PNI 2001 - PROBLEMA 1
Sia AB un segmento di lunghezza 2a e C il suo punto medio. Fissato un conveniente sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x, y):
(a)
Si verifichi che il luogo dei punti P tali che
(k costante
positiva assegnata) è una circonferenza (circonferenza di Apollonio) e si trovi il valore di k per cui la soluzione degenera in una retta.
Posto a=1, abbiamo A=(0; 0), B=(2;0), P=(x; y)
Da
, con k>0, otteniamo 𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵 , da cui l’equazione del luogo:
( − 1)(𝑥 + 𝑦 ) − 4 𝑥 + 4 0
Che è una circonferenza che degenera in una retta (x=1, l’asse di AB) quando k=1.
(b)
Si determini il luogo geometrico dei punti X che vedono AC sotto un angolo di 45°.
Facendo riferimento a quanto posto nel punto (a), abbiamo: C=(1;0). I punti D=(0; 1) e D’=(0; -1) vedono AC sotto un angolo di 45°. Il luogo richiesto è formato dai due archi di circonferenza ADC e AD’C.
La circonferenza per A,C e D (di centro M=(1/2;-1/2) e passante per O) ha equazione:
𝑥 + 𝑦 − 𝑥 − 𝑦 0
La circonferenza per A,C e D’ (di centro M=(1/2;1/2) e passante per O) ha equazione:
𝑥 + 𝑦 − 𝑥 + 𝑦 0
Il luogo richiesto (formato dai due archi di circonferenza ADC e AD’C) ha quindi equazione:
𝑥 + 𝑦 − 𝑥 − |𝑦| 0
(c)
Posto X, appartenente a , in uno dei due semipiani di origine la retta per A e per B e indicato con l’angolo 𝐴̂ si illustri
l’andamento della funzione y = f(x) con (𝑥) (
) e x = tg.
X si ottiene intersecando la retta di equazione y=mx con la circonferenza di equazione 𝑥 + 𝑦 − 𝑥 − 𝑦 0
( con 0 −1 0 1 ). Risolvendo il sistema:
{𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥− 𝑥 − 𝑦 0 si ottiene (
( ) )
Ponendo 𝑥 e calcolando 𝐵 e 𝐴 ( dove B=(2;0)), si ottiene la funzione; 𝑦 (𝑥) 𝑥 − 2𝑥 + 1 (𝑥 + 1) , 𝑐 𝑥 0 𝑣 𝑙 𝑥 −1 Studiamo la funzione: 𝑦 (𝑥) 𝑥 − 2𝑥 + 1 (𝑥 + 1) Dominio: − 𝑥 −1 0 𝑥 +
Intersezioni con gli assi cartesiani: x=0, y=1
y=0, 𝑥 − 2𝑥 + 1 0: non esiste x.
La funzione non né pari né dispari.
Segno della funzione: y>0 per ogni x del dominio
Limiti: lim ( ) 𝑥 − 2𝑥 + 1 (𝑥 + 1) + lim 𝑥 − 2𝑥 + 1 (𝑥 + 1) (quindi x)-1 e y=5 sono asintoti)
Derivata prima: (𝑥) ( )
( ) 0 𝑝 𝑟 𝑥 ( ) f’(x)>0 per x>1/3 (crescente); minimo relativo in (1/3;1/2). f’(0)= -4 Derivata seconda: (𝑥) ( ) ( ) 0 𝑝 𝑟 𝑥 1: 𝑐 𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑣 𝑟 𝑙𝑎𝑙 Flesso in (1; 1). Grafico:
(𝑥) 𝑥 − 2𝑥 + 1
