Elementi di Matematica e Logica (I modulo) Esame - 7 giugno 2010
- Dare adeguate spiegazioni a ogni quesito, senza spiegazioni le risposte non verranno considerate. - Scrivere i primi 3 esercizi su un protocollo e gli altri 3 su un altro protocollo.
- Ricordarsi di mettere nome e cognome su tutti i fogli che si consegnano ( si pu`o tenere il testo).
Es. 1 . [6pt] a) Determinare a ∈ Z, 1 < a < 150 tale che fa: Z → Z150 definita da fa(z) = az
sia surgettiva, motivando perch´e lo `e.
b) Per a = 5 sia ∼ la relazione di equivalenza in Z indotta da f5, ossia la relazione definita da
z ∼ t ⇐⇒ f5(z) = f5(t) . Determinare la classe di 2
Es. 2 . [3pt] Provare per induzione che 2n> n2 per ogni intero n ≥ 5 :
Es. 3 . [5pt] a) Usando l’algoritmo euclideo determinare trovare il massimo comun divisore tra 63 e 210 .
b) Stabilire se l’equazione 63x + 210y = 42 ha soluzioni intere e, se si, determinarle tutte..
Es. 4 . [3pt] Utilizzando il teorema di Fermat si calcoli il resto della divisione tra 385 e 11 .
Es. 5 . [7pt] Dire per quali valori di a ∈ R ha soluzione, e quante ne ha, il sistema lineare x + (a + 1)y = 0 ax + 2y = 0 3y + az = 1 3x − (a2+ a − 2)y + az = 1 e determinarle nel caso a = −1 .
Es. 6 . [6pt] Sia f : C → C definita da f (z) = iz + z a) Calcolare f ((cos24π + i sen24π)6)
b) Provare che f `e un omomorfismo di gruppi additivi. c) Determinare Ker f .
