Problema di Apollonio: soluzione algebrica 1

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PROGETTO ALICE Anno 2009 –II Vol. 10 D. Zamburlini

Figura da rimuovere

Problema di Apollonio: soluzione algebrica

Daniele Zamburlini Riassunto Trovare i circoli tangenti a tre circoli dati: questa in sintesi la versione più complessa del celebre problema di Apollonio. La questione viene affrontata utilizzando un sistema di equazioni in un opportuno riferi- mento cartesiano, quindi i coefficienti delle equazioni di 2^ grado che risol- vono il sistema vengono espressi in funzione dei parametri geometrici (rag- gi dei circoli assegnati e distanze tra i loro centri) in modo che il raggio dei circoli da determinare dipenda solo da essi. Un breve confronto tra i risultati ottenibili in questo modo e i valori approssimati forniti da un precedente la- voro completa l’articolo.

Abstract Given three circles in general, find all circles tangent to the given three circles: this problem is well known as Apollonius’ Tangency Problem. In this paper the four quadratic equations whose roots are the radii of the required circles are found by direct algebraic methods, so each radius can be expressed in terms of the radii of the three given circles and the dis- tances separating their centres.

Daniele Zamburlini

Liceo Classico con sez. scientifica “XXV Aprile” Portogruaro (VE)

dzamburlini@liceoxxv.it

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PROGETTO ALICE Anno 2009 –II Vol. 10 D. Zamburlini

Introduzione

“Dati tre elementi, ciascuno dei quali può essere un punto, una retta o un circolo, tracciare un circolo che tocchi ciascuno degli elementi” questo è, in sostanza, l’enunciato del celebre problema di Apollonio, come viene riferito da Pappo Alessandrino, il quale però non dà indicazioni su come risolverlo;

purtroppo i libri sulle Tangenze, nei quali Apollonio trattava la questione sono andati perduti. Il problema, nella versione più complessa, ossia quella di trovare un circolo tangente ad altri tre, ha incuriosito ed impegnato mate- matici di tutti i tempi. A partire dal XVI sec. è stato nuovamente risolto da Viète, Newton, Gauss, Gergonne, etc; oltre alla geometria sintetica si è ri- corsi a quella analitica, alle proiettività, all’inversione rispetto ad un circolo, etc.; esso è riconducibile a quattro equazioni di 2^ grado e pertanto esistono, al massimo, otto circoli che soddisfano l’enunciato, la costruzione dei quali si può eseguire con riga e compasso.

Nel volume, diventato un classico, “Che cos’è la matematica?” di Cou- rant e Robbins, si legge: “Un altro problema di costruzioni che diventa semplicissimo dal punto di vista algebrico è il famoso problema di Apollo- nio…”

e per risolvere la questione si danno indicazioni accessibili a chiun- que conosca la geometria analitica dei circoli a livello di uno studente della secondaria superiore. Nel presente lavoro, partendo dai suggerimenti di que- sto testo, si introduce un riferimento cartesiano ausiliario, quindi si scrivono i sistemi di equazioni che risolvono il problema; da essi poi si ricavano le equazioni di secondo grado che forniscono i raggi dei circoli da trovare; in- fine si esprimono le soluzioni unicamente in funzione della configurazione geometrica, svincolandole dal sistema di coordinate.

Già nell’articolo “Problema di Apollonio: una soluzione numerica” del n.

16 di “Progetto Alice”, l’autore ha esposto un metodo per calcolare valori approssimati di tali raggi. Questo scritto rappresenta il naturale completa- mento di quel lavoro; ad esso rinviamo il lettore per un’introduzione gene- rale alla questione; nel seguito sarà richiamato come PA –16.

Il cammino sarà abbastanza lungo ed impegnativo; ci serviremo di identi- tà ed altri espedienti per arrivare infine ad un’equazione complessa che coinvolgerà sei parametri: i raggi dei circoli e le distanze dei loro centri. Ci auguriamo che il lettore, compiendo questo “algebrico viaggio” in nostra compagnia, si senta partecipe nel riscoprire un risultato, che, per quanto già

1 Pag. 204-207 dell’edizione 1971 - Collana Universale Scientifica – Boringhieri - Torino