Disequazioni esponenziali 1

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CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA APPLICATA

PRECORSO DI MATEMATICA

ESERCIZI SULLE

DISEQUAZIONI ESPONENZIALI

Esercizio 1: Risolvere la seguente disequazione 5x< 25 .

Svolgimento: Essendo 25 = 52, la disequazione data si pu`o riscrivere nella forma 5x < 52.

Poich´e al primo e al secondo membro ci sono due esponenziali con la stessa base 5 maggiore di 1, tale disequazione `e equivalente a

x < 2 , che `e la soluzione cercata.

Esercizio 2: Risolvere la seguente disequazione 1 3x ≥ 3 .

Svolgimento: Essendo 3 = (1/3)−1, la disequazione data si pu`o riscrivere come 1 3 x ≥ 1 3 −1 .

Poich´e al primo e al secondo membro ci sono due esponenziali con la stessa base 1/3 minore di 1, tale disequazione `e equivalente a

x ≤ −1 che `e la soluzione cercata.

Esercizio 3: Risolvere la seguente disequazione

41+x/2− 2x−1 < 56 . Svolgimento: L’equazione data si pu`o riscrivere nella forma

(22)1+x/2− 2x−1< 56 da cui si ottiene

22+x− 2x−1_{< 56 .}

Mettendo in evidenza 2x−1 al primo membro si ha 2x−1(8 − 1) < 56 ,

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da cui segue

7 · 2x−1< 56 . Dividendo per 7 il primo e il secondo membro si ottiene

2x−1< 8 .

Poich´e 8 = 23 tale disequazione diventa

2x−1 < 23, che equivale a

x − 1 < 3 ,

essendoci al primo e al secondo membro due esponenziali con la stessa base 2 maggiore di 1 . Allora la disequazione data `e verificata se x < 4 .

Esercizio 4: Risolvere la seguente disequazione 5x< 20 .

Svolgimento: Poiché 20 non si può scrivere come potenza di 5, per risolvere la disequazione data bisogna passare ai logaritmi (ciò è possibile essendo 5x> 0 e 20 > 0).

Passando al logaritmo in base 5 in entrambi i membri si ha log₅(5x) < log₅20 , essendo la base del logaritmo maggiore di 1 .

Usando le propriet`a dei logaritmi si ottiene

x < log₅20 , che `e la soluzione della disequazione data.

Esercizi: Risolvere le seguenti disequazioni 1. 3x> 1 9 2. 2x+1≥ 51−x 3. 4x− 2x> 0 4. 1 + 2 x 1 − 2x ≤ 1 5. 22x−1− 5x ≥ 3 · 5x+1 6. 3x(2 − 3x) < 1 7. 4 · 2x+ 9 · 2−x> 12 8. 4x+ 1 >√16x_{+ 2} 9. |2x− 4| < 4 10. 3x+ 3x+1+ 3x+2 ≥ 39

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11. 2x> 1 8 12. 5 x_{− 10} 5x_{− 5} > 0 13. 3 2 x ≤ 4 9 14. 3 − 21−x− 1 4 x > 0 15. 5x/2− 4x > 0 16. s 9 · 4 9 x + 4 > 3 · 2 3 x − 2 17. 5x− 4 ≥ 51−x 18. 2 x 2x_{+ 1}+ 2x 2x_{+ 4} ≤ 1 19. |5x− 1| + 3 · 5x− 3 < 0 20. 2 3 x+1 + 2 3 x−1 + 2 3 x > 19 6 21. 5 · 31+x+ 61−x > 0 22. 2x+ 1 2x ≥ 4 23. 9 x_{− 1} 3x_{− 4} ≤ 0 24. 4x− 10 · 2x_{+ 16 ≥ 0} 25. 2x−1− 1 32x+1− 9 ≥ 0 26. 3x+2< 42x+1 27. 2 3 x ≥ 27 8 28. 2 · 9x≥ 3x+2_{− 10} 29. 1 < 4x< 16

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30. 25x− 13 · 5x_{+ 30 ≥ 0} 31. 4 9 ≤ 2 3 x ≤ 1 32. |3x− 3| > 6 33. 1 3 x > −1 34. 9x− 10 · 3x+ 25 ≥ 0 35. 4x− 3 · 2x+ 2 > 0 36. 2 x−1_{· 4}1+x 61−x < 3 37. 1 − 3 x 4x_{+ 2}x_{− 2} < 0 38. 5x< −5 39. 3 · 2 x 2x_{− 2}+ 4 2x_{+ 2}+ 3 · 4x− 8 4 − 4x < 0 40. 2x· 4 > 1 4 41. 3x− 5 · 31−x≤ 2 42. |4x+ 2| + |4x+ 1| + 2 |4x− 2| > 7 43. 2 x_{− 4}x_{− 1} 3−x_{− 25 · 3}x < 0 44. 3x2 > 81 45. 2 2x+1_{− 5 · 2}x_{+ 2} 4 · 3x_{− 3}2x+1_{− 1} < 0 46. 2x+ 24−x> 17 47. 22x+1≥ 51−x 48. 2 · 3x− 9x> 1 49. 22x− 1 ≤ 1 50. 64 − 2 · 3x> 45 + 32−x

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51. 31−4x> 9x+1 52. 3 2 · 2 3 x−2 > 1 53. 3x+1− 3x−2+ 3x ≥ 35 54. 7x+1+ 7x−1 < 7 55. 2|x2−3x+2|= 3|2−x| x−1 56. 3x−1> 4 1+x 5 57. 4x+ 1 > 2x+1 58. 2 x_{(3 · 2}x_{− 5) + 2} 1 − 3x > 0 59. 4 x_{· 16}x+1 8x−3 < 1 60. 6x+1+ 6x+ 6x−1 < 6

Esercizi: Risolvere i seguenti sistemi

1.    2x+1< 2 3 p 3x2₋₁ − 1 < 0 2.          2 3 x−3 ≤ 1 2 3x − 18 ≥ 0 3.    2|x|+1+ 2|x|−1 < 20 4x− 2x> 2 4.        p 2x+1_{− 1 ≥ 0} 25x+ 5x− 5 3 − 9x < 0

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5.    32x− 6 · 3x− 27 ≤ 0 22x+1+ 2x− 2x+3− 4 ≥ 0