Calcolo di integrali indefiniti

Calcolo di integrali indefiniti

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á âx

2*x²-1

LogB2 x+ -2+4 x² F 2

Calcolando l'integrale "a mano" (si pone t = 2 x): à ^dx

2 x²-1

= ¹

2 ln 2 x + 2 x²- 1 +C

A parte la presenza del valore assoluto, abbiamo ottenuto un risultato apparentemente diverso. Apparentemente, poichè le due espressioni (la nostra e quella di Mathematica) differiscono per una costante. Per rendersene conto chiediamo a Mathematica di calcolare la differenza tra le due espressioni in un assegnato intervallo:

TableB

1 2

LogB 2 *x+ 2*x²-1F -

LogB2 x+ -2+4 x² F 2

,8x, 2, 4, 0.1<

F N

8-0.245065,-0.245065,-0.245065,-0.245065,-0.245065, -0.245065,-0.245065,-0.245065,-0.245065,-0.245065, -0.245065,-0.245065,-0.245065,-0.245065,-0.245065,

-0.245065,-0.245065,-0.245065,-0.245065,-0.245065,-0.245065<

Vediamo dunque che la differenza tra il valore trovato da Mathematica e quello calcolato a mano, è di -0.245065 (a meno dell'approssimazione numerica utilizzata da Mathematica). La costante può essere tirata fuori manipolando l'espressione che abbiamo calcolato:

1

2 ln 2 x + 2 x²- 1 +C = ¹

2 ln 2 x + ¹

2 2 x²- 1 +C

= ¹

2 ln ²

2 x + ¹

2 2 x²- 1 +C = ¹

2 ln ¹

2 2 x + 4 x²- 2 +C

= ¹

2 Bln 2 x + 4 x²- 2 -ln 2F + C = ¹

2 ln 2 x + 4 x²- 2 - ¹

2 2 ln2 + C Riesce:

-1.

2 2

Log@2D

-0.245065

che è proprio il termine costante che stavamo cercando. Allora, possiamo incorporarlo nella costante di integrazione, con la posizione C ' = C - ¹

2 2 ln2, cosicchè: à ^dx

2 x²-1

= ¹

2 ln 2 x + 4 x²- 2 +C', in accordo con il risultato trovato da Mathematica.

che è proprio il termine costante che stavamo cercando. Allora, possiamo incorporarlo nella costante di integrazione, con la posizione C ' = C - ¹

2 2 ln2, cosicchè: à ^dx

2 x²-1

= ¹

2 ln 2 x + 4 x²- 2 +C', in accordo con il risultato trovato da Mathematica.

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