5   SUCCESSIONI E PROGRESSIONI

UNITA’ 6. SUCCESSIONI E PROGRESSIONI

1. Le successioni numeriche.

2. Le rappresentazioni di una successione. 3. Le successioni monotone.

4. Il principio di induzione con applicazioni. 5. Le progressioni aritmetiche.

6. Il termine generico e la ragione di una progressione aritmetica. 7. La relazione fra due termini di una progressione aritmetica. 8. L’inserimento di medi aritmetici fra due numeri assegnati. 9. Le proprietà di una progressione aritmetica.

10. La somma dei termini di una progressione aritmetica. 11. Le progressioni geometriche.

12. Il termine generico e la ragione di una progressione geometrica. 13. La relazione fra due termini di una progressione geometrica. 14. L’inserimento di medi geometrici fra due numeri assegnati. 15. Le proprietà di una progressione geometrica.

16. Il prodotto dei termini di una progressione geometrica. 17. La somma dei termini di una progressione geometrica. 18. Applicazioni delle progressioni all’economia e alla biologia.

1. Le successioni numeriche.

Una successione numerica è una sequenza di numeri reali ottenuti da una funzione

R

N

a

:



che, ad ogni numero naturale

n



N

, associa un numero reale

a

_n



R

, secondo una certa regola.

La variabile indipendente n si chiama indice della successione; La variabile dipendente

a

n si chiama termine della successione. La successione è formata da un insieme di numeri infinito e ordinato.

2. Le rappresentazioni di una successione.

Una successione può essere rappresentata in tre modi diversi:

per enumerazione, mediante una espressione analitica o per ricorsione.

Si rappresenta per enumerazione quando si elencano i primi 4 o 5 termini della successione, dai quali si possono dedurre i termini successivi senza ambiguità.

Per esempio la successione: 4, 8, 12, 16, 20, … è rappresentata per enumerazione. La successione: 1, 3, 5, 7, 9, …… è rappresentata per enumerazione.

La successione: 0,6; 0,66; 0,666; 0,6666 …. .. è rappresentata per enumerazione.

Si rappresenta mediante una espressione analitica quando si indicano le operazioni che bisogna eseguire sull’indice n per ottenere il termine corrispondente

a

n.

Per esempio la successione

a

n formata da tutti i numeri reali che si ottengono con questa regola:

1





n

n

a

_{n , comprende i seguenti termini:}

0

1

0

0





a

_;

2

1

1



a

_;

3

2

2



a

4

3

3



a

_{e così via.}

La successione

a

n formata da tutti i numeri reali che si ottengono con questa regola:

3

1







n

n

a

_{n , comprende i seguenti termini:}

3

1

3

0

1

0

0

_







a

_;

4

2

3

1

1

1

1

_







a

_;

5

3

3

2

1

2

2

_







a

_{e così via.}

Si rappresenta per ricorsione quando si indica il primo termine della successione e si fornisce una relazione che indica il legame fra il termine generico

a

ne quello precedente

a

n1.

Per esempio la seguente successione è rappresentata per ricorsione: { 𝑎𝑜 = 3

𝑎_𝑛 = 𝑎_𝑛−1+ 5

3. Le successioni monotone.

Una successione si dice monotòna quando è crescente, oppure decrescente, oppure non decrescente, oppure non crescente, oppure costante.

Una successione si dice crescente se ogni termine è maggiore del suo precedente, cioè 𝑎_𝑛+1 > 𝑎_𝑛 ∀𝑛 ∊ ℕ

Per esempio la successione a: 0, 1, 4, 9, 16, .... è crescente.

Una successione si dice decrescente se ogni termine è minore del suo precedente, cioè 𝑎_𝑛+1 < 𝑎_𝑛 ∀𝑛 ∊ ℕ

Per esempio la successione

,

....

5

1

,

4

1

,

3

1

,

2

1

1,

:

a

_{è decrescente.}

Una successione si dice non decrescente se ogni termine è maggiore o uguale al suo precedente, cioè 𝑎_𝑛+1 ≥ 𝑎_𝑛 ∀𝑛 ∊ ℕ

Per esempio la successione a: 0, 0, 3, 3, 6, 6, .... è non decrescente.

Una successione si dice non crescente se ogni termine è minore o uguale al suo precedente, cioè 𝑎_𝑛+1 ≤ 𝑎_𝑛 ∀𝑛 ∊ ℕ

Per esempio la successione

,

....

3

1

,

3

1

,

2

1

,

2

1

1,

1,

:

a

_{è non crescente.}

Una successione si dice costante se ogni termine è uguale al suo precedente, cioè 𝑎_𝑛+1 = 𝑎_𝑛 ∀𝑛 ∊ ℕ

Per esempio la successione a: 3, 3, 3, 3, 3, ... .... è costante. Esempio 1.

Scrivere i primi cinque termini della successione avente termine generico:

a

n



2

n

0

0

2

0







a

a

₁



2



1



2

a

₂



2



2



4

a

3



2



3



6

a

4



2



4



8

a: 0, 2, 4, 6, 8, ... .... è la successione dei numeri pari. Esempio 2.

Scrivere i primi cinque termini della successione avente termine generico:

a

n



2

n



1

1

1

0

2

0









a

a

1



2



1



1



3

a

2



2



2



1



5

7

1

3

2

3









a

a

4



2



4



1



9

Esempio 3.

Data la successione: a: 0, 1, 4, 9, 16, ... scrivere il termine generico

a

n.

Osservando i termini della successione si nota che ognuno di essi è il quadrato di un numero naturale, perciò:

a

n



n

2 Esempio 4. Data la successione:

,

....

9

1

,

7

1

,

5

1

,

3

1

1,

:

a

_{scrivere il termine generico}

a

_n.

Osservando i termini della successione si nota che ognuno di essi è il reciproco di un numero dispari, perciò:

1

2

1





n

a

_n

Tra le successioni più importanti ci sono le progressioni aritmetiche e le progressioni geometriche, che studieremo in modo più dettagliato.

4. Il principio di induzione con applicazioni.

Il principio di induzione è un teorema che serve per dimostrare alcune formule che riguardano i numeri naturali.

Questo teorema stabilisce che:

se una formula riguardante i numeri naturali è vera per 𝑛 = 1, per 𝑛 = 2, per 𝑛 = 3 … ecc, e se, supponendola vera per n si riesce a dimostrare che è anche vera per n+1,

allora tale formula risulta vera ∀𝑛 ∊ ℕ.

Per esempio si può verificare che la somma dei primi n numeri naturali vale 𝑛(𝑛+1) 2 , cioè risulta: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛(𝑛+1)

2

Infatti sostituendo si può controllare che l’uguaglianza è vera per n=1 poiché 1 = 1(1+1) 2 Si può anche controllare che è vera per n=2 poiché 1 + 2 =2(2+1)

2

Si può anche controllare che è vera per n=3 poiché 1 + 2 + 3 = 3(3+1) 2 Ma come facciamo a essere sicuri che l’uguaglianza è vera ∀𝑛 ∊ ℕ ?

Possiamo applicare il principio di induzione. Supponendo che l’uguaglianza sia vera per un certo numero intero n, dobbiamo dimostrare che essa è vera anche per l’intero successivo n+1. Quindi supponiamo che sia vera la relazione: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛(𝑛+1)

2 (1) e dobbiamo dimostrare che: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 + (𝑛 + 1) = (𝑛+1)(𝑛+2)

2 (2) Partendo dalla relazione (1) aggiungiamo ai due membri (n+1) e si ottiene:

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 + (𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛+1) 2 + (𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛+1)+2(𝑛+1) 2 = (𝑛+1)(𝑛+2) 2 = 𝑡𝑒𝑠𝑖

Esercizio 1. Utilizzando il principio di induzione dimostrare che la somma dei primi n numeri pari risulta: 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)

Esercizio 2. Utilizzando il principio di induzione dimostrare che la somma dei primi n numeri dispari risulta 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2

5. Le progressioni aritmetiche.

Una progressione aritmetica è una successione numerica in cui la differenza fra ogni termine e il suo precedente è un valore costante che si chiama ragione della progressione.

In generale il primo termine della progressione si indica con

a

₁, il secondo termine della progressione si indica con

a

2,

…. ……… …….

l’ennesimo termine della progressione si indica con

a

n, la ragione della progressione si indica con d (differenza).

Perciò in una progressione aritmetica risulta:

a

n



a

n1



d



a

n



a

n1



d

Esempio 1. La successione di numeri:

a: 2, 5, 8, 11, 14, ...

è una progressione aritmetica in cui il primo termine è 2 e la ragione è 3. Il suo termine generico è:

a

n



2



3

(

n



1

)

Esempio 2. La successione di numeri:

a: 16, 21, 26, 31, 36, ...

è una progressione aritmetica in cui il primo termine è 16 e la ragione è 5. Il suo termine generico è:

a

n



16



5

(

n



1

)

Esempio 3. Nella progressione aritmetica con termine generico:

(

1

)

4

1

2

3

_

_



n

a

_n il primo termine vale

2

3

e la ragione vale

4

1

, perciò si ottiene:

2

3

1



a

4

7

4

1

6

4

1

2

3

2











a

2

2

4

2

1

2

3

4

2

2

3

3













a

4

9

4

3

6

4

3

2

3

4











a

La progressione aritmetica risulta:

,

...

4

9

2,

,

4

7

,

2

3

:

a

6. Il termine generico e la ragione di una progressione aritmetica.

In generale, se indichiamo con

a

₁ il primo termine della progressione aritmetica e con d (differenza) la ragione della progressione, osserviamo che:.

il secondo termine risulta:

a

₂



a

₁



d

il terzo termine risulta:

a

3



a

2



d



a

1



d



d



a

1



2

d

il quarto termine risulta:

a

₄



a

₃



d



a

₁



2

d



d



a

₁



3

d

……… ……… il generico termine ennesimo risulta:

a

_n



a

₁



(

n



1

)

d

Dalla formula precedente è possibile calcolare il generico termine

a

n, oppure la ragione d della progressione, oppure il posto n che occupa il generico termine

a

n.

Esempio 1. In una progressione aritmetica con

2

3

1



a

_e

5

1



d

_{calcolare il ventesimo termine} della progressione.

10

53

10

38

15

5

19

2

3

5

1

19

2

3

)

1

20

(

1 20

























a

d

a

Esempio 2. In una progressione aritmetica con

3

1

1



a

_{, il dodicesimo termine vale}

2

7

. Calcolare la ragione della progressione.

1

)

1

(

)

1

(

1 1 1

_





















n

a

a

d

a

a

d

n

d

n

a

a

n n n

66

19

11

1

6

19

11

6

19

11

6

2

21

1

12

3

1

2

7



















d

Esempio 3.

Una progressione aritmetica ha il primo termine uguale a 2 e la ragione uguale ad

2

1

. Calcolare il posto n che occupa il termine

2

15

.

d

a

a

n

d

a

a

n

a

a

d

n

d

n

a

a

n n n n 1 1 1 1

(

1

)

(

1

)

1

1































11 1 2 2 11 2 1 2 11 2 1 2 4 15 2 1 2 2 15 1          n Il termine

2

15

7. La relazione fra due termini di una progressione aritmetica.

Se m ed n sono due numeri interi con, con mn, in una progressione aritmetica risulta che:

a

n



a

1



(

n



1

)

d

a

m



a

1



(

m



1

)

d

Sottraendo queste formule membro a membro si ottiene:

a

n



a

m



a

1



(

n



1

)

d



a

1



(

m



1

)

d

;

a

n



a

m



a

1



nd



d



a

1



md



d

;

a

n



a

m



nd

1



md



(

n



m

)

d



a

n



a

m



(

n



m

)

d

Questa formula permette di calcolare un termine qualsiasi di una progressione aritmetica conoscendo un altro termine qualsiasi, il posto che essi occupano nella progressione e la ragione.

Esempio 1. Calcola il tredicesimo termine di una progressione aritmetica sapendo che il settimo termine vale 15 e la ragione vale 3.

Bisogna calcolare 𝑎₁₃ sapendo che 𝑎₇ = 15 e 𝑑 = 3

𝑎₁₃ = 𝑎₇+ (13 − 7)𝑑 = 15 + 6 ∙ 3 = 15 + 18 = 33

Dalla formula principale

a

n



a

m



(

n



m

)

d

è anche possibile calcolare le altre incognite utilizzando le formule inverse.

Esempio 2. Calcolare la ragione di una progressione aritmetica in cui il settimo termine vale

3 8

e il dodicesimo termine vale

4 15 .

7

12

)

7

12

(

)

7

12

(

12 7 7 12 7 12

_





















a

d

d

a

a

d

a

a

a

60

13

5

1

12

13

5

12

13

5

12

32

45

7

12

3

8

4

15



















d

Esempio 3. In una progressione aritmetica di ragione 6, calcola il posto che occupa il termine 75 sapendo che il settimo termine vale 51.

Sappiamo che 𝑑 = 6, 𝑎_𝑛 = 75 , 𝑎₇ = 51 e bisogna calcolare n.































7

6

51

-75

6

7)

-(

51

-75

6

)

7

(

51

75

)

7

(

7

n

d

n

n

n

a

a

_n

11

7

4

7

6

24

7

6

51

75

8. L’inserimento di medi aritmetici fra due numeri assegnati.

Inserire quattro medi aritmetici fra due numeri assegnati x ed y vuol dire trovare quattro numeri compresi tra x ed y tali che la successione:

x

,

a

2

,

a

3

,

a

4

,

a

5

,

y

sia una progressione aritmetica di sei termini.

Per trovare tali numeri bisogna calcolare la ragione della progressione aritmetica applicando la formula:

5

1

6

1

)

1

(

)

1

(

1 1 1

x

y

x

y

n

a

a

d

a

a

d

n

d

n

a

a

n n n

































Esempio 1. Inserire quattro medi aritmetici fra i numeri 7 e 27.

La successione di sei termini deve essere:

7

,

a

2

,

a

3

,

a

4

,

a

5

,

27

Si calcola la ragione:

4

5

20

5

7

27

1

6















y

x

d

I medi aritmetici sono:

11

4

7

2







a

15

4

11

4

2 3



a









a

19

4

15

4

3 4



a









a

23

4

19

4

4 5



a









a

Esempio 1. Inserire otto medi aritmetici fra i numeri -2a e 22a. La successione di dieci termini deve essere:



2

a

,

a

2

,

a

3

,

a

4

,

a

5

,

a

6

,

a

7

a

8

,

a

9

,

22

a

Si calcola la ragione:

3

8

9

24

1

10

)

2

(

22

d

a

a



a



a









I medi aritmetici sono:

3

2

3

8

6

3

8

2

2

a

a

a

a

a

a















3

10

3

8

3

2

2 3

a

a

a

d

a

a











a

a

a

a

d

a

a

6

3

18

3

8

3

10

3 4













3

26

3

8

3

18

4 5

a

a

a

d

a

a











3

34

3

8

3

26

5 6

a

a

a

d

a

a











a

a

d

a

a

a

14

a

3

42

3

8

3

34

6 7













3

50

3

8

3

42

7 8

a

a

a

d

a

a











3

58

3

8

3

50

8 9

a

a

a

d

a

a











9. Le proprietà di una progressione aritmetica.

Prima proprietà. In una progressione aritmetica ogni termine è uguale alla media aritmetica tra quello precedente e quello successivo. Per questo motivo tali progressioni si chiamano aritmetiche.

Infatti, calcoliamo la media aritmetica tra il primo termine e il terzo termine:

1 2 1 1 1 3 1 2 2 2 2 2 2 a d a d a d a a a a         

Calcoliamo la media aritmetica tra il secondo termine e il quarto termine:

1 3 1 1 1 4 2 ₂ 2 4 2 2 3 2 a d a d a d a d a a a  _    _  _{  }

Calcoliamo la media aritmetica tra il terzo termine e il quinto termine:

1 4 1 1 1 5 3 ₃ 2 6 2 2 4 2 2 a d a d a d a d a a a           … e così via.

Seconda proprietà. In una progressione aritmetica la somma di due termini equidistanti dagli estremi è costante ed è uguale alla somma dei termini estremi.

Infatti, consideriamo sei termini di una progressione aritmetica:

a

1

,

a

2

,

a

3

a

4

,

a

5

,

a

6

Calcoliamo la somma degli estremi

a

1

e

a

6:

d a d a a a a₁ ₆  ₁ ₁ 5 2 ₁5

Calcoliamo la somma dei termini

a

2

e

a

5 equidistanti dagli estremi:

d a d a d a a a₂ ₅  ₁  ₁4 2 ₁5

Calcoliamo la somma dei termini

a

3

e

a

4 equidistanti dagli estremi:

d

a

d

a

d

a

a

a

₃



₄



₁



2



₁



3



2

₁



5

Come si vede la somma rimane costante.

10. La somma dei termini di una progressione aritmetica.

La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è uguale al prodotto di n per la semisomma dei due termini estremi.

Cioè

2

1 n n

a

a

n

S







Per la dimostrazione osserviamo che si ottiene la stessa somma scambiando l’ordine degli addendi:

...

_{2 3 n-2 n-1 n} 1

a

a

a

a

a

a

S

_n















...

a

_n-1

a

_n-2

a

₃

a

₂

a

₁

a

S

_n



_n













Sommando membro a membro in colonna si ottiene:

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

2

S

_n



a

₁



a

_n



a

₂



a

_n-1



a

₃



a

_n-2





a

_n2



a

₃



a

_n1



a

₂



a

_n



a

₁

Al secondo membro ci sono in tutto n termini tra parentesi e sono tutti uguali ad

(

a

₁



a

_n

)

, perciò si può scrivere:

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

2

S

_n



a

₁



a

_n



a

₁



a

_n



a

₁



a

_n





a

₁



a

_n



a

₁



a

_n



a

₁



a

_n ;

2

)

(

2

S

_n



n



a

₁



a

_n



S

_n



n



a

1



a

n

Esempio 1. Calcolare la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 100.

5050

101

50

2

100

1

100

2

1



















n n

a

a

n

S

Esempio 2. Calcolare la somma di tutti i numeri pari da 22 a 34.

S

n



22



24



26



....



34

2

1 n n

a

a

n

S







_{Bisogna calcolare il numero n di termini.}

7

2

12

1

2

22

34

1

1

1

)

1

(

1 1 1



































d

a

a

n

d

a

a

n

d

n

a

a

_n n n

196

28

7

2

56

7

2

34

22

7

















n

S

Esempio 3. Calcolare la somma di tutti i numeri dispari da 13 a 257.

S

n



13



15



17



....



255



257

2

1 n n

a

a

n

S







_{Bisogna calcolare il numero n di termini.}

123

2

244

1

2

13

257

1

1

1

)

1

(

1 1 1



































d

a

a

n

d

a

a

n

d

n

a

a

n n n

16605

135

123

2

270

123

2

257

13

123

















n

S

Esempio 4. Calcolare la somma di tutti i multipli di 5 da 1900 a 2015.

S

n



1900



1905



1910



....



2015

2

1 n n

a

a

n

S







_{Bisogna calcolare il numero n di termini.}

24 5 115 1 5 1900 2015 1 1 1 ) 1 ( 1 1 1                  d a a n d a a n d n a a n n n

46980

3915

12

2

3915

24

2

2015

1900

24

















n

S

11. Le progressioni geometriche.

Una progressione geometrica è una successione numerica in cui il quoziente fra ogni termine e il suo precedente è un valore costante che si chiama ragione della progressione.

In generale il primo termine della progressione si indica con

a

1,

il secondo termine della progressione si indica con

a

₂, …. ……… …….

l’ennesimo termine della progressione si indica con

a

n, la ragione della progressione si indica con q (quoziente).

Perciò in una progressione geometrica risulta:

_a

q

a

a

q

a

n n n n









  1 1

Esempio 1. La successione di numeri:

a: 4, 8, 16, 32, 64, ...

è una progressione geometrica in cui il primo termine è 4 e la ragione è 2. Il suo termine generico è:

a

n



4



2

n1

Esempio 2. La successione di numeri:

a: 1, 3, 9, 27, 81, ...

è una progressione geometrica in cui il primo termine è 1 e la ragione è 3. Il suo termine generico è:

a

n



1



3

n1

Esempio 3. Nella progressione geometrica con termine generico:

1

2

1

3



















n n

a

il primo termine vale 3 e la ragione vale

2

1

, perciò si ottiene:

3

1

3

2

1

3

2

1

3

0 1 1 1









































a

2

3

2

1

3

2

1

3

1 2 2

























a

4

3

4

1

3

2

1

3

1 3 3

























a

8

3

8

1

3

2

1

3

3 4























a

La progressione geometrica risulta:

,

...

16

3

,

8

3

,

4

3

,

2

3

3,

:

a

12. Il termine generico e la ragione di una progressione geometrica.

In generale, indicando con

a

₁ il primo termine della progressione aritmetica e con q (quoziente) la ragione della progressione,

il secondo termine risulta:

a

₂



a

₁



q

il terzo termine risulta:

a

3



a

2



q



a

1



q



q



a

1



q

2 il quarto termine risulta: 1 3

2 1 3 4

a

q

a

q

q

a

q

a















……… ……… il termine generico ennesimo risulta: 1 1







n

n

a

q

a

Da questa formula è possibile calcolare il generico termine

a

ndella progressione, oppure la ragione q, oppure il posto n che occupa il generico termine

a

n.

Esempio 1. In una progressione geometrica con

a

1



2

e q 3 calcolare il quinto termine.

5



1



1



2



3

5 1



2



3

4



2



81



162

  n

q

a

a

Esempio 2. In una progressione geometrica con

4

5

1



a

_{, il settimo termine vale}

2916

5

. Calcolare la ragione della progressione.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

     

_

_

_

_

_

_





n n n n n n n n n n

a

a

q

q

a

a

q

a

a

q

a

a

3 1 729 1 729 1 2916 4 5 4 2916 5 4 5 2916 5 ₆ 6 6 6 6 1 7 1 1        n n  a a q Esempio 3.

Una progressione geometrica ha il primo termine uguale a 3 e la ragione uguale a 2. Calcolare il posto che occupa il termine 192.

7 6 1 2 2 2 64 2 3 192 1 1 1 6 1 1 1 1                    n n q a a q a a n n n n n n n

13. La relazione fra due termini di una progressione geometrica.

Se m ed n sono due numeri interi tali che

m



n

, in una progressione geometrica risulta che:

1 1 





m m

a

q

a

1 1 





n n

a

q

a

Dividendo membro a membro si ottiene: m n m n m n m n

_q

_q

q

a

q

a

a

a

     











1 1 1 1 1 1 Cioè:

a

n

a

m

q

n m 





Questa formula permette di calcolare la ragione di una progressione geometrica conoscendo due termini qualsiasi e il posto che essi occupano nella progressione.

Esempio 2. Calcolare la ragione di una progressione geometrica in cui il terzo termine è 50 e il sesto termine è 6250.

₅₀

125

5

6250







6 3



3





 _nm  m n m n m n

a

a

q

q

a

a

Esempio 2. In una progressione geometrica di ragione

2

1

, il settimo termine vale

64

3

. Calcolare il posto che occupa il termine

1024

3

.   _ _   _ _  _ _      7 7 7 2 1 16 1 2 1 3 64 1024 3 2 1 64 3 1024 3 n n n m n m n _q a a 4 7 11 2 1 2 1 4 7 _{    }                n n n Il termine

1024

3

14. L’inserimento di medi geometrici fra due numeri assegnati.

Inserire quattro medi geometrici fra due numeri assegnati x ed y vuol dire trovare quattro numeri compresi tra x ed y tali che la successione:

x

,

a

2

,

a

3

,

a

4

,

a

5

,

y

sia una progressione geometrica di sei termini.

Per trovare tali numeri bisogna calcolare la ragione della progressione geometrica applicando la formula: 1 6 1 5 1 1 1 1 1

x

y

x

y

a

a

q

a

a

q

q

a

a

n n n n n n





















 

Esempio 1. Inserire quattro medi geometrici tra i numeri 2 e 486.

2

,

a

2

,

a

3

,

a

4

,

a

5

,

486

243

3

2

486

_q



5



5



_{I medi geometrici sono:}

a

₂



a

₁



q



2



3



6

a

3



a

2



3



6



3



18

a

4



a

3



3



18



3



54

a

5



a

4



3



54



3



162

15. Le proprietà di una progressione geometrica.

Prima proprietà. In una progressione geometrica ogni termine è uguale alla media geometrica tra quello precedente e quello successivo. Per questo motivo tali progressioni si chiamano geometriche.

Infatti, calcoliamo la media geometrica tra il primo termine e il terzo termine:

1 2 2 2 1 2 1 1 3 1 a a a q a q a q a a         

Calcoliamo la media geometrica tra il secondo termine e il quarto termine:

3 2 1 4 2 1 3 1 1 4 2 a a q a q a q a q a a          

Calcoliamo la media geometrica tra il terzo termine e il quinto termine:

4 3 1 6 2 1 4 1 2 1 5 3 a a q a q a q a q a a           … e così via.

Seconda proprietà. In una progressione geometrica il prodotto di due termini equidistanti dagli estremi è costante ed è uguale al prodotto dei termini estremi.

Infatti, consideriamo sei termini di una progressione geometrica:

a

1

,

a

2

,

a

3

a

4

,

a

5

,

a

6

Calcoliamo il prodotto degli estremi

a

1

e

a

6:

12 5 5 1 1 6 1

a

a

a

q

a

q

a













Calcoliamo il prodotto dei termini

a

2

e

a

5 equidistanti dagli estremi:

12 5 4 1 1 5 2

a

a

q

a

q

a

q

a















Calcoliamo il prodotto dei termini

a

3

e

a

4 equidistanti dagli estremi:

12 5 3 1 2 1 4 3

a

a

q

a

q

a

q

a















16. Il prodotto dei termini di una progressione geometrica.

Il prodotto di n termini di una progressione geometrica vale:

P

n





a

1



a

n



n

Per la dimostrazione osserviamo che si ottiene lo stesso prodotto scambiando l’ordine dei fattori:

...

_{2 3 n-2 n-1 n} 1

a

a

a

a

a

a

P

_n















...

a

_n-1

a

_n-2

a

₃

a

₂

a

₁

a

P

_n



_n













Moltiplicando membro a membro in colonna si ottiene:

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

_{1 2 n-1 3 n-2 2 3 1 2 1} 2

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

P

_n





_n













_n





_n





_n



Al secondo membro ci sono in tutto n fattori tra parentesi e sono tutti uguali ad

(

a

1



a

n

)

, perciò

si può scrivere:

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

_{1 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n} 2

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

P

_n





_n























_;

P

n



a



a

n



n





a

1



a

n



n n 1 2

P

)

(

Esempio 1. Una progressione geometrica ha

a

1



2

e

q



3

. Calcola il prodotto dei primi 4 termini.





n n n



a

1



a

P

a

_n



a

₁



q

n1

a

₄



a

₁



q

41



2



3

3



54





(

2

54

)



2

54



108

11664

P

₄



a

₁



a

₄ 4





4





2



2



17. La somma dei termini di una progressione geometrica.

La somma di n termini di una progressione geometrica vale:

q q a S n n _    1 1 1

Per la dimostrazione osserviamo che:

S

n



a

1



a

2



a

3



...



a

n-2



a

n-1



a

n

Cioè,

...

1 1

2 1 3 1 2 1 1 1   

_

_

_

_

















n n n n

a

a

q

a

q

a

q

a

q

a

q

S

₍₁₎

In questa uguaglianza moltiplichiamo ambo i membri per q.

...

₁ 2 ₁ 3 ₁ 2 ₁ 1 ₁ 1 n n n n

a

q

a

q

a

q

a

q

a

q

a

q

S

q

































₍₂₎

Sottraendo membro a membro la (1) e la (2) si semplificano quasi tutti i termini esclusi il primo e l’ultimo, per cui si ottiene:





q q a q a q q a a S q S n n n n n                 1 1 S 1 ) 1 ( S _{n 1 n 1} 1 1

Esempio 1. Una progressione geometrica ha il primo termine uguale a due e la ragione uguale a quattro. Calcolare la somma dei primi cinque termini.

682 3 1023 2 3 1023 2 3 1024 1 2 4 1 4 1 2 1 1 5 5 1 5                         q q a S

18. Applicazioni delle progressioni ai problemi di economia.

Le progressioni aritmetiche e geometriche trovano importanti applicazioni ai problemi di economia, nel calcolare l’interesse da versare nelle operazioni finanziarie.

Un’operazione finanziaria è un contratto con cui avviene uno scambio di denaro in tempi diversi.

Si chiama creditore colui che concede il prestito e debitore colui che riceve il prestito.

Il capitale C è la somma di denaro che il creditore concede al debitore nel momento del contratto, in cambio di un compenso al termine del contratto.

L’interesse I è il compenso che il debitore si impegna a versare al creditore, alla scadenza del contratto, in aggiunta al capitale iniziale.

Il tasso d’interesse i è la percentuale dell’interesse annuo sul capitale prestato.

Il montante M è la somma di denaro complessiva che il debitore deve versare al creditore alla scadenza del contratto. M CI

La capitalizzazione è il procedimento matematico con cui viene calcolato l’interesse I maturato sul capitale C. Questo procedimento generalmente può essere di due tipi:

la capitalizzazione semplice, che si effettua calcolando la somma dei termini di una progressione aritmetica;

la capitalizzazione composta, che si effettua calcolando la somma dei termini di una progressione geometrica.

16. La capitalizzazione semplice.

La capitalizzazione semplice è il procedimento matematico utilizzato per calcolare l’interesse alla fine di ogni anno con la condizione che questo interesse non si somma al capitale investito e quindi non produce altri interessi l’anno successivo. In pratica il montante ottenuto ogni anno si calcola sempre sulla base del capitale investito C.

Se si presta un capitale C, ad un tasso d’interesse i, dopo un anno il montante M diventa: M₁ CiC dopo due anni il montante diventa: M₂ C2iC dopo tre anni il montante diventa: M₃ C3iC

Come si può osservare la differenza fra ogni montante e quello precedente è sempre costante e vale iC. Perciò tutti i montanti calcolati sono i termini di una progressione aritmetica di ragione iC.

Generalizzando il risultato precedente si può dire che dopo un numero n di anni il montante risulta:

M_n CniC cioè M_n C(1ni)

Esempio 1. In un’operazione finanziaria si presta un capitale di 15000,00 € per 5 anni al tasso d’interesse del 2,3 % annuo. Calcolare il montante con la capitalizzazione semplice.

€ 00 , 16725 1,115 € 00 , 15000 ) 115 , 0 (1 ) 023 , 0 5 1 ( ) 5 1 ( ) 1 (                C ni C i C C M_n

Esempio 2. In un’operazione finanziaria si presta un capitale di 15000,00 € per 7 mesi al tasso d’interesse del 2,3 % annuo. Calcolare il montante con la capitalizzazione semplice.



1,0134166



15201,25€ € 00 , 15000 023 , 0 12 7 1 12 7 1 ) 1 (         _{ }              C ni C i C M_n

Esempio 3. In un’operazione finanziaria si presta un capitale di 8700 € al tasso d’interesse del 2,5 % annuo. Stabilire quanti anni bisogna attendere per avere un montante di almeno 10000 € con la capitalizzazione semplice.

Dalla formula M_n C(1ni) _{bisogna calcolare il numero n di anni.}

976 , 5 025 , 0 1494 , 0 025 , 0 1 1494 , 1 025 , 0 1 8700 10000 1 1 1               i C M n ni C M ni C M n n n

17. La capitalizzazione composta.

La capitalizzazione composta è il procedimento matematico utilizzato per calcolare l’interesse alla fine di ogni anno con la condizione che questo interesse si somma al capitale investito e quindi produce altri interessi l’anno successivo. In pratica il montante ottenuto ogni anno si calcola sempre sulla base del montante dell’anno precedente.

Se si presta un capitale C, ad un tasso d’interesse i, dopo un anno il montante M diventa: M₁CiC C(1i)

Questo montante costituisce il capitale investito per il secondo anno, alla fine del quale il nuovo montante è:

M₂ M₁iM₁ M₁(1i)C(1i)(1i)C(1i)2

Questo montante costituisce il capitale investito per il terzo anno, alla fine del quale il nuovo montante è:

M3 M2iM2 M2(1i)C(1i)2(1i)C(1i)3

Come si può osservare il quoziente fra ogni montante e quello precedente è sempre costante e vale (1i). Perciò tutti i montanti calcolati sono i termini di una progressione geometrica di ragione (1i).

Generalizzando il risultato precedente si può dire che dopo un numero n di anni il montante risulta:

Mn C(1i)n

Facendo alcuni esempi si può verificare che se la durata del prestito è superiore all’anno, (cioè

1



n ), il montante calcolato con la capitalizzazione composta è maggiore di quello calcolato con la capitalizzazione semplice; se invece la durata del prestito è inferiore all’anno, (cioè n1

), il montante calcolato con la capitalizzazione composta è minore di quello calcolato con la capitalizzazione semplice.

Esempio 1. In un’operazione finanziaria si presta un capitale di 15000,00 € per 5 anni al tasso d’interesse del 2,3 % annuo. Calcolare il montante con la capitalizzazione composta.

€ 20 , 16806 1,12041 € 00 , 15000 ) (1,023 € 00 , 15000 ) 023 , 0 1 ( ) 1 (  5    5   5     C i C Mn

Esempio 2. In un’operazione finanziaria si presta un capitale di 15000,00 € per 7 mesi al tasso d’interesse del 2,3 % annuo. Calcolare il montante con la capitalizzazione composta.

€ 0,29 1520 1,013353 € 00,00 150 ) 023 , 1 ( ) 023 , 0 1 ( ) 1 ( 12 0,58333 7           C i C C M_n n

18. La capitalizzazione mista.

La capitalizzazione mista è il procedimento matematico utilizzato per calcolare l’interesse che è più conveniente per il creditore, applicando la capitalizzazione composta per i periodi di tempo che corrispondono ad interi anni solari e la capitalizzazione semplice per i periodi di tempo che corrispondono a frazioni di anni solari.

Per esempio, se viene prestato un capitale C, al tasso di interesse i, dal 1 Ottobre 2009 al 30 Giugno 2013, la durata del prestito comprende tre mesi dell’anno 2009, gli interi anni 2010, 2011, 2012 e sei mesi dell’anno 2013.

Dopo i tre mesi dell’anno 2009 il montante, calcolato con la capitalizzazione semplice, risulta:

        C i M 12 3 1 1 .

Dopo l’intero anno 2010 il montante, calcolato con la capitalizzazione composta, risulta: ) 1 ( 12 3 1 ) 1 ( 1 1 1 2 M iM M i C i i M              _.

Dopo l’intero anno 2011 il montante, calcolato con la capitalizzazione composta, risulta: 2 2 2 2 3 (1 ) 12 3 1 ) 1 )( 1 ( 12 3 1 ) 1 ( i C i i i C i i M iM M M                        _.

Dopo l’intero anno 2012 il montante, calcolato con la capitalizzazione composta, risulta: 3 2 3 3 3 4 (1 ) 12 3 1 ) 1 ( ) 1 ( 12 3 1 ) 1 ( i C i i i C i i M iM M M                        _.

Dopo i sei mesi dell’anno 2013 il montante, calcolato con la capitalizzazione semplice, risulta:

                       M i C i i i M 12 6 1 ) 1 ( 12 3 1 12 6 1 3 4 5 .

Generalizzando questo risultato si può dire che, se indichiamo con:

1

f

la frazione del primo anno solare; n il numero intero di anni solari;

2

f

la frazione dell’ultimo anno solare;

il montante si può calcolare con la formula generale: M C



1 f₁i



(1i)n



1 f₂i



Nell’esempio precedente, se il capitale prestato è di 10.000,00€ e il tasso d’interesse del 2,5%, il montante risulta: € 1097166 0125 , 1 07689 , 1 00625 , 1 € 10000 025 , 0 12 6 1 ) 025 , 0 1 ( 025 , 0 12 3 1 € 10000 3           _{ }          _{ }  M

Esercizio 1. Un capitale di 50.000,00€ viene prestato al tasso d’interesse del 2,7% per 5 mesi dell’anno 2003, per gli interi anni 2004, 2005, 2006, 2007 e per 7 mesi dell’anno 2008.

Calcolare il montante finale.





      _{ }          _{ }                      0,027 12 7 1 027 , 0 1 027 , 0 12 5 1 € 00 , 000 . 50 12 7 1 ) 1 ( 12 5 1 i i 4 i 4 C M 50.000,00€1,01125 1,112453 1,01575 57134,32€

19. Applicazioni delle progressioni alla biologia.

Le progressioni geometriche hanno importanti applicazioni anche in Biologia, nello studio della crescita di una popolazione di organismi viventi e, in particolare, della crescita della popolazione umana.

Già nel 1798 l’economista inglese Thomas Malthus espose una teoria per studiare l’incremento demografico e prevedere gli sviluppi futuri della società.

Secondo la sua teoria, la popolazione cresce secondo una progressione geometrica e le risorse disponibili, soprattutto quelle alimentari, non possono sostenere per lungo tempo la crescita della popolazione.

Di conseguenza, la mancanza di risorse sufficienti, porterebbe periodicamente un aumento del tasso di mortalità a causa di carestie, epidemie e guerre fino ad una riduzione della popolazione tale da creare una nuova condizione di equilibrio con le risorse disponibili.

20. La crescita di una popolazione.

Se indichiamo con N il numero degli individui viventi in un certo anno e con c il tasso di crescita annuale della popolazione, espresso in percentuale, dopo un anno il numero di individui diventa:

N₁ NcN N(1c) Dopo due anni il numero di individui diventa:

N2  N1cN1  N1(1c) N(1c)(1c) N(1c)2 Dopo tre anni il numero di individui diventa:

N3  N2cN2  N2(1c) N(1c)2(1c) N(1c)3

Come si può osservare il quoziente fra ogni numero e quello precedente è sempre costante e vale (1c). Perciò tutti i numeri calcolati sono i termini di una progressione geometrica di ragione (1c).

Generalizzando il risultato precedente si può dire che dopo un numero n di anni il numero di individui risulta:

Nn  N(1c)n

Esempio 1. Supponendo che in un determinato anno ci siano 10.000 individui viventi e che la popolazione abbia un tasso di crescita costante del 3%, calcolare il numero di individui dopo 5 anni.

N5 N(1c)5 10.000



10,03



5 10.000(1,03)5 10.0001,1592711.593