Università degli Studi dell’Aquila - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Fisica Generale 2 - Prova scritta d’esame del 19 Luglio 2017 ore 15:00
Nome e Cognome: ………..…… No. di matricola: …….…....…CFU……… Si ricorda che le soluzioni dei problemi del compito vanno consegnate utilizzando un UNICO foglio protocollo. Studenti che devono acquisire CFU ≤ 6: svolgere solo i problemi 1 e 2, in 1ora e 40min.
Problema 1
Due anelli uguali di raggio R hanno una densità di carica lineare λ1 e λ2 e sono disposti coassialmente a distanza d come in figura. Calcolare:
a) Il campo elettrico nel punto P, preso come origine (4 punti) b) Il campo elettrico in un punto generico x lungo l’asse degli
anelli, con x>d/2 (3 punti)
c) La velocità che deve avere una particella di carica q e massa m inviata da distanza infinita coassialmente alla distribuzione per arrivare ferma al centro dell’anello con distribuzione di carica λ2 (3 punti)
Dati: λ1 = 10mC/m, λ2 = -25mC/m, d= 6cm, R= 40cm, q=3pC, m=10-6Kg
Problema 2
Due condensatori di capacità C1 e C2 sono connessi in serie ad un generatore di f.e.m. V0. Successivamente essi vengono disconnessi dal generatore e riempiti con dielettrici di costante dielettrica ε1 e ε1, rispettivamente. Ad un certo istante vengono connessi in serie ad una resistenza R.
Calcolare:
a) la differenza di potenziale applicata a R (6 punti);
b) dopo quanto tempo la corrente I che attraversa R sarà pari a 1 mA (4 punti). Dati: C1 = 1.5 µF; C2 = 3 µF; V0 = 500 V; ε1 = 3; ε2 = 5; R=105 Ω.
Problema 3
Una sottile lamina conduttrice infinita è percorsa da una corrente con densità lineare jL. Un filo
rettilineo infinito, disposto parallelamente alla lamina ad una distanza h, è percorso da una corrente
iF nella stessa direzione e verso della corrente nella lamina. Calcolare: a) il campo magnetico generato dalla lamina (4 punti);
b) la forza esercitata sul filo per unità di lunghezza (3 punti);
c) la distanza y dalla lamina in cui il campo magnetico totale è nullo (3 punti).
Soluzioni Problema 1
a) il campo elettrico nel punto P è dato dalla sovrapposizione del campo elettrico dei singoli anelli; i due contributi si sommano perché i campi elettrici sono concordi. Il campo elettrico del singolo anello a distanza x dal suo centro lungo l’asse dell’anello può essere calcolato
considerando l’elemento di carica dq=λRdθ ed il campo elettrico ad esso dovuto: !! = !!!!"
!!!!. Dalla simmetria del problema è facile capire che l’unica componente non nulla è quella diretta lungo la direzione x e che tutti i punti dell’anello sono alla stessa distanza r dal punto x, pertanto l’integrale su dθ risulta essere 2π. Quindi, il campo di un singolo anello a distanza x sul suo asse è dato da: ! = !!!"
!!![(!!!!!)] ! !
. Il campo totale in P è dato da: ! ! = ! !!! !!! ! [(!/!)!!!!)]!! + |!!|! ! [(!/!)!!!!)]!! = !" !!! !!!|!!| [(!/!)!!!!)]!! = 37×10 !!/!.
b) Il campo in un punto generico può essere calcolato a partire dall’espressione generale precedente considerando che in x>d/2 i contributi dei due anelli hanno direzione opposta.
! ! = ! 2!! !!(! +!2) [(! + !/2)!+ !!)]!!− |!!|(! −!2) [(! − !/2)!+ !!)]!!
c) Utilizzando la conservazione dell’energia sappiamo che !" ∞ +!!!!! = !"(! =! !). Essendo V(∞) = 0 ricaviamo ! = !!"(
! !)
! . Il potenziale si ricava dalla definizione:
! ! 2 = − ! ! !" = − ! 2!! ! ! ! !! ! +!2 [(! + !/2)!+ !!)]!! !" ! ! ! − |!!| ! − ! 2 !" [(! − !/2)!+ !!)]!! ! ! ! = ! 2!!2 −!! [(! + !/2)!+ !!)]!!+ !! [(! − !/2)!+ !!)]!! !!!! = ! !! |!!| ! − !! !!+ !! = 1.7 ×10 !! La velocità è pari a v= 101 m/s. Problema 2
Essendo i condensatori in serie, la carica su di essi è la stessa: !! = !!!!"! con !!"! =!!!!!
!!!! =
1!"; quindi !! = 500 !".
Con i dielettrici, essendo i condensatori scollegati dalla batteria, la carica su ciascuno rimane invariata ma la capacità del sistema diventa: !!"!! = !!!!!!!!
!!!!!!!!! = 3.46 !". Quindi la ddp applicata alla resistenza è: !! = !!
La corrente di scarica dei condensatori è: ! ! = !!!! ! ! con !! =! ! ! = 1.44 !". Per ! ! = 1 !", si ha che ! !!! =!(!) !! = ! !.!! Poiché ! = !!!"!! = 0.346 s si ottiene il valore di t = 0.126 s.
Problema 3
a) Possiamo considerare la lamina come composta da fili di lunghezza infinita percorsi da una corrente jLdx diretta lungo !. Il campo generato da ogni filo è indipendente da z, è
perpendicolare al filo e dipende dalla distanza ! = !!+ !!, cioè è pari a !" =!!!!!"
!!" . La componente perpendicolare alla lamina (cioè lungo !) si annulla con quella del campo generato da un filo simmetrico, mentre le componenti parallele si sommano. Quindi se !!! = !!!!!"# !!" !!" = !!!!!"# !! !!!!! avremo !! = 2 !"! = !!!! ! tan!!∞ = !!!! ! = !!!"!!!.! ! = ! ! 754 !" .
b) Poiché il campo magnetico della lamina è ortogonale al filo, la forza su un elementino ds di filo è: !" = !!!!!", quindi per unità di lunghezza è !"
!" = !!!! = 1.5 10
!!!/!. c) Tra lamina e filo, il campo magnetico generato dal filo !!!!
!!" è diretto in verso opposto rispetto al campo generato dalla lamina (mentre sono nello stesso verso sopra il filo e sotto la lamina). Pertanto si annullano ad una distanza dal filo data da !!!!
! =
!!!!
!!" e cioè ! = !!
