IDONEITA’ ALLA CLASSE 4
aAlfabeto Greco
Lettera Greca minuscola maiuscola
Corrispondente
lettera italiana Nome dellelettere
A a alfa B b beta g gamma d delta E e épsilon Z z zeta H e éta th theta I i iota K c cappa l lambda M m mu N n nu cs csi O o òmicron p pi (greco) P r rho s sigma T t tau Y u (francese) upsilon f fi X ch chi ps psi o oméga Segni Matematici
Segno significato Segno significato
perpendicolare, a 90° circa
non perpendicolare maggiore
parallelo maggiore o uguale
uguale e parallelo minore
uguale (identico) minore o uguale
coincidente sommatoria
non uguale (diverso) appartiene
congruenete non appartiene
DEFINIZIONE DI ANGOLO
Si definisce angolo la parte di piano compresa fra due semirette che hanno origine nello stesso punto
fig. 1
DEFINIZIONE DI ANGOLO ORIENTATO
Per evitare l’incertezza se si intenda o l’angolo fra i due segmenti OA e OB è opportuno dare un orientamento al senso di rotazione che deve avere un segmento per sovrapporsi all’altro con il quale forma l’angolo in questione.
In topografia si usa il senso orario e si dirà che l’angolo è rappresentato dalla rotazione che deve compiere il segmento OA per sovrapporsi ad OB. Si scriverà quindi:
= AOB; = BOA.
Esercizio proposto
Rappresentare in scala opportuna la spezzata (poligonale aperta) della quale sono noti i seguenti elementi:
AB = 16,28m; BC = 19,32m; CD = 15,12m; DE = 10,92m; EF = 13,12m; ABC = = 140°; BCD = = 130°; CDE = = 100°; DEF = = 280°.
Suggerimento: utilizzando un goniometro destrorso (che avanza con la graduazione in senso orario), posizionare lo zero nella direzione della prima lettera della terna che individua il generico angolo e il numero che rappresenta la sua ampiezza nella direzione della terza lettera.
UNITA’ DI MISURA DEGLI ANGOLI
Le unità di misura angolari utilizzati in topografia sono : i sessagesimali (sg);
i sessadecimali (sd); i centesimali o gon (g);
i radianti (rad) per la verità questi sono quasi mai utilizzati in topografia.
I Sessagesimali
L’unità di misura è il grado che si definisce come la novantesima parte dell’angolo retto.
L’angolo sessagesimale si indica con i gradi (°), i primi (‘) e i secondi (“). primi e secondi sono sottomultipli del grado.
In particolare:
1° (un grado) = 60’ (sessanta primi) 1’ (un primo) = 60” (sessanta secondi) perciò: 1° = 3600”
In genere un angolo in sessagesimali si indica: sg= g° p’ s”. Ad esempio = 65°44’38”.
I Sessadecimali
L’unità di misura è la stessa del sistema sessagesimale.
Il sistema sessadecimale è stato introdotto per semplificare le operazioni di calcolo un tempo onerose. L’angolo sessadecimale è composto da gradi, decimi, centesimi,millesimi e decimillesimi di grado.
Un esempio di angolo sessadecimale è il seguente: = 121°,6359.
Sia per i sessagesimali che per i sessadecimali le calcolatrici scientifiche vanno impostate in DEG (D).
I Centesimali (o Gon)
Sono strutturati in modo analogo ai sessadecimali, perciò hanno una parte intera rappresentata dai gradi centesimali (o gon) e quattro decimali che rappresentano i decimi, centesimi, millesimi e decimillesimi di grado.
L’angolo giro in centesimali conta 400gon, l’angolo piatto 200gon e l’angolo retto 100gon. Perciò il grado centesimale corrisponde alla centesima parte dell’angolo retto.
Vi sono modi diversi per scrivere un angolo centesimale. 1° modo: = 75c, 42¯73¯ ¯
75c = gradi centesimali 42¯ = primi centesimali 73¯ ¯ = secondi centesimali
essendo: 1¯ (un primo centesimale) = 1c /100 (un centesimo di grado)
ed 1¯ ¯ (un secondo centesimale) = 1c /10000 (un decimillesimo di grado) 2° modo: = 75g, 42c 73cc
75g = gradi centesimali 42c = primi centesimali
73cc = secondi centesimali analogamente a prima si avrà:
1c = 1g /100 ed 1cc = 1g /10000. 3° modo: è molto utilizzato perché più pratico e veloce
= 75c, 4273.
4° modo: è il modo più utilizzato perché più pratico, veloce e moderno = 75g, 4273 oppure = 75,4273gon.
Per operare con i centesimali le calcolatrici scientifiche vanno impostate in GRAD (G).
Sistema Assoluto O Analitico
L’unità di misura è il radiante che è l’angolo che sottende un arco lungo come il raggio della circonferenza a cui l’arco appartiene.
= 1rad se AB = R
Tra arco, angolo e raggio del settore circolare
OAB esiste la seguente relazione:
rad = AB / R
fig. 2
L’angolo giro nel sistema assoluto vale 2 radianti, l’angolo piatto vale radianti, l’angolo retto vale /2 radianti.
Per operare con i radianti le calcolatrici scientifiche vanno impostate in RAD (R).
PASSAGGIO FRA SESSADECIMALI, CENTESIMALI E RADIANTI
Per effettuare questi passaggi, tenendo conto della proporzionalità fra l’angolo in una determinata unità di misura e il corrispondente angolo piatto, è sufficiente applicare le seguenti uguaglianze:
sd g rad --- = --- = --- .
FUNZIONI
Si dice funzione l’operatore matematico che ad ogni valore della variabile indipendente x associa un solo valore della variabile dipendente y.
In generale si scrive:
y = f(x) Alcuni esempi di funzioni sono i seguenti:
y = 2x + 3; y = x2- 1; y x.
FUNZIONI GONIOMETRICHE
Nelle funzioni goniometriche la variabile indipendente è un angolo mentre la variabile dipendente è un numero adimensionato.
Le funzioni goniometriche più importanti per la topografia sono: 1. la funzione seno (sin);
2. la funzione coseno (cos); 3. la funzione tangente (tg); 4. la funzione cotangente (cotg).
DEFINIZIONE DI SENO E COSENO TANGENTE E COTANGENTE
Per definire le funzioni goniometriche utilizzeremo il cerchio goniometrico. Tale cerchio è caratterizzato dal fatto che il suo raggio è sempre unitario. Ciò non vuol dire che deve necessariamente valere un centimetro o un decimetro o un metro o un ... ma vuol dire che qualunque sia la sua lunghezza essa va presa come unità di misura del disegno.
fig. 3
Si definisce seno dell’angolo la proiezione del raggio BC sull’asse orizzontale (per questo detto asse dei seni) perciò:
Analogamente si definisce coseno dell’angolo la proiezione del raggio BC sull’asse verticale (per questo detto asse dei coseni) perciò:
AC = BD = cos.
In base alla definizione data sia il seno che il coseno avranno valori compresi fra -1 e 1.
Si definisce tangente dell’angolo il segmento EF della retta tangente al cerchio goniometrico e parallela all’asse dei seni. Essendo E il punto di tangenza col cerchio ed F il punto di intersezione fra la retta tangente e il prolungamento del raggio del cerchio goniometrico. Perciò:
EF = tg.
Si definisce cotangente dell’angolo il segmento GH della retta tangente al cerchio goniometrico e parallela all’asse dei coseni. Essendo G il punto di tangenza col cerchio e H il punto di intersezione fra la retta tangente e il prolungamento del raggio del cerchio goniometrico. Perciò:
GH = cotg.
In base alla definizione data sia la tg che la cotg hanno valori compresi fra meno infinito (- ) e più infinito (+ ).
Esercizio risolto
Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno, il coseno, la tangente e la cotangente del seguente angolo: = 56°.
Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 per la risoluzione con calcolatrice scientifica.
Risoluzione grafica:
Si costruisce la figura in modo preciso assumendo come unità di misura il raggio BC. Quindi si misurano con accuratezza i segmenti CD, AC, EF ed GH dividendo la lunghezza di ogni segmento per la lunghezza del raggio BC si determinano i valori delle funzioni goniometriche. Dalla figura si legge:
BC = 27 mm; CD = 23 mm; AC = 15 mm;
EF = 38 mm; GH = 19 mm. fig. 4
Risoluzione con calcolatrice scientifica:
Dopo avere impostato la calcolatrice in DEG si procede nel seguente modo: sin 5 6 = 0,82904; cos 5 6 = 0,55919;
tg 5 6 = 1,48256.
risoluzione grafica risoluzione con calcolatrice scientifica sin56° cos56° tg56° cotg56° 0,85 0,56 1,41 0,70 0,82904 0,55919 1,48256
non siamo ancora in grado di calcolarlo
Si nota una sufficiente rispondenza fra le due serie di risultati. Naturalmente i risultati grafici sono affetti da inevitabili errori di graficismo.
Esercizio proposto
Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno, il coseno, la tangente e la cotangente del seguenti angoli: = 20°; = 40°; = 70°.
Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 per la risoluzione con calcolatrice scientifica.
RELAZIONI FONDAMENTALI
Fra le funzioni goniometriche esistono alcune importanti proprietà.
Relazione fra seno e coseno
Fra seno e coseno esiste la seguente importante relazione fondamentale:
sin2 + cos2 = 1 Relazione fra seno coseno e tangente
Fra seno, coseno e tangente esiste la seguente importante relazione fondamentale:
tg = sin / cos Relazione fra seno coseno e cotangente
Fra seno, coseno e cotangente esiste la seguente importante relazione fondamentale:
Relazione fra tangente e cotangente
Fra tangente e cotangente esiste la seguente importante relazione fondamentale:
cotg = 1 / tg Esercizio risolto
Calcolare la cotangente di 58°.
Dopo aver impostato la calcolatrice in DEG si procede nel seguente modo: 1 : tg 5 8 = 0,62487
Esercizio risollto
Dato sin = 3 / 5 determinare: cos, tg e cotg.
sapendo che: sin2 + cos2 = 1 _________
si ricava: cos = 1 - sin2 = 4 / 5 per la tangente utilizzando la (3) si ricava: tg = sin / cos = 3/4 per la cotangente utilizzando la (5) si ricava: cotg = cos / sin = 4 / 3.
Esercizio risolto
Data tg = 5 determinare: sin; cos e cotg.
per la cotangente si utilizza la sua relazione con la tangente: cotg = 1 / tg = 1 / 5 per determinare seno e coseno si scrive il seguente sistema: sin / cos = 5
sin2 + cos2 = 1 risolviamo per sostituzione: sin = 5 cos
(5 cos)2 + cos2 = 1 25 cos2+ cos2 = 1 26 cos2 = 1 ______ cos = 1 / 26 ___ e razionalizzando: cos = 26 / 26 ___ infine: sin = 5 26 / 26. Esercizio proposto
Sapendo che cotg = 3 determinare sin, cos, e tg.
Esercizio proposto
SEGNI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE NEI VARI QUADRANTI
In base alle definizioni date per le funzioni goniometriche, ragionando sul cerchio goniometrico determiniamo i segni del seno e del coseno. Tenendo conto che se la proiezione del raggio è un segmento a destra dell’origine (sull’asse dei seni) o verso l’alto (sull’asse dei coseni) il segno è più viceversa è meno. Per i segni delle funzioni tangente e cotangente si utilizzano le relazioni (3) e (5).
1° quadrante 0°90° 2° quadrante 90°180° 3° quadrante 180°270° 4° quadrante 270°360° sin cos tg cotg + + + + + -+ + -+ -fig. 5
VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ALCUNI ARCHI NOTEVOLI
0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° sin 0 ½ 22 2 3 1 0 -1 0 cos 1 32 2 2 ½ 0 -1 0 1 tg 0 33 1 3 imp. 0 imp. 0
cotg imp. 3 1 33 0 imp. 0 imp.
FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE
Nelle funzioni inverse le variabili cambiano di significato cioè la x diventa variabile dipendente e la y variabile indipendente. Se ad esempio la funzione diretta o semplicemente funzione è la seguente:
y = x2 la funzione inversa è: __
x = y .
Le funzioni inverse goniometriche associano un angolo (arco) ad un numero. Per questo sono dette funzioni arco. Le funzioni goniometriche inverse che assumono importanza per la topografia sono:
arcocoseno (arccos) che è la funzione inversa del coseno; arcotangente (arctg) che è la funzione inversa della tangente.
Arcoseno
L’arcoseno di un numero è l’angolo il cui seno è uguale al numero di partenza. La funzione arcoseno si scrive nel seguente modo:
= arcsin y dove: = angolo (arco)
arcsin = funzione inversa y = numero adimensionato.
Poichè come già detto (vedi pag. 11) il seno può assumere solo valori compresi fra -1 e 1 la variabile indipendente y potrà avere solo valori compresi in questo intervallo (estremi inclusi).
Esercizio risolto
Calcolare l’arcoseno di 0,38.
Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per i sessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:
2NDF sin 0 , 3 8 = 22°,33368 2NDF DMS 22°20'01",25
Arcocoseno
L’arcocoseno di un numero è l’angolo il cui coseno è uguale al numero di partenza. La funzione arcocoseno si scrive nel seguente modo:
= arccos y dove: = angolo (arco)
arccos = funzione inversa y = numero adimensionato.
Poichè come già detto (vedi pag. 11) il coseno può assumere solo valori compresi fra -1 e 1 la variabile indipendente y potrà avere solo valori compresi in questo intervallo (estremi inclusi).
Esercizio risolto
Calcolare l’arcocoseno di 0,38.
Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per i sessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:
Arcotangente
L’arcotangente di un numero è l’angolo la cui tangente è uguale al numero di partenza. La funzione arcotangente si scrive nel seguente modo:
= arctg y dove: = angolo (arco)
arctg = funzione inversa y = numero adimensionato.
Poichè come già detto (vedi pag. 10) la tangente può assumere solo valori compresi fra - e + la variabile indipendente y potrà avere tutti i valori compresi in questo intervallo.
Esercizio risolto
Calcolare l’arcotangente di 43.
Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per i sessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:
2NDF tg 4 3 = 88°,66778 2NDF DMS 88°40'04",01
Esercizio proposto
Calcolare l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente dei seguenti numeri: 0,23499; 0,56232; 2,87940.
TRIGONOMETRIA
La trigonometria (dal greco misura dei triangoli) studia le relazioni tra i lati e gli angoli dei triangoli. Essa utilizza le funzioni goniometriche per la risoluzione dei triangoli.
Risolvere un triangolo vuol dire determinare tutti i suoi elementi (tre lati, tre angoli e la superficie).
Una cosa nota a priori per qualsiasi triangolo è che la somma dei suoi angoli interni corrisponde all’angolo piatto. Questa affermazione può essere dimostrata nel modo seguente:
fig. 6
si traccia AD prolungamento di AB, si traccia AE parallela a BC quindi si nota che:
CAE = (angoli alterni interni) e
EAD = (angoli corrispondenti) Perciò: + + = 180°.
TRIANGOLI RETTANGOLI
Sono quei triangoli che hanno sempre un angolo retto (90°). In esso i lati che definiscono l’angolo retto sono detti cateti mentre il lato opposto all’angolo retto è detto ipotenusa.
Per risolvere questo tipo di triangoli si possono utilizzare alcuni teoremi già noti quali ad esempio Pitagora ed Euclide oppure i seguenti teoremi trigonometrici.
PRIMO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’ipotenusa e il seno dell’angolo ad esso opposto.
In base all’enunciato si possono scrivere le seguenti formule:
c = a sin
b = a sin (7)
fig. 7
le (7) possono anche essere scritte nel modo seguente:
AB = BC sin AC = BC sin
SECONDO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’ipotenusa e il coseno dell’angolo ad esso adiacente.
In base all’enunciato si possono scrivere le seguenti formule:
b = a cos
c = a cos (8)
fig. 8
le (8) possono anche essere scritte nel modo seguente:
AC = BC cos AB = BC cos
TERZO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’altro cateto e la tangente dell’angolo ad esso opposto.
In base all’enunciato si possono scrivere le seguenti formule:
c = b tg
b = c tg (9)
fig. 9
le (9) possono anche essere scritte nel modo seguente:
AB = AC tg AC = AB tg
QUARTO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’altro cateto e la cotangente dell’angolo ad esso adiacente.
In base all’enunciato, con riferimento alla fig. 11, si possono scrivere le seguenti formule:
b = c cotg c = b cotg
le precedenti possono anche essere scritte nel modo seguente: AC = AB cotg AB = AC cotg
Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elmenti: c = 31,08 m; a = 51,98 m. Risolvere il triangolo.
Nella risoluzione di questi problemi è sempre opportuno disegnare il triangolo, in scala per verificare i risultati, mettendo i vertici in senso orario qualora non venga specificato, esplicitamente o implicitamente, il contrario.
2 2 c
a
b
in questo caso che fra i dati non vi sono angoli si è liberi di scegliere per essi l’unità di misura che si desidera.
Scegliamo i centesimali perciò impostiamo la calcolatrice in GRAD.
Essendo: c = a sin
si ricava: = arcsin (c /a) = 40,8014 gon = 100g- = 59,1986 gon S = ½ b c = 647,40 m2.
Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elmenti: b = 27,45 m; CBA = = 32,865 gon. Risolvere il triangolo.
La calcolatrice va impostata in GRAD = 100g- = 67,135 gon essendo: b = a sin si ricava: a = b / sin = 55,61 m c = b tg = 48,36 m S = ½ b c = 663, 74 m2 Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 35,61 m; b = 25,88 m. Risolvere il triangolo.
(R. a = 44,02 m; = 59,9909 gon; = 40,0091 gon; S = 460,79 m2.)
Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: a = 68,51 m; CBA = = 12,5133 gon. Risolvere il triangolo.
(R. b = 13,38 m; c = 67,19 m; = 87,4867 gon; S = 449,50 m2.)
FORMULE PER IL CALCOLO DELL’AREA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO
Per calcolare l’area di un triangolo rettangolo possono essere utilizzate formule diverse a seconda degli elementi noti.
In particolare se sono noti i cateti la formula da utilizzare è:
S = ½ b c. (10)
Quando invece è noto un cateto e un angolo si utilizza la seguente formula:
S = ½ b2 tg
opuure:
S = ½ c2tg.
Le precedenti si ottengono dalla (10) dove, utilizzando il terzo teorema sui triangoli rettangoli, alla c prima e alla b poi si sostituiscono le seguenti espressioni:
c = b tg e b = c tg. Quando è nota l’ipotenusa e un angolo si può utilizzare la seguente espressione:
A questa formula si giunge ragionando sulla figura 13 che si ottiene ribaltando intorno al lato AC il triangolo della figura 12.
fig. 10
SABC = ½ SBCB’ = ½ ( ½ B’CBH) ed essendo:
B’C = a e BH = a sin(2) dal triangolo rettangolo BCH si ha:
SABC = 1/4 a2 sin(2).
Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: CBA = = 75,2018gon, S = 864,30m2. Risolvere il triangolo.
La calcolatrice va impostata in GRAD. Essendo: S = ½ c2tg si ricava: tg S c 2 = 26,64 m quindi: b = c tg = 64,89 m 2 2 c b a = 70,15 m; = 100g- = 24,7982 gon. Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: BC = a = 58,3m, S = 615,00 m2. Risolvere il triangolo.
La calcolatrice va impostata in GRAD. Essendo: S = 1/4 a2 sin(2) si ricava: = ½ arcsin (4 S : a2) = 25,7019gon quindi: = 100g- = 74,2981gon c = a sin = 22,58m b = a cos = 53,66m.
Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: S = 6482,00m2; = 53° 31’ 42”. Risolvere il triangolo.
(R. a = 164,68m; b = 97,89m; c = 132,43m; = 36° 28’ 18”.)
Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: a = 254,36m; S = 10000m2. Risolvere il triangolo.
(R. = 19° 05’ 39”; = 70° 54’ 21”; b 240,37m; c = 83,21m.)
CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Come sin qui visto per risolvere un triangolo rettangolo è necessario conoscere almeno due elementi dei quali almeno uno deve essere lineare (lati, perimetro, superficie, ...).
RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALSIASI
Sono qualsiasi quei triangoli per i quali l’unica cosa nota a priori è la somma degli angoli interni (180° o 200 gon o rad). Per la risoluzione di questi triangoli, a seconda dei dati e dopo averli scomposti in due triangoli rettangoli, si possono utilizzare i teoremi sui triangoli rettangoli. Ma la risoluzione risulta molto più spedita se vengono applicati i teoremi per essi specifici. Esistono diversi teoremi per la risoluzione dei triangoli rettangoli, fra questi assumono particolare importanza:
1. il teorema dei seni; 2. il teorema di Carnot.
TEOREMA DEI SENI
Enunciato: in un triangolo qualsiasi il rapporto fra il lato e il seno dell’angolo opposto è costante ed è uguale al doppio del raggio del cerchio circoscritto (il cerchio circoscritto passa per i tre vertici del triangolo. Il suo centro è detto circocentro e si ottiene come intersezione degli assi dei tre lati. Ciascun asse di ciascun lato passa per il punto medio del lato ed è perpendicolare al lato).
fig.11
HO, MO ed NO sono gli assi rispettivamente dei lati AB, BC ed AC.
In base all’enunciato possiamo scrivere la seguente formula:
a : sin = b : sin = c : sin = 2 R (11)
Dalla (11) si possono scrivere le seguenti sei relazioni:
a : sin = b : sin; a : sin = c : sin; b : sin = c : sin; a : sin = 2 R; b : sin = 2 R; c : sin = 2 R. Esercizio risolto
Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
a = 28,23m; = 53,1200 gon; = 71,1600gon. Risolvere il triangolo. B
= 200g - ( +) = 75,7200gon
c a b : sin = a : sin b = a sin : sin = 34,26m h
A C c : sin = a : sin c = a sin : sin = 35,36m b
S = ½ b h essendo: h = a sin sostituendo nella precedente si ha:
S = ½ a b sin = 448,83m2.
La formula utilizzata per il calcolo della superficie è detta di camminamento. Si può esprimere
nel modo seguente:
l’area di un triangolo qualsiasi è data dal semi prodotto fra due lati e il seno dell’angolo compreso. Perciò:
S = ½ a b sin S = ½ a c sin S = ½ b c sin Esercizio risolto
Del triangolo ABC sono noti: = 71,43gon; = 49,58gon. Ed il raggio del cerchio ad esso circoscritto: R = 33,12m. Risolvere il triangolo. = 200g- ( +) = 78,99gon a : sin = 2 R a = 2 R sin = 59,68m b : sin = 2 R b = 2 R sin = 46,53m c : sin = 2 R c = 2 R sin = 62,67m S = ½ a c sin = 1313,59 m2.
Esercizio proposto
Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
b = 403,82m; = 53° 27’ 24”; = 58° 19’ 42”. Risolvere il triangolo.
(R. = 68° 12’ 54”; c = 370,11m; a = 349,38m; S = 60037,09m2.)
Esercizio proposto
Del triangolo ABC sono noti il il raggio del cerchio circoscritto R = 191,24m e gli angoli = 65,0500gon; = 56,8889gon. Risolvere il triangolo.
(R. = 78,0611gon; a = 326,27m; b = 359,99m; c = 298,08m; S = 45769,00m2.)
TEOREMA DI CARNOT
Se gli elementi noti sono due lati e l’angolo compreso, oppure i tre lati il problema non può essere risolto con il teorema dei seni.
In questo caso entra in gioco il Teorema di Carnot il cui enunciato si esprime nel seguente modo:
In un triangolo qualunque il quadrato di un lato è uguale alla somma del quadrato degli altri due diminuiti del doppio prodotto fra questi ultimi e il coseno dell’angolo che essi comprendono. B c a A b C fig. 12 (15) a2 b2 c2 2bccos a b2c22bccos a c 2ac cos b2 2 2 b a2c22accos a b 2ab cos c2 2 2 c a2b2 2abcos
Per trovare gli angoli quando sono noti i tre lati si applicano le seguenti formule che si ottengono invertendo le (15) bc 2 a c b cos ar 2 2 2 ac 2 b c a cos ar 2 2 2 ab 2 c b a cos ar 2 2 2 Esercizio risolto
B c a A b C cos 2 2 2 2b c bc a 2 2 2 cos 2bc b c a bc a c b ar 2 cos 2 2 2 45 1124 40 , 52 40 , 65 2 65 , 42 40 , 52 40 , 65 cos ar g , 2 2 2
cos 2 2 2 2a c ac b 2 2 2 cos 2ac a c b ac b c a ar 2 cos 2 2 2 95 9006 40 , 52 65 , 42 2 40 , 65 40 , 52 65 , 42 cos , 2 2 2 g ar
cos 2 2 2 2a b ab c 2 2 2 cos 2ab a b c ab c b a ar 2 cos 2 2 2 58 9871 40 , 65 65 , 42 2 40 , 52 40 , 65 65 , 42 cos , 2 2 2 g ar 2 11 , 1115 1123 , 45 40 , 52 40 , 65 2 1 2 1b c sen sen m S g Esercizio risoltoRisolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi: BC = a = 24,05m; CA = b = 22,82m; ACB = = 41,7705gon. B c a A b C cos 2 2 2 a b ab c 24,05222,8222(24,0522,82)cos41g,7705 15,15m
cos 2 2 2 2b c bc a 2 2 2 cos 2bc b c a bc a c b ar 2 cos 2 2 2 84 0079 15 , 15 82 , 22 2 05 , 24 15 , 15 82 , 22 cos , 2 2 2 g ar
cos 2 2 2 2a c ac b 2 2 2 cos 2ac a c b ac b c a ar 2 cos 2 2 2 74 2160 15 , 15 05 , 24 2 82 , 22 15 , 15 05 , 24 cos , 2 2 2 g ar Per la calcolatrice usa 2ndF cos ((...) : (...)) = Ricordati di impostarla in Grad 2 44 , 167 0079 , 84 15 , 15 82 , 22 2 1 2 1b c sen sen m S g
Formule per il calcolo dell’area di un tiangolo qualsiasi
B c a h H A b C fig. 13 S = ½ bh b c sin 2 1 S a c sin 2 1 S a b sin 2 1 S Formula di CAMMINAMENTO per un Triangolo g cot g cot c 2 1 S g cot g cot b 2 1 S g cot g cot a 2 1 S 2 2 2
Formula delle COTANGENTI
Si usa quando sono noti: un Lato + i due Angoli
adiacenti Anche L'area + 2 Angoli ) c P )( b P )( a P ( P
S Formula di ERONE dove: 2
c b a
Esercizio risolto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi: CBA = = 60,128gon; ACB = = 88,031gon; S = 10,8830m2.
B c a A b C 8410 , 51 ) ( 200g g g g a S cot cot 2 1 2 ) cot (cot 2 S g g a = 21088,30(cotg60g128cotg88g,031)= 44,60 m 69 , 49 128 , 60 sin 8410 , 51 sin 60 , 44 sin sin g g a b m 24 , 60 031 , 88 sin 8410 , 51 sin 60 , 44 sin sin g g a c m Esercizio proposto:
Risolvere il triangolo ABC che ha l’angolo BAC = ottuso (si dice ottuso un angolo maggiore di 90°) e del quale sono noti i seguenti elementi AB = c = 86,55m; CA = b = 62,40m; S = 1815,00m²
(R. a = 139,22m; = 137°46’05”; = 17°32’01”; = 24°41’54”)
CONSIDERAZIONE SUI TRIANGOLI QUALSIASI
Per risolvere un triangolo qualsiasi è necessario conoscere tre elementi dei quali almeno uno deve essere lineare (altezza, superficie, lato ecc. ecc.).
Con i teoremi sviluppati si sono ricavate delle formule che consentono di calcolare lati o angoli. Bisogna però prestare molta attenzione quando si fa l’arcoseno per ricavare gli angoli (perché la calcolatrice ci da sempre un angolo del 1° quadrate e questo, a volte non è sufficiente) e precedere il calcolo dalla risoluzione grafica del problema (fare la figura in scala partendo dai dati).
CERCHI NOTEVOLI DEI TRIANGOLI
Un cerchio si dice notevole quando basta il nome per individuarlo in tutte le sue caratteristiche. Oltre al cerchio circoscritto del quale abbiamo già parlato nel teorema dei seni esistono altri due cerchi notevoli dei quali tratteremo: il cerchio inscritto e il cerchio ex-inscritto.
IL CERCHIO INSCRITTO
E' il cerchio interno al triangolo che contemporaneamente tange ai tre lati. Il suo centro si chiama
incentro e si ottiene come intersezione delle bisettrici degli angoli del triangolo (si ricorda che la
bisettrice è una linea interna al triangolo che partendo da un vertice divide in due parti uguali l'angolo di quel vertice).
Per determinare il raggio:
c b a S 2 r ABC fig. 14 IL CERCHIO EX-INSCRITTO
E' il cerchio "inscritto fuori", esso è contemporaneamente tangente ad un lato ed al prolungamento degli altri due. Quindi come il cerchio inscritto esso è tangente ai tre lati ma sta fuori dal triangolo.
Da quanto detto si evince che ogni triangolo ha tre cerchi ex-inscritti uno per ogni lato.
Il centro del cerchio inscritto, si chiama
ex-incentro e si ottiene come intersezione delle
bisettrici degli angoli esterni al triangolo adiacenti al lato di tangenza e della bisettrice dell'angolo interno opposto al lato detto.
Per determinare i raggi:
a c b S 2 r ABC a b c a S 2 r ABC b c b a S 2 r ABC c fig. 15
RISOLUZIONE DEI QUADRILATERI
Per risolvere un quadrilatero è necessario sapere che la somma degli angoli interni vale 360°. Inoltre è necessario conoscere almeno 5 elementi dei quali almeno 2 devono essere lineari.
Per la risoluzione dei quadrilateri ci si serve dei triangoli utilizzando uno dei seguenti metodi: si considera il quadrilatero come somma di due triangoli qualsiasi;
si considera il quadrilatero come differenza di due triangoli qualsiasi;
si considera il quadrilatero come somma di tre triangoli rettangoli e di un rettangolo.
Primo metodo
Si utilizza questo metodo quando:
si conoscono due lati consecutivi e tre angoli;
si conoscono tre lati e due angoli opposti, in questo caso però si corrono i rischi visti nel teorema dei seni per la risoluzione di un triangolo del quale sono noti due lati e un angolo non compreso; si conoscono tre lati e i due angoli fra essi compresi;
si conoscono tutti i lati e un angolo. B b C a c A D fig. 16 d
Le formule da utilizzare sono quelle dei triangoli qualsiasi.
Secondo metodo
Si utilizza questo metodo quando:
non è possibile utilizzare il primo metodo; si conoscono due lati opposi e tre angoli.
B b C a ' c ' E A d D fig. 16 Per la risoluzione:
quindi dopo aver calcolato: ’ = 180° - e ’ = 180° -
si calcolano con le formule dei triangoli qualsiasi gli elementi dei due triangoli ABE ed CED; ed infine per differenza fra gli elementi dei due triangoli sopra detti si calcolano gli elementi del
quadrilatero.
Terzo metodo
Si utilizza questo metodo quando:
non è possibile utilizzare il primo e il secondo metodo;
si conoscono due lati opposi e tre angoli e quindi in alternativa al secondo metodo; si conoscono tre lati e i due angoli compresi.
B b T C a c A K H D fig. 18 d Per la risoluzione:
si tracciano le perpendicolari (BK e CH) ad uno dei lati incogniti (in questo caso AD);
partendo da un vertice (in questo caso C) si traccia la perpendicolare (CT) ai segmenti tracciati prima;
si calcolano con le formule dei triangoli rettangoli gli elementi incogniti.
RISOLUZIONE DEI POLIGONI
Per risolvere un poligono di n lati è necessario conoscere almeno 2n – 3 elementi dei quali
almeno n – 2 devono essere lineari
Per la risoluzione dei poligoni ci si serve dei triangoli considerando, in genere, il poligono come somma di triangoli.
La somma degli angoli interni di un poligono si ottiene con la seguente formula:
= (n – 2) 180.
Alla quale si giunge facendo il seguente ragionamento:
l'esagono della figura è stato scomposto in 6 triangoli, sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° e togliendo l'angolo giro (360° = 2180°) si ottiene:
fig. 19
quindi sostituendo a 6 la lettera n, che indica il numero dei vertici di un generico poligono, e raccogliendo il 180° si ottiene:
= (n – 2)180.
FORMULA DI CAMMINAMENTO
Si applica per determinare l'area di un poligono (per cui anche di un triangolo e di un quadrilatero), del quale sono noti tutti i lati meno uno e tutti gli angoli meno i due adiacenti al
lato incognito D d E c e C F b B A fig. 20 a
Applichiamo la regola al poligono della figura nel quale abbiamo supposto di conoscere i lati a,
b, c, d, e e gli angoli , , ,
S = ½a b sin + b c sin + c d sin + d e sin- a c sin(+) - b d sin(+) – c e sin(+) + a d sin(++) + b e sin(++) – a e sin(+++).
La formula sopra scritta si legge nel seguente modo:
la superficie è uguale ad un mezzo della somma dei prodotti dei lati consecutivi (presi a due a due) per il seno dell'angolo fra essi compreso, diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, aumentata dalla somma dei prodotti fra i lati bi-alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati tri-alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, e così via.
Ogni tornata inizia da uno dei lati adiacenti a quello incognito e finisce quando si arriva all'altro lato adiacente al lato incognito.
La formula si blocca quando si moltiplicano insieme i due lati adiacenti al lato incognito.
Il segno davanti ad ogni termine dipende dal numero di angoli che sono all'argomento del seno ed è + se tale numero è dispari, - in caso contrario.
PROBLEMI SULLE COORDINATE CARTESIANE E POLARI PREMESSE
Per individuare la posizione di un punto nei piano, e per la successiva rappresentazione grafica, è necessario dare le sue coordinate rispetto ad un sistema di riferimento.
Le coordinate planimetriche di un punto sono sempre due numeri e possono essere essenzialmente di due tipi:
coordinate cartesiane ; coordinate polari.
COORDINATE CARTESIANE
Le coordinate cartesiane (più correttamente dette coordinate cartesiane ortogonali perché gli assi cartesiani di riferimento sono ortogonali fra loro) sono particolarmente utili nella restituzione (disegno) di un rilievo topografico.
La posizione di ogni punto P è definita dalle due coordinate xp ed yP che ad esso si
associano.
La coordinata xP è la distanza che c'è fra il punto P e l'asse delle Y (asse delle ordinate),
analogamente la yp è la distanza che c'è fra il punto P e l'asse delle X (asse delle ascisse).
Spesso lo studente non riesce ad associare in modo corretto l’asse X o Y al termine ascisse o ordinate. Si suggerisce la seguente assonanza ascisse = ascix per favorire la corretta associazione.
Le coordinate cartesiane del punto P possono essere indicate in uno dei seguenti modi: esplicito: xP = ...; yP = ...
COORDINATE POLARI
Le coordinate polari sono utili in fase di rilievo. Esse si riferiscono ad un sistema costituito da un unico asse ON detto asse polare.
Le coordinate polari di un punto P sono:
la distanza fra l’origine O del sistema (detto polo) e il punto stesso;
e l’angolo orizzontale (misurato su di un goniometro orizzontale) OP (detto azimutale) di cui si deve ruotare, in senso orario, l’asse polare per farlo sovrapporre alla congiungente l’origine con il punto in questione.
Le coordinate cartesiane del punto P possono essere indicate in uno dei seguenti modi: esplicito: OP= ...; OP = ...
implicito: P(OP; OP); P(OP; OP)
in questo caso non esiste un ordine di precedenza fra l’angolo e la distanza poiché l’angolo e la distanza sono grandezze di tipo diverso.
L’angolo azimutale diventa azimut quando l’asse polare ON viene indirizzato verso il nord oppure è parallelo all’asse Y di un sistema di riferimento cartesiano.
esplicito: (OP) = ...; OP = ... implicito: P(OP); OP; P(OP); OP
La distanza OP non varia ne come simbolo ne come valore numerico, mentre l’angolo cambia sia come simbolo, che come nome, che come valore numerico.
PASSAGGIO DA COORDINATE POLARI A CARTESIANE
Poiché il rilievo viene molto spesso effettuato con coordinate polari (utilizzando tacheometri e teodoliti che inizieremo a conoscere nel modulo 4), mentre il disegno viene molto spesso effettuato con coordinate cartesiane (perché è più preciso) è necessario effettuare il passaggio dalle une alle altre.
Allo scopo si utilizzeranno le formule (1), ricavate applicando il primo e secondo teorema sui triangoli rettangoli (vedi modulo 1) OP’P in figura
Nella figura si è fatto coincidere l’origine del sistema cartesiano con l’origine dei sistema polare e l’asse delle ordinate con l’asse polare.
xp = OP Sin(OP)
(1)
yp = OP cos(OP)
PASSAGGIO DA COORDINATE CARTESIANE A POLARI
In alcuni problemi didattici e della pratica operativa del Geometra, vengono fornite le coordinate cartesiane di punti già rappresentati su di un disegno (vertici, ad esempio, di un appezzamento di terreno), e sì richiede di calcolare le coordinate polari degli stessi rispetto ad un sistema polare con origine coincidente con quella del sistema cartesiano e asse delle ordinate coincidente con l’asse polare (allo scopo, ad esempio, dell’effettuazione di calcoli relativi all’appezzamento in questione).
Le formule necessarie per raggiungere lo scopo verranno ricavate. come segue, applicando il primo, secondo e terzo teorema sui triangoli rettangoli (vedi modulo 1) al triangolo rettangolo OP’P in figura.
Per calcolare la distanza OP possiamo utilizzare la seguente formula (2) ottenuta applicando il teorema di Pitagora al triangolo prima detto:
2 P 2 P y x OP (2)
oppure una delle seguenti (3) ricavate applicando il primo e secondo teorema sui triangoli rettangoli
OP = xp / sin(OP)
(3)
Per calcolare l’azimut (OP) applichiamo il terzo teorema sui triangoli rettangoli sempre al triangolo OP’P:
(OP) = arctg(xp / yP) + k (4)
Il k che compare nella (4) è un termine correttivo che consente di eliminare l’errore che commetterebbe la calcolatrice.
Infatti facendo l’arcotangente di un numero positivo la calcolatrice ci da sempre un angolo dei primo quadrante (mentre però potrebbe essere anche del terzo) analogamente tacendo l’arcotangente di un numero negativo la calcolatrice ci da sempre un angolo del primo quadrante col segno meno (mentre però potrebbe essere un angolo del secondo o del quarto quadrante).
Stabiliremo il valore da assegnare al k in base al segno di xP e di ypcome riassunto nella
tabella che segue:
Valore da attribuire al k Segni del
Rapporto x/y
Quadrante di
Appartenenza dell’angolo sessagesimali centesimali 1°
caso + / + L’azimut è del primoquadrante 0° 0g 2°
caso + / - L’azimut è del secondoquadrante 180° 200g 3°
caso - / - L’azimut è del terzoquadrante 180° 200g 4°
caso - / + L’azimut è del quartoquadrante 360° 400g
COORDINATE TOTALI E PARZIALI
Se in un piano cartesiano vengono date le coordinate cartesiane di due punti A e B si dice che xA, yA, xB, yB, sono le coordinate totali (che comunque noi chiameremo
semplicemente coordinate) perché si riferiscono all’unico sistema esistente OXY.
Se introduciamo un secondo sistema cartesiano di riferimento con origine in A e con asse X’ parallelo a X e Y’ parallelo ad Y si avrà che i punti A e B in questione oltre ad avere le coordinate totali riferite al vecchio sistema (che chiameremo sistema principale) OXY avranno delle coordinate dette parziali riferite al sistema secondario AX’Y’.
Le coordinate parziali si indicano con seguenti termini:
(xB)A e (yB)A Il termine:
(xB)A si legge x di B rispetto ad A ed analogamente il termine:
Le coordinate parziali sono legate alle coordinate totali dalle seguenti relazioni ricavate ragionando sulla precedente figura:
(xB)A = xB - xA
(5)
(yB)A = yB - yA
CALCOLO DELLA DISTANZA E DELL’AZIMUT FRA DUE PUNTI DI NOTE COORDINATE CARTESIANE
Ragionando sul triangolo rettangolo ABB’ della figura a fianco ed applicando i teoremi sui triangoli rettangoli, (come abbiamo fatto nel passaggio da coordinate cartesiane a polari), per la distanza si ottiene: 2 A B 2 A B) (y ) x ( AB Che sostituendo le (5) diventa:
2 A B 2 A B x ) (y y ) x ( AB (6)
Alla (6), per il calcolo della distanza, si possono affiancare le seguenti: ) AB sin( ) x ( AB B A ) AB cos( ) y ( AB B A
nelle quali sostituendo le (5) otteniamo:
) AB sin( x x AB B A ) AB cos( y y AB B A (7)
Per calcolare l’azimut (AB) applicando il terzo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo in figura, (come abbiamo fatto nel passaggio da coordinate cartesiane a polari), otteniamo:
tg(AB) = (xB)A / (yB)A da cui: k ) y ( ) x ( arctg ) AB ( A B A B nella quale sostituendo le (5) otteniamo:
k y y x x arctg ) AB ( A B A B (8)
il valore da attribuire al k della (8) lo si deduce, in base ai segni che assumono il numeratore ed il denominatore dopo aver sostituito i numeri, dalla tabella di pag. 5.
AZIMUT E CONTROAZIMUT
Se indichiamo con (AB) l’azimut del segmento che da A va verso B, l’azimut che da B va verso A si chiamerà (BA).
I due azimut hanno le stesse lettere ma invertite cioè l’uno è il contrario dell’altro in altri termini possiamo dire che l’uno è il controazimut dell’altro.
Quindi se diciamo che (AB) è l’azimut (BA) è il suo controazimut. Viceversa se diciamo che (BA) è l’azimut (AB) è il suo controazimut.
Fra azimut e controazimut la relazione, come sì vede dalla figura, è la seguente;
(BA) = (A B) ± 180° dove:
si metterà il segno + se (AB) è minore di 180° si metterà il segno - se (AB) è maggiore di 180°.
RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO DEL QUALE SONO NOTE LE COORDINATE CARTESIANE DEI VERTICI
Se di un triangolo conosciamo le coordinate cartesiane dei vertici, possiamo effettuare la risoluzione del triangolo utilizzando:
le formule per il calcolo della distanza fra due punti di note coordinate cartesiane per trovare i lati;
il teorema di Carnot per trovare gli angoli;
la formula di camminamento per trovare la superficie.
La procedura da seguire per la figura a fianco é la seguente:
l) si calcolano i lati con le seguenti formule:
2 B C 2 B C 2 A C 2 A C 2 A B 2 A B ) y y ( ) x x ( BC ) y y ( ) x x ( AC ) y y ( ) x x ( AB
2) si calcolano gli angoli con le seguenti formule: BC AC 2 AB BC AC arccos BC AB 2 AC BC AB arccos AC AB 2 BC AC AB arccos 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3) si calcala la superficie con una delle seguenti formule: S = ½ ACBCsin S = ½ ABBCsin S = ½ ABACsin
RISOLUZIONE DI UN POLIGONO DEL QUALE SONO NOTE LE COORDINATE CARTESIANE DEI VERTICI
Se di un poligono conosciamo le coordinate cartesiane dei vertici, possiamo effettuare la risoluzione del triangolo utilizzando:
le formule per il calcolo della distanza fra due punti di note coordinat e cartesiane per trovare i lati;
la differenza degli azimut per trovare gli angoli (dopo aver trovato gli azimut con le formule per il loro calcolo):
la formula di camminamento per trovare la superficie di un poligono con più di quattro lati, oppure somma di aree di due triangoli se il poligono è un quadrilatero oppure le formule di Gauss che dimostreremo nel modulo 9.
La procedura da seguire per la figura a fianco è la seguente:
1) si calcolano i lati con le seguenti formule:
2 A D 2 A D 2 C D 2 C D 2 B C 2 B C 2 A B 2 A B ) y y ( ) x x ( AD ) y y ( ) x x ( CD ) y y ( ) x x ( BC ) y y ( ) x x ( AB
2) si calcolano gli angoli con le seguenti formule
k y y x x arctg ) AD ( k y y x x arctg ) AB ( A D A D A B A B = (AD) – (AB); 180 ) AB ( ) BA ( k y y x x arctg ) BC ( B C B C = (BA) – (BC);
180 ) BC ( ) CB ( k y y x x arctg ) CD ( C D C D = (CB) – (CD); = 360°- ( + + ) 3) si calcola la superficie con una delle seguenti formule:
la formula di camminamento per trovare la superficie di un poligono con più di quattro lati;
lati somma di aree di due triangoli se il poligono è un quadrilatero; le seguenti formule di Gauss che dimostreremo nel modulo 9.
n 1 i xi(yi 1 yi 1) 2 1 S ;
n 1 i yi(xi 1 xi 1) 2 1S (per i vertici che ruotano in senso orario)
n 1 i i i 1 i 1 ) y y ( x 2 1 S ;
n 1 i i i 1 i 1 ) x x ( y 2 1S (per i vertici che ruotano in senso antiorario) dove per i = 1 si pone 1 - 1 = n, essendo n il vertice antecedente ad i e per i = n si pone n
+ 1 = l, essendo 1 il vertice successivo a n.
REGOLA DEL TRASPORTO DEGLI AZIMUT
Alcune volte sono note le coordinate dei vertici dl un po1igono e si richiede la sua risoluzione (come nel due paragrafi precedenti), altre volte, invece, sono noti tutti gli elementi di un poligono, le coordinate di un suo vertice ed un azimut e si richiede il calcolo delle coordinate di tutti gli altri vertici (questo è particolarmente utile nella realizzazione di un disegno nel modo più preciso possibile)
Analogamente:
xC = xB + BC sin(BC) yC = yB + BC cos(BC)
Se nella figura a fianco supponiamo di conoscere tutti i lati (meno eventualmente AF tutti gli angoli (meno eventualmente , le coordinate di A e l’azimut (AB) e possibile calcolare le coordinate di tutti gli altri vertici utilizzando invertite le (7) di pagina 8.
Ad esempio per il punto B avremo:
xB = xA + AB sin(AB) yB = yA + AB cos(AB)
prima però, come si vede dalle formule bisogna calcolare l’azimut (BC). Allo scopo possiamo applicare la regola del trasporto degli azimut che si enuncia come segue:
l’azimut di un lato è uguale all’azimut del lato precedente più o meno (±) l’angolo al vertice formato tra i due lati, più a meno (±) l’angolo piatto (180°).
Con riferimento alla figura la regola si può scrivere nel seguente modo:
(BC) = (AB) 180°
Per stabilire i segni nel primo trasporto si ragiona sulla figura: si trasporta (AB) sul vertice B;
si tiene conto che l’azimut (BC) parte dalla direzione verticale passante per B e raggiunge la direzione BC;
che ruotando in senso orario si effettua somma mentre ruotando in senso antiorario si effettua sottrazione;
ed infine che l’azimut non può essere ne negativo ne maggiore dell’angolo giro (360°). Nel caso della figura si avrà quindi che:
con + (AB) si e superata la direzione BC quindi si deve tornare indietro (ruotare in senso antiorario);
si torna indietro quindi si sottrae 180°, ma si è tornato troppo indietro perciò bisogna ritornare avanti (ruotare io senso orario);
si somma quindi . L’azimut (BC) sarà perciò:
(BC) = (AB) + - 180°.
Per i trasporti successivi il segno davanti all’angolo del poligono non varia (se gli angoli sono dalla stessa parte rispetto ad un osservatore che percorre il contorno del poligono, in caso contrario si ripete il ragionamento fatto sulla figura per il primo trasporto) mentre per il segno davanti al 180° si avrà che:
esso sarà positivo se la somma dei primi due termini e minore di 180°;
viceversa sarà negativo se la somma dei primi due termini é maggiore di 180°.
Infine se sottraendo i 180° (detti sopra) l’azimut rimane maggiore di 360° ad esso bisognerà sottrarre ancora 360°.
ESERCIZI
1) Rappresentare in scala opportuna la spezzata (poligonale aperta) della quale sono noti i seguenti elementi:
AB = 26,28m; BC = 29,44m; CD = 25,12m; DE = 16,95m; EF = 23,12m; ABC = = 130°; DCB = = 100°; CDE = = 130°; FED = = 150°.
2) Trasformare, con e senza calcolatrice scientifica, in sessadecimale i seguenti angoli: = 13°15’52” = 172°09’33”; = 93°59’01”
(R. = 13°,2644; = 172°,1592; = 93°,9836) 3) Trasformare, con e senza calcolatrice scientifica, da sessadecimale a sessagesimale i seguenti angoli:
= 29°,5234; = 115°,2619.
(R. = 29°31’24”; = 115°15’43”) 4) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da sessagesimale a centesimale i seguenti angoli:
= 9°13’22”; = 115°55’32”; = 79°42’38”.
(R. = 10g,2475; = 128g,8062; = 88g,5673) 5) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da sessagesimale a centesimale i seguenti angoli:
= 112°56’41”; = 32°11’09”; = 14°55’51”.
(R. = 125g,4941; = 35g,7620; = 16g,5898) 6) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da centesimale a sessagesimale i seguenti angoli:
= 22,5681gon; = 34,2290gon; = 43,6331gon.
(R. = 20°18’41”; = 30°48’22”; = 39°16’11”) 7) Dati: = 32°,5451; = 29,2298gon; = 43°53’31”; = 0,1264rad. Effettuare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, le seguenti operazioni e dare il risultato in sessagesimali:
; 2 . (R. = 44°37’28”; = 55°53’19”) 8) Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno, il coseno, la tangente e la cotangente del seguenti angoli: = 40°; = 140°; = 250°.
Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 per la risoluzione con calcolatrice scientifica.
9) Sapendo che: sin = 1/3, senza utilizzare la calcolatrice scientifica, determinare cos, e tg, cotg. (R. ;cotg 2 2 4 2 tg ; 3 2 2 cos )
10) Sapendo che: cotg = ½ e che al terzo quadrante, senza utilizzare la calcolatrice scientifica, determinare sin, cos, e tg.
(R. ;tg 2 5 5 cos ; 5 5 2 sin ) 11) Sapendo che: sin tg = 3 e che al primo quadrante, determinare sin, cos, tg e cotg.
(R. sin = 0,95307; cos = 0,30278; tg = 3,14773 e cotg = 0,31769) 12) Calcolare l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente dei seguenti numeri: 0,44499; 0,58832; 1,87940.
13) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: b = 37,35m; CBA = = 42,845gon. Risolvere il triangolo.
(R. = 57g,155; c = 46,85m; a = 59,92m; S = 874,92m2) 14) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 25,61m; b = 37,88m. Risolvere il triangolo.
(R. a = 45,72m; = 34°03’43”; = 55°56’17”; S = 485,05m2) 15) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
a = 118,22m; CBA = = 32,5143gon. Risolvere il triangolo.
(R. b = 57,79m; c = 103,13m; = 67,4857gon; S = 2979,94m2) 16) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
ABC = = 65,2018gon, S = 564,58m2. Risolvere il triangolo.
(R. a = 50,43m; b = 43,08m; c = 26,21m; = 34,7982gon;) 17) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
BC = a = 58,35m, S = 515,00 m2. Risolvere il triangolo.
(R. b = 55,30m; c = 18,63m; = 79,3156gon; = 20,6844gon;) 18) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: S = 5482,39m2; = 57°32’41”. Risolvere il triangolo.
(R. a = 155,61m; b = 83,50m; c= 131,30m; = 32°27’19”) 19) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: AD = altezza relativa all’ipotenusa = 84,63 m; S = 7645,56 m2. Risolvere il triangolo.
(R. a = 180,68m; b = 148,44m; c = 103,02m; = 55°14’21”; = 34°45’39”) 20) Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
a = 38,23 m; = 63,1205gon; = 71,1666gon. Risolvere il triangolo.
(R. = 65,7129gon; b = 41,08m; c = 39,22m S = 674,08m2) 21) Del triangolo ABC sono noti: = 69,43gon; = 52,58gon ed il raggio del cerchio ad esso circoscritto R = 43,14m. Risolvere il triangolo.
22) Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
b = 383,82m; = 55°37’24”; = 63°19’42”. Risolvere il triangolo.
(R. = 61°02’54”; a = 362,03m; c = 391,96m; S = 62084,35m2) 23) Del triangolo ABC sono noti il il raggio del cerchio circoscritto R = 201,24m e gli angoli = 65,0500gon; = 56,8889gon. Risolvere il triangolo.
(R. = 78,0611gon; a = 343,34m; b = 378,82m; c = 313,67m; S = 50681,94m2) 24) Risolvere il triangolo acutangolo, ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
b = 79,22m; c = 108,84 m; = 84,6855gon.
(R. a = 95,86m; = 65,3332gon; = 49,9813gon; S = 3687,68m2) 25) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
AB = c = 55,45 m; BC = a = 39,65 m; CA = b = 63,43 m .
(R. = 42,4748gon; = 90,9431gon; = 66,5821gon; S = 1088,19m2) 26) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
BC = a = 28,15m; CA = b = 42,82m; ACB = = 44,7705gon.
(R. c = 28,06m = 44,9587gon; = 110,2708gon; S = 389,76m2) 27) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
CBA = = 60°,128; ACB = = 88°,031; S = 108,83m2.
(R. = 31°,841; a = 11,51m; b = 18,92m; c = 21,82m) 28) Risolvere il triangolo ABC che ha l’angolo BAC = ottuso e del quale sono noti i seguenti elementi:
AB = c = 86,55m; CA = b = 62,40m; S = 1815,00m²
(R. a = 139,22m; = 137°46’05”; = 17°32’01”; = 24°41’54”) 29) Del triangolo ABC sono noti: AB = c = 65,45 m; BC = a = 49,65 m; CA = b = 55,43 m . Risolvere il triangolo, fare la figura in scala 1:800, quindi trovare i raggi dei cerchi inscritto ed ex-inscritti e rappresentare tali cerchi in figura.
(R. = ...gon; = ...gon; = ...gon; S = ...m2; r = ...m; Ra = ...m; Rb = ...m; Rc = ...m) 30) Del triangolo ABC sono noti: a = 123,12m; b = 109,45m; = 57°13’52”. Risolvere il triangolo. Quindi tracciati gli ex-incentri relativi ad ogni lato collegarli tra loro e risolvere il triangolo che ne viene fuori.
(R. c = 112,03m; = 67°32’00”; = 55°14’08”; S = 5665,50m2; OaOb = 233,92m; OaOc = 181,95m; ObOc = 221,52m; A = 56°14’00”; B = 62°22’56”; C = 61°23’04”; S1 = 17690,96m2) 31) Dal vertice A del triangolo ABC si sono collimati i vertici B e C, utilizzando un distanziometro elettronico e si sono ottenuti i seguenti elementi:
punto di
stazione punticollimati letture al cerchioorizzontale distanzetopografiche
B 23°14’21” 439,88m
