzione degli inﬁniti/inﬁnitesimi . . . 3

1.3 Limiti per semplice sostituzione . . . 3

1.3.1 Funzioni algebriche . . . 3

1.3.2 Funzioni goniometriche . . . 3

1.3.3 Funzioni esponenziali e logaritmiche . . . 3

1.4 Algebra degli inﬁniti . . . 4

1.4.1 Funzioni algebriche . . . 4

1.4.2 Funzioni goniometriche . . . 4

1.4.3 Funzioni esponenziali. . . 4

1.4.4 Funzioni logaritmiche . . . 5

1.4.5 Funzioni varie. . . 5

1.5 Limiti di funzioni composte . . . 5

2 Limiti che presentano forme indeterminate 6 2.1 Forma +∞ − ∞ . . . 6

2.1.1 Per funzioni razionali intere . . . 6

2.1.2 Per funzioni irrazionali. . . 6

2.2 Forma ∞_∞ . . . 6

2.2.1 Per funzioni razionali fratte . . . 6

2.2.2 Per funzioni irrazionali fratte . . . 6

2.2.3 Tramite applicazione del teorema di De L’Hopital . . . 6

2.3 Forma 0₀ . . . 8

2.3.1 Per funzioni razionali fratte . . . 8

2.3.2 Per funzioni irrazionali fratte . . . 8

2.3.3 Tramite limite notevole sin 𝑥_𝑥 → 1 . . . 8

2.3.4 Tramite limite notevole tan 𝑥_𝑥 → 1 . . . 8

2.3.5 Tramite limite notevole 𝑒𝑥_𝑥−1 → 1. . . 8

2.3.6 Tramite limite notevole ln(1+𝑥)_𝑥 → 1 . . . 9

2.3.7 Tramite limiti notevoli vari . . . 9

2.3.8 Tramite applicazione del teorema di De L’Hopital . . . 9

2.4 Forma 1∞ . . . 9

2.4.1 Tramite limite notevole (1 +1_𝑥)𝑥→ 𝑒 . . . 9

3 Derivate 10 3.1 Linearit`a dell’operatore derivata . . . 10

3.2 Derivata del prodotto . . . 10

3.2.1 Prodotto di due funzioni . . . 10

3.2.2 Prodotto di tre o pi`u funzioni . . . 10

3.3 Derivata di un rapporto . . . 11

3.4 Derivata di funzioni composte . . . 11

3.4.1 Composizione di due funzioni . . . 11

3.4.2 Composizione di tre o pi`u funzioni . . . 11

3.5 Funzioni varie . . . 11 3.5.1 Rapporto e prodotto . . . 11 3.5.2 Prodotto e somma . . . 12 3.5.3 Prodotto e composizione . . . 12 3.5.4 Rapporto e composizione . . . 12

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(3)

4 Integrali indeﬁniti 13

4.1 Integrali immediati o ad essi riconducibili tramite passaggi algebrici . . . 13

4.1.1 Funzioni elementari . . . 13

4.1.2 Funzioni composte . . . 13

4.2 Tecniche di integrazione . . . 13

4.2.1 Integrazione per parti . . . 13

4.2.2 Integrazione per sostituzione . . . 14

4.3 Combinazione di tecniche di integrazione. . . 14

4.3.1 Iterazione di integrazione per parti . . . 14

4.3.2 Integrazione per sostituzione seguita da integrazione per parti . . . 14

4.4 Integrazione di funzioni razionali fratte. . . 14

A Formulario 15

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(4)

1 Limiti che non presentano forme indeterminate

1.1 Limiti che non esistono

lim

𝑥→−∞3 cos 𝑥 (1) lim

𝑥→+∞2 + tan 𝑥 (2)

1.2 Limiti con maggiorazioni e sostituzione degli inﬁniti/inﬁnitesimi

lim 𝑥→+∞2𝑒 𝑥_{+ 4 + sin 𝑥 = +∞} ₍₃₎ lim 𝑥→+∞ 2𝑥3+ 4𝑒𝑥− 8 ln 𝑥 8𝑥7_{+ 6𝑥}4 (4) lim 𝑥→−∞𝑥 3_{+ sin 𝑥 = −∞} ₍₅₎

1.3 Limiti per semplice sostituzione

1.3.1 Funzioni algebriche lim 𝑥→02 2𝑥2−1₌ 1 2 (6) 𝑥→lim𝜋 3 𝑥 + 4 3 − 𝑥 = 𝜋 + 12 3 − 𝜋 (7) 1.3.2 Funzioni goniometriche lim 𝑥→𝜋 3 2 sin 𝑥 + 𝑥2= 9 √ 3 + 𝜋2 9 (8) lim 𝑥→𝜋 tan 𝑥 − 3 tan 𝑥 + 1 = −3 (9) lim 𝑥→0 ( 1 + 2 sin 𝑥 2 )3 cos 𝑥−2 =1 2 (10) lim 𝑥→𝜋 3 −2 cos(3𝑥) + 1 = 3 (11) lim 𝑥→1cos 𝜋𝑥 3𝑥 − 1= 0 (12)

1.3.3 Funzioni esponenziali e logaritmiche

lim 𝑥→𝑒ln 𝑥 2_{+ 3 + 𝑥 = 5 + 𝑒} ₍₁₃₎ lim 𝑥→1 ( 2𝑥 3𝑥 − 2 )𝑥−1 = 1 (14) lim

𝑥→4log4𝑥 + 3 + sin 𝑥 = 4 + sin 4 (15)

lim 𝑥→0 𝑒𝑥_{+ 𝑒}−𝑥 3 = 2 3 (16)

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1.4 Algebra degli inﬁniti

1.4.1 Funzioni algebriche lim 𝑥→−∞ ( 𝑥2+1 𝑥 ) = +∞ (17) lim 𝑥→+∞ √ 1 +_𝑥32 2𝑥 + 1 = 0 (18) lim 𝑥→1− 𝑥2+ 𝑥 + 1 𝑥 − 1 = −∞ (19) lim 𝑥→0+ (4 𝑥+ 𝜋 𝑥7 ) = +∞ (20) lim 𝑥→5− 𝑥 𝑥 − 5 = −∞ (21) lim 𝑥→1+ 3𝑥√𝑥 𝑥2_{− 3𝑥 + 2} = −∞ (22) lim 𝑥→2− 𝑥 − 3 √ 2 −√𝑥= −∞ (23) lim 𝑥→−∞(4𝑥 2_{− 𝑥 + 3) = +∞} ₍₂₄₎ 1.4.2 Funzioni goniometriche lim 𝑥→𝜋 4+ 𝑥2 tan 𝑥 − 1 = +∞ (25) lim 𝑥→𝜋− sin 2𝑥 cos 𝑥 + 7 = 0 (26) lim 𝑥→𝜋+ cos 𝑥 + 2 sin 𝑥 = −∞ (27) lim 𝑥→+∞ sin(1/𝑥) 𝑥 = 0 (28) lim 𝑥→0+ 3 + 𝑥3_{+ cos 𝑥} sin 𝑥 = +∞ (29) lim 𝑥→𝜋− 𝑥2 cos 𝑥 + 1= +∞ (30) lim 𝑥→𝜋 6+ tan +3 √ 3 − 2 cos 𝑥= +∞ (31) 1.4.3 Funzioni esponenziali lim 𝑥→+∞ 5 𝑥𝑒𝑥 = 0 (32) lim 𝑥→+∞𝑥 3_{(1 − 2}𝑥_{) = −∞} ₍₃₃₎ lim 𝑥→+∞ [ 2 +(3 + 2 𝑥 )−𝑥 ] = 2 (34) lim 𝑥→−∞ 2𝑥 𝑥 = 0 (35) lim 𝑥→+∞ 1 + 𝑒−𝑥 𝑥2_{+ 1} = 0 (36) lim 𝑥→+∞ 𝑒𝑥_{− 1} 1 − 𝑒−𝑥 = +∞ (37) lim 𝑥→0− −4 + 7𝑥 𝑒𝑥_{− 1} = +∞ (38) lim 𝑥→0+ 𝑒𝑥1 𝑥3₊√_𝑥= +∞ (39)

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1.4.4 Funzioni logaritmiche lim 𝑥→0+𝑒 𝑥_{ln 𝑥 = −∞} ₍₄₀₎ lim 𝑥→+∞4𝑥 6_{ln 𝑥 = +∞} ₍₄₁₎ 1.4.5 Funzioni varie lim 𝑥→0+ ln 𝑥 sin 𝑥 − 1 = −∞ (42) lim 𝑥→0− ( 1 sin 𝑥 )2+𝑥2 = +∞ (43) lim 𝑥→+∞ 5𝑥√_{𝑥 + 1} ln(1 −1_𝑥) = −∞ (44) lim 𝑥→2+ 4 √ 𝑥 − 2 ln(𝑥 − 2)+ 𝑥 + 3 = 5 (45) lim 𝑥→+∞2𝑥 2_{+ 6𝑒}4𝑥_{= +∞} ₍₄₆₎ lim 𝑥→+∞ 5𝑥√_{𝑥 + 1} ln(1 + 1_𝑥) = +∞ (47) lim 𝑥→1+ ( 𝑥 + 2 3𝑥 + 1 )ln 𝑥1 = 0 (48) lim 𝑥→−∞ 3 √ 𝑥 +√5_𝑥 𝑒𝑥1 − 1 = +∞ (49)

1.5 Limiti di funzioni composte

lim 𝑥→+∞arctan ln 𝑥 = 𝜋 2 (50) lim 𝑥→3−log1/2(9 − 𝑥 2_{) = +∞} ₍₅₁₎ lim 𝑥→−∞sin(𝑒 𝑥_{) = 0} ₍₅₂₎ lim 𝑥→0− 1 tan ln(1 + 𝑥) = −∞ (53) lim 𝑥→+∞arctan [ 1 + ln(1 +√1 𝑥 ) ] = 𝜋 4 (54) lim 𝑥→+∞ln 3𝑥 2 + 𝑥3 = −∞ (55) lim 𝑥→−∞ln(1 + 𝑒 𝑥_{− 𝑒}2𝑥_{) = 0} ₍₅₆₎ lim 𝑥→𝜋 2− 𝑒tan 𝑥= +∞ (57) lim 𝑥→+∞𝑒 −√𝑥_{= 0} ₍₅₈₎ lim 𝑥→+∞ln 𝑥3_{+ 1} 𝑥3_{− 𝑥 + 2} = 0 (59) lim 𝑥→0− 1 tan ln(1 − 𝑥) = +∞ (60) lim 𝑥→−∞cos ln ( 1 + 1 3 √ 2𝑥 + 5 ) = 1 (61) lim 𝑥→2− cos(𝑒𝑥2 − 1) tan(𝜋𝑥) = +∞ (62)

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2 Limiti che presentano forme indeterminate

2.1 Forma +∞ − ∞

2.1.1 Per funzioni razionali intere

lim 𝑥→+∞𝑥 2 − 48𝑥 − 100 = +∞ (63) lim 𝑥→−∞𝑥 3 − 5𝑥 − 1 = −∞ (64) lim 𝑥→+∞𝑥 2_{− 5𝑥}3_{− 1 = −∞} ₍₆₅₎

2.1.2 Per funzioni irrazionali

lim 𝑥→−∞ √ 𝑥2_{− 4 −}√_𝑥2_{+ 3 = 0} ₍₆₆₎ lim 𝑥→+∞𝑥 + 2 − √ 4𝑥2_{− 3𝑥 − 1 = −∞} ₍₆₇₎ lim 𝑥→+∞ √ 𝑥2_{+ 𝑥 + 1 − 𝑥 =} 1 2 (68) lim 𝑥→+∞ √ 9𝑥 + 1 −√7𝑥 − 4 = +∞ (69)

2.2 Forma

∞_∞

2.2.1 Per funzioni razionali fratte

lim 𝑥→+∞ 1 − 10𝑥2 4𝑥2_{− 1} = − 5 2 (70) lim 𝑥→+∞ (𝑥 + 1)2 𝑥 + 4 = +∞ (71) lim 𝑥→−∞ 4𝑥4+ 2𝑥7− 1 6𝑥8_{+ 4𝑥}5_{− 3𝑥} = 0 (72) lim 𝑥→−∞ 𝑥2_{+ 6𝑥 + 5} 𝑥5_{+ 4} = 0 (73) lim 𝑥→+∞ 𝑥2 𝑥 + 1− 𝑥3+ 1 𝑥2_{− 1} = −1 (74)

2.2.2 Per funzioni irrazionali fratte

lim 𝑥→+∞ √ 𝑥 − 1 − 1 √ 𝑥 − 1 + 1 = 1 (75) lim 𝑥→+∞ 2𝑥 + 1 √ 𝑥 +√𝑥 + 1 = +∞ (76) lim 𝑥→+∞ √ 𝑥2_{− 1 − 𝑥} √ 𝑥2_{− 1 + 𝑥} = 0 (77)

2.2.3 Tramite applicazione del teorema di De L’Hopital

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(8)

lim 𝑥→+∞ 1 − 𝑥 𝑒𝑥_{+ 2} = 0 (78) lim 𝑥→+∞ 3𝑥 + 8 ln 𝑥 + 4𝑥 = 3 4 (79) lim 𝑥→𝜋 2 1 + 2 tan 𝑥 𝑥2_{tan 𝑥} = 8 𝜋2 (80) lim 𝑥→+∞ 3𝑥3+ 4 𝑥2_{+ 𝑒}𝑥 = 0 (81)

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2.3 Forma

0₀

2.3.1 Per funzioni razionali fratte

lim 𝑥→2 4𝑥 − 𝑥3 𝑥 − 2 = −8 (82) lim 𝑥→−2− 2𝑥2+ 4𝑥 𝑥2_{+ 4𝑥 + 4}= −∞ (83) lim 𝑥→4 𝑥 − 4 24 − 2𝑥2_{+ 2𝑥} = − 1 14 (84) lim 𝑥→5 𝑥3_{− 25𝑥} 𝑥 − 5 = 50 (85) lim 𝑥→0− 𝑥5_{− 𝑥} 2𝑥2_{+ 3𝑥}3 = +∞ (86)

2.3.2 Per funzioni irrazionali fratte

lim 𝑥→0 √ 1 + 𝑥 −√1 − 𝑥 𝑥 = 1 (87) lim 𝑥→1 1 −√𝑥 1 − 𝑥 = 1 2 (88) lim 𝑥→−∞ √ 𝑥2_{+ 4𝑥 − 7} 2 − 3𝑥 = 1 3 (89)

2.3.3 Tramite limite notevole sin 𝑥_𝑥 → 1

lim 𝑥→0 sin 7𝑥 𝑥 = 7 (90) lim 𝑥→0− sin 𝑥2 𝑥3 = −∞ (91) lim 𝑥→4 𝑥2_{− 16} sin(𝑥 − 4) = 8 (92) lim 𝑥→0 sin2𝑥 𝑥 = 0 (93) lim 𝑥→0 4 sin 3𝑥 5𝑥 = 12 5 (94)

2.3.4 Tramite limite notevole tan 𝑥

𝑥 → 1 lim 𝑥→0 tan 2𝑥 tan 3𝑥 = 2 3 (95) (96) lim 𝑥→0 5 tan 𝑥 6 tan 3𝑥 = 5 18 (97)

2.3.5 Tramite limite notevole 𝑒𝑥_𝑥−1 → 1

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lim 𝑥→0 𝑒3𝑥− 1 𝑥 = 3 (98) lim 𝑥→0 𝑒3𝜋𝑥 − 1 4𝑥 = 1 12𝜋 (99) lim 𝑥→0 𝑒4𝑥_{− 1} 2𝑥 = 2 (100)

2.3.6 Tramite limite notevole ln(1+𝑥)_𝑥 → 1

lim 𝑥→0 ln(1 + 2𝑥) 𝑥 = 2 (101) lim 𝑥→0 ln(1 + 𝑥4₎ 𝑥 = 0 (102)

2.3.7 Tramite limiti notevoli vari

lim 𝑥→0 sin(2𝑥2) tan(3𝑥2₎ = 0 (103) lim 𝑥→0 𝑒𝑥2_{− 1} 𝑥 sin 𝑥 = 1 (104) lim 𝑥→0 sin3(𝑥 − 1) (𝑥 − 1)2_{tan(𝑥 − 1)} = 1 (105) lim 𝑥→0 sin 2𝑥 ln(1 + 𝑥) = 2 (106)

2.3.8 Tramite applicazione del teorema di De L’Hopital

lim 𝑥→0 𝑥2 𝑒𝑥_{− 1} = 0 (107) lim 𝑥→0 𝑥2_{+ 1 − cos 2𝑥} 𝑥2 = 3 (108) lim 𝑥→0 𝑥 sin 2𝑥 1 − cos3_𝑥= 4 3 (109) lim 𝑥→1 1 − 𝑥2 ln 𝑥 = −2 (110) lim 𝑥→0 𝑥 − tan 𝑥 sin 𝑥 − 𝑥 = 2 (111) lim 𝑥→0 sin 𝑥 𝑒𝑥_{− 𝑒}−𝑥 = 1 2 (112)

2.4 Forma 1

∞

2.4.1 Tramite limite notevole (1 + 1 𝑥) 𝑥_{→ 𝑒} lim 𝑥→+∞ ( 1 + 1 𝑥 )2𝑥 = 𝑒2 (113) lim 𝑥→−∞ ( 1 − 𝜋 𝑥 )3𝑥 = 𝑒−3𝜋 (114) ( )𝑥 lim 𝑥→−∞ ( 1 + 1 7𝑥 )𝑥 =√7_𝑒 ₍₁₁₆₎ lim 𝑥→+∞ ( 1 −51 𝑥 )𝑥 = 𝑒−51 (117) (118)

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3 Derivate

3.1 Linearit`

a dell’operatore derivata

𝑓 (𝑥) = 𝑥3 (119) 𝑓 (𝑥) = 3𝑥5 (120) 𝑓 (𝑥) = 4𝑥2+1 3𝑥 4₋ 1 𝑥 (121) 𝑓 (𝑥) = 2 tan 𝑥 − arctan 𝑥 (122) 𝑓 (𝑥) = ln 𝑥 − 3 arctan 𝑥 +√𝜋 (123) 𝑓 (𝑥) = 𝑥1/7+√5_𝑥 ₍₁₂₄₎

3.2 Derivata del prodotto

3.2.1 Prodotto di due funzioni

𝑓 (𝑥) = 𝑥 ln 𝑥 − 2𝑥 + 1 (125)

𝑓 (𝑥) = 𝑒𝑥(𝑥4− 6𝑥2_{+ 𝑥 + 7)} ₍₁₂₆₎

𝑓 (𝑥) = 𝑥4𝑒𝑥 (127)

𝑓 (𝑥) = sin 𝑥 cos 𝑥 (128)

3.2.2 Prodotto di tre o pi`u funzioni

𝑓 (𝑥) = ln 𝑥 ⋅ sin 𝑥 ⋅ (𝑥7− 𝑥3₎ ₍₁₂₉₎ 𝑓 (𝑥) = arcsin 𝑥 ⋅ (𝑥4+ 𝑥2) ⋅ sin 𝑥 (130) 𝑓 (𝑥) = (−4𝑥1/5+ tan 𝑥) ⋅ log1 2𝑥 ⋅ 𝑒 𝑥 ₍₁₃₁₎ 𝑡𝑡𝑡 (132) 𝑓 (𝑥) = 3𝑥6⋅ 𝑒𝑥_{⋅ tan 𝑥} ₍₁₃₃₎ 𝑓 (𝑥) = 3 5 ( 𝑥2+2 9𝑥 −1 2 + cos 𝑥 ) (sin 𝑥 + 7) (134)

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3.3 Derivata di un rapporto

𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 1 𝑥 − 2 (135) 𝑓 (𝑥) = 1 + 𝑥 2 𝑒𝑥 + 4𝑒 (136) 𝑓 (𝑥) = 3 ln 𝑥 2𝑥2_{− 3} (137) 𝑓 (𝑥) = sin 𝑥 + 8 √ 𝑥5 arcsin 𝑥 (138) 𝑓 (𝑥) = tan 𝑥 + 𝜋 sin 𝑥 𝑥2_{− 5𝑥}3 (139) 𝑓 (𝑥) = 1 − cos 𝑥 1 + cos 𝑥 (140) 𝑓 (𝑥) = 1 sin 𝑥− 1 5 (141) 𝑓 (𝑥) = 6 sin 𝑥 + cos 𝑥 𝑒𝑥_{+ sin 𝑥} (142) 𝑓 (𝑥) = 9 √ 𝑥4_{− 5𝑒}𝑥 2 arccos 𝑥 (143)

3.4 Derivata di funzioni composte

3.4.1 Composizione di due funzioni

𝑓 (𝑥) = ln 2𝑥 (144)

𝑓 (𝑥) = sin4𝑥 (145)

𝑓 (𝑥) = 𝑒3𝑥+ 7 (146)

𝑓 (𝑥) = 𝑒3𝑥+7𝑥2 (147)

𝑓 (𝑥) = 𝑥 + sin 2𝑥 − 4 cos 3𝑥 (148)

3.4.2 Composizione di tre o pi`u funzioni

𝑓 (𝑥) = ln sin 2𝑥 (149) 𝑓 (𝑥) =√7ln sin 𝑥 (150) 𝑓 (𝑥) = cos arctan 𝑒𝑥 (151) 𝑓 (𝑥) =√4 _sin(𝑥3_{+ 2𝑥 − 4)} ₍₁₅₂₎

3.5 Funzioni varie

3.5.1 Rapporto e prodotto 𝑓 (𝑥) = 𝑥(𝑥 + 6 sin 𝑥 ) (153) 𝑓 (𝑥) = arctan 𝑥 + ln 𝑥 ⋅ (𝑥 3_{+ 𝜋)} cos 𝑥 (154)

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3.5.2 Prodotto e somma 𝑓 (𝑥) = 6 √ 𝑥5_{⋅ arctan 𝑥 + ln 𝑥 ⋅ (𝑥 + 𝑥}2₎ ₍₁₅₅₎ 𝑓 (𝑥) = 𝑥4𝑒𝑥+ 𝑥2(ln 𝑥 + sin 𝑥) (156) 3.5.3 Prodotto e composizione 𝑓 (𝑥) = 𝑒𝑥(3𝑥 − 1)2 (157)

𝑓 (𝑥) = sin3𝑥 + arctan 𝑥 ⋅ cos(𝑥4− 3𝑥3₎ ₍₁₅₈₎

𝑓 (𝑥) = (𝑥4+ 2)5sin 𝑥 (159) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 ln(𝑥2+ 4) (160) 𝑓 (𝑥) = (𝑥1/5− 𝜋 +√3_{𝑥) ⋅ arcsin(4𝑥)} ₍₁₆₁₎ 3.5.4 Rapporto e composizione 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 1) 2 (2𝑥 − 3)8 (162) 𝑓 (𝑥) = arccos3𝑥 4_{− 2𝑥} cos 𝑥 (163) 𝑓 (𝑥) = arctan(𝑒𝑥⋅ 𝑥7₎ ₍₁₆₄₎ 𝑓 (𝑥) = √ 𝑥 + 2 3𝑥 (165) 𝑓 (𝑥) = √ 𝑒𝑥_{+ 2 − cos 𝑥} 𝑥 + 𝑥 3_{ln 4𝑥} ₍₁₆₆₎ 𝑓 (𝑥) = (arctan 𝑒𝑥) ⋅ 𝑥7 (167)

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4 Integrali indeﬁniti

4.1 Integrali immediati o ad essi riconducibili tramite passaggi algebrici

4.1.1 Funzioni elementari ∫ _5𝑥2_{− 2𝑥} 𝑥2 𝑑𝑥 (168) ∫ ₍ cos 𝑥 +7 3 − 2 1 + 𝑥2 ) 𝑑𝑥 (169) ∫ _{3𝑥 + 1} 3𝑥2 𝑑𝑥 (170) ∫ (2𝑥 − 1)(1 − 𝑥2) 𝑑𝑥 (171) 4.1.2 Funzioni composte ∫ _{cos 𝑥 + 2𝑥} sin 𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑥 (172) ∫ √2 + ln(1 + 𝑥) 1 + 𝑥 𝑑𝑥 (173) ∫ cos(𝜋𝑥 + 𝜋 10 ) 𝑑𝑥 (174) ∫ ₁ 1 + 𝑥2𝑒 arctan 𝑥_𝑑𝑥 ₍₁₇₅₎ ∫ ₁ cos2_{(2𝑥 + 1)}𝑑𝑥 (176) ∫ 𝑥√9 − 𝑥2_𝑑𝑥 ₍₁₇₇₎ ∫ 2 cos3𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 (178)

4.2 Tecniche di integrazione

4.2.1 Integrazione per parti

∫ arcsin 𝑥 𝑑𝑥 (179) ∫ 𝑥2ln 𝑥 𝑑𝑥 (180) ∫ 3𝑥⋅ 𝑥 𝑑𝑥 (181) ∫ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 (182) ∫ 𝑥𝑒2𝑥 𝑑𝑥 (183)

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4.2.2 Integrazione per sostituzione ∫ 𝑒𝑥√1 + 2𝑒𝑥_𝑑𝑥 ₍₁₈₄₎ ∫ ₁ 𝑒𝑥_{+ 𝑒}−𝑥𝑑𝑥 (𝑡 = 𝑒 𝑥₎ ₍₁₈₅₎ ∫ √_{𝑥 + 1} √ 𝑥 + 2𝑑𝑥 (𝑡 = √ 𝑥 + 2) (186) ∫ 𝑥√4 𝑥 − 1 𝑑𝑥 (187) (188)

4.3 Combinazione di tecniche di integrazione

4.3.1 Iterazione di integrazione per parti

∫ 𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 (189) ∫ 𝑥2cos 𝑥 𝑑𝑥 (190) ∫ 𝑥3sin 𝑥 𝑑𝑥 (191)

4.3.2 Integrazione per sostituzione seguita da integrazione per parti

∫ 𝑒

√

𝑥−1_𝑑𝑥 ₍₁₉₂₎ ∫

arctan√𝑥 𝑑𝑥 (193)

4.4 Integrazione di funzioni razionali fratte

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A

Formulario

Tabella 1: Tabella per il calcolo di derivate e integrali di funzioni elementari e composte.

Derivate Integrali

𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑒 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑒 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎

𝐷[cos 𝑥] = − sin 𝑥 𝐷[cos 𝑓 (𝑥)] = −𝑓′(𝑥) sin 𝑓 (𝑥) ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 ∫ 𝑓′(𝑥) cos 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = sin 𝑓 (𝑥) 𝐷[sin 𝑥] = cos 𝑥 𝐷[sin 𝑓 (𝑥)] = 𝑓′(𝑥) cos 𝑓 (𝑥) ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 ∫ 𝑓′(𝑥) sin 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = − cos 𝑓 (𝑥)

𝐷[ln 𝑥] = _𝑥1 𝐷[ln 𝑓 (𝑥)] = 𝑓 ′ (𝑥) 𝑓 (𝑥) / / . . . .