Z f0(x) f (x) dx = log |f (x

INTEGRALI IMMEDIATI Francesca G. Alessio ^(a)

1.

Z

f (x)^αf⁰(x) dx = f (x)^α+1

α + 1 + c, α 6= −1

2.

Z f⁰(x)

f (x) dx = log |f (x)| + c

3.

Z

e^{f (x)}f⁰(x) dx = e^{f (x)}+ c

4.

Z

sin f (x)f⁰(x) dx = − cos f (x) + c

5.

Z

cos f (x)f⁰(x) dx = sin f (x) + c

6.

Z

sinh f (x)f⁰(x) dx = cosh f (x) + c

7.

Z

cosh f (x)f⁰(x) dx = sinh f (x) + c

8.

Z f⁰(x)

1 + f (x)² dx = arctan f (x) + c

9.

Z f⁰(x)

p1 − f(x)² dx = arcsin f (x) + c 10.

Z f⁰(x)

pf(x)²+ 1 dx = settsinhf (x) + c * 11.

Z f⁰(x)

pf(x)²− 1dx = settcoshf (x) + c *

Dai precedenti integrali, utilizzando la regola di integrazione per parti si ottengono inoltre i seguenti integrali notevoli

12.

Z

p1 − f (x)²f⁰(x) dx = 1

2[f (x)p

1 − f (x)²+ arcsin f (x)] + c

13.

Z

pf (x)²+ 1f⁰(x) dx = 1

2[f (x)p

f (x)²+ 1 + settsinhf (x)] + c *

14.

Z

pf (x)²− 1f⁰(x) dx = 1

2[f (x)p

f (x)²− 1 + settcoshf (x)] + c *

15. I_n =

Z 1

(1 + x²)ⁿ dx = 1 2(n − 1)

x

(x²+ 1)ⁿ⁻¹+ 2n − 3

2(n − 1)I_n−1, n ∈ N, dove I1 = arctan x+c

*si ricorda che settsinhx = log(f (x) +pf(x)²+ 1) e settcoshx = log(f (x) +pf(x)²− 1)

(a)Dipartimento di Ingegneria Industriale e Scienze Matematiche - Universit`a Politecnica delle Marche