La maggior parte delle situazioni semplici che cerchiamo di rappre-sentare mediante l’uso di una funzione reale di una variabile reale presentano una caratteristica comune:
piccoli cambiamenti della variabile (argomento della funzione) causano piccoli cambiamenti dei valori della funzione stessa.
Ad esempio se T(x) rappresenta la temperatura di una sbarra di metallo in un punto che dista x da una delle sue estremità, ci aspetti-amo che due punti vicini sulla sbarra abbiano temperature non molto dissimili.
Tuttavia non tutti i fenomeni sono facilmente rappresentabili medi-ante funzioni continue; se ad esempio L(t)rappresenta la luminosità di una stanza nella quale si accende una lampada all’istante t0 è
ev-idente che in quell’istante il valore della luminosità può subire una brusca variazione, (se la luminosità della lampada è alta in confronto con la luminosità ambiente).
Anche nel linguaggio comune è naturale attribuire l’aggettivo con-tinuo al primo fenomeno ma non al secondo.
In parole povere, una funzione è continua in un punto se il valore che essa assume in tale punto dipende dai valori da essa assunti nei punti vicini, o per meglio dire, se piccole variazioni dell’argomento danno luogo a piccole variazioni dei corrispondenti valori della fun-zione.
In altri termini una funzione è continua se non ammette repentini cambiamenti, salti, "discontinuità".
Vogliamo allora formalizzare cosa si intende per continuità di una funzione.
Precisamente poniamo la seguente definizione
Definizione 1.1 Sia f : D −→R, x0∈D, diciamo che f è continua in x0
∀ε>0∃δε >0 tale che se|x−x0| <δε , x∈D si ha
|f(x) − f(x0)| <ε
Diciamo che f è continua in D se è continua in ogni punto di D.
E’ immediato verificare l’analogia, ma non l’identità, con la definizione di limite, ed è immediato provare che:
Teorema 1.1 Sia f : D−→R e sia x0∈D∩ D(D); sono fatti equivalenti: 1. f è continua in x0,
2. limx→x0 f(x) = f(x0).
I teoremi sui limiti consentono di stabilire alcuni semplici risultati che ci limitiamo ad enunciare.
Teorema 1.2 Siano f, g : D −→ R continue in x0 ∈ D, siano inoltre α, β∈R; si ha
1. α f+βg è continua in x0; 2. f g è continua in x0;
3. se f(x0) 6=0, 1/ f è continua in x0.
Teorema 1.3 Sia f : D−→R, x0∈D; sono fatti equivalenti: 1. f è continua in x0;
2. ∀xn ∈D, xn →x0, si ha f(xn) −→ f(x0).
Il precedente teorema consente di caratterizzare la continuità per successioni: nel confronto con il teorema ?? mediante il quale sono caratterizzati i limiti si evidenzia il fatto che:
per caratterizzare il limite la successione xn deve essere scelta in
D\ {x0}, mentre per la continuità xnassume valori in D.
Osserviamo anche che, come nel teorema ?? , ci si può limitare a considerare soltanto successioni monotone.
Teorema 1.4 Sia f : D −→ R continua in x0 ∈ D, allora se f(x0) 6= 0
esiste δ>0 tale che se x∈D∩I(x0, δ)si ha f(x) f(x0) >0.
Teorema 1.5 Siano f : D −→ R continua in x0 ∈ D, g : A −→ D
1.1
I Teoremi sulla Continuità
Dopo questa rapida rassegna di risultati passiamo a studiare le pro-prietà più importanti ed interessanti delle funzioni continue in un in-sieme.
La maggior parte delle proprietà che studieremo riguardano le fun-zioni continue su di un intervallo chiuso e limitato. E’ facile vedere, mediante esempi, che se si considerano funzioni continue su insiemi che non soddisfano i requisiti opportuni, tali proprietà possono non essere soddisfatte.
Teorema 1.6 - degli zeri - Sia f : [a, b] −→ R una funzione continua e supponiamo che f(a)f(b) <0.
Allora esiste x0∈ (a, b)tale che f(x0) =0.
Dimostrazione.
Definiamo le successioni αne βnnella seguente maniera:
[α0, β0] = [a, b] (1.1) [αn+1, βn+1] = [αn,(αn+βn)/2] se f(αn)f((αn+βn)/2) <0 [(αn+βn)/2, βn] se f(αn)f((αn+βn)/2) >0 [(αn+βn)/2,(αn+βn)/2] se f((αn+βn)/2) =0 (1.2) Se, esiste ¯n, f((α¯n+β¯n)/2) =0 si è trovato lo zero;
in caso contrario, per αn e βnsi ha:
• αnè crescente, βnè decrescente, (1.3) • αn, βn∈ [a, b], f(αn)f(βn) <0 (1.4) • βn−αn = b −a 2n (1.5)
Pertanto si può affermare che
αn %α βn &β α, β∈ [a, b] (1.6)
e dalla 1.5 si ricava α=β=c .
Per la continuità di f e per 1.4 si ha
Si ha anche che c∈ (a, b)ed inoltre 0≤c−αn≤βn−αn ≤ b−a 2n (1.8) e 0≤βn−c≤βn−αn ≤ b−a 2n (1.9) 2 Possiamo provare il teorema degli zeri anche come segue
Teorema 1.7 - degli zeri - Sia f : [a, b] −→ R una funzione continua e supponiamo che f(a)f(b) <0.
Allora esiste x0∈ (a, b)tale che f(x0) =0.
Dimostrazione. Sia, per fissare le idee f(a) < 0 ed f(b) > 0 e definiamo
N= {x∈ [a, b]: f(x) <0}.
Si ha N6= ∅in quanto a ∈ N; inoltre N è limitato perchè N ⊂ [a, b]. Pertanto
x0=sup N ∈R
e, per la continuità di f si ha x0∈ (a, b).
Dimostriamo ora che f(x0) =0 .
Per il lemma ?? esiste xn →x0, xn∈ N, per cui f(xn) <0.
D’altro canto x0+1/n6∈N da cui f(x0+1/n) ≥0.
Passando al limite per n→ +∞ si ottiene che f(x0) ≤0 e f(x0) ≥0
da cui la tesi.
2 Il teorema 1.6 ammette come immediato corollario il seguente:
Teorema 1.8 - dei valori intermedi - Sia f : [a, b] −→ R una funzione continua e siano c, d∈R(f), c<d, allora
[c, d] ⊂R(f).
Dimostrazione. Siano α, β ∈ [a, b] tali che f(α) = c, f(β) = d e
consideriamo y∈ (c, d); la funzione g(x) = f(x) −y
è continua su[α, β], g(α) < 0, g(β) > 0 e perciò, per il teorema 1.6 ,
esiste x0∈ (α, β)tale che
g(x0) = f(x0) −y=0
Corollario 1.1 Sia f : [a, b] −→ R, se f è continua allora R(f) è un intervallo.
Ci proponiamo ora di dimostrare un teorema di esistenza del mas-simo per una funzione continua su un insieme compatto (cioè chiuso e limitato).
Teorema 1.9 - Weierstraß - Sia f : D −→ R una funzione continua, D
compatto; allora esistono α, β∈ D tali che
f(α) =min{f(x) : x∈D}
f(β) =max{f(x) : x∈D}.
Dimostrazione. Proviamo ad esempio l’esistenza del minimo della funzione f . Sia
λ=inf{f(x) : x∈D} =inf R(f);
per il lemma ?? esiste yn ∈R(f)tale che yn→λ.
Sia xn ∈ D tale che yn = f(xn); dal momento che D è compatto
esiste xnk estratta da xntale che
xnk →α∈ D.
Pertanto
ynk = f(xnk) → f(α)
per la continuità di f ed anche ynk →λda cui λ= f(α)
e la tesi. 2
E’ possibile generalizzare il teorema 1.9 senza l’ipotesi di compat-tezza dell’insieme D, ad esempio possiamo provare:
Teorema 1.10 Sia f :(a, b) −→R continua, a, b∈ R∗, e supponiamo che esista ¯x∈ (a, b)tale che
lim
x→a+ f(x), limx→b− f(x) > f(¯x)
allora esiste α∈ (a, b)tale che
f(α) =min{f(x) : x∈ (a, b)}.
Dimostrazione. Supponiamo a, b ∈ R, essendo la dimostrazione negli altri casi analoga.
Siano
si ha
µ= f(¯x) ≥λ , µ∈R
Se λ= f(¯x)avremmo che il minimo è assunto. sia δ>0 tale che
x∈ (a, a+δ) ∪ (b−δ, b) ⇒ f(x) >µ.
Sia
yn ∈R(f) , yn→λ
poiché µ > λ, definitivamente si ha yn ≤ µ e perciò esiste xn ∈ [a+ δ, b−δ]tale che f(xn) =yn.
Ne segue che esiste xnk →α∈ [a+δ, b−δ]e
ynk = f(xnk) → f(α).
2 A questo punto sarebbe ragionevole introdurre il concetto di uni-forme continuità, tuttavia poichè si tratta di un concetto fondamentale ma difficile da comprendere rimandiamo chi fosse interessato a quanto è contenuto negli approfondimenti.
In parole povere diciamo che una funzione è uniformemente con-tinua su un intervallo[a, b], se, nella definizione di continuità applicata ad un punto x∈ [a, b], il valore di δ si può trovare in funzione di e, ma non dipende anche da x.
Possiamo cioè dire che in un qualunque punto di x0∈ [a, b]il modo
con cui f(x)si avvicina ad f(x0)quando x si avvicina ad x0è in questo
senso uniforme.
Abbiamo a suo tempo dimostrato che, se una funzione è stretta-mente monotona, allora essa è invertibile; vediamo ora che se ci re-stringiamo alla classe delle funzioni continue, la stretta monotonia è anche necessaria per l’invertibilità.
Teorema 1.11 Sia f :[a, b] −→R continua, allora f è invertibile se e solo se f è strettamente monotona.
Dimostrazione. Ci limitiamo a provare la parte ’solo se’, in quanto la parte ’se’ è già stata provata nel teorema ??.
Se per assurdo f non fosse monotona, per il teorema ??
∃x, y, z∈ [a, b] : x<y<z , [f(y) − f(x)][f(z) −f(y)] ≤0 (1.10) se nella 1.10 vale l’uguaglianza, f non è invertibile; se vale la dis-eguaglianza stretta possiamo, per fissare le idee, supporre che
Allora, per il teorema dei valori intermedi, poichè f(x) < f(z) < f(y)
∃α∈ (x, y) : f(α) = f(z)
e ciò è contro l’invertibilità di f . 2
Per concludere con la continuità proviamo i seguenti risultati.
Teorema 1.12 Sia f : (a, b) −→ R, strettamente monotona, siano x0 ∈
(a, b)e y0= f(x0); allora f−1è continua in y0.
Dimostrazione. Supponiamo, per fissare le idee, che f sia stretta-mente crescente e proviamo che, per ogni ε>0 esiste δε >0 tale che
∀y : |y−y0| <δε , si ha |f−1(y) − f−1(y0)| <ε.
Sia ε0>0 tale che(x0−ε0, x0+ε0) ⊂ (a, b).
Dal momento che f è strettamente crescente si ha, per 0<ε≤ε0
f(x0−ε) <y0< f(x0+ε). Definiamo δε =min{y0−f(x0−ε), f(x0+ε) −y0} >0; se|y−y0| <δε si ha y0+ f(x0−ε) −y0<y0−δε <y<y0+δε <y0+f(x0+ε) −y0 e f(x0−ε) <y< f(x0+ε).
Poiché f−1è strettamente crescente si ha
f−1(f(x0−ε)) < f−1(y) < f−1(f(x0+ε)) cioè x0−ε< f−1(y) <x0+ε f−1(y0) −ε< f−1(y) < f−1(y0) +ε e |f−1(y) − f−1(y0)| <ε. 2
Teorema 1.13 Sia f : (a, b) −→ R continua e invertibile; allora f−1 è continua.
Dimostrazione. Dal momento che f è continua ed invertibile su (a,b), essa è strettamente monotona e si può applicare il teorema 1.12. 2
1. pa, per a∈R è continua in R+ 2. pn, per n∈N è continua in R 3. exp a, per a∈R+è continua inR 4. sin è continua inR 5. cos è continua inR
6. rn, per n pari è continua inR+ 7. rn, per n dispari è continua inR 8. log
a, per a∈R+\ {1}è continua inR+.
La verifica di questi fatti può essere completata usando la definizione di limite.
possiamo altresì verificare, usando il teorema dei valori intermedi che Teorema 1.14 Si ha 1. R(pn) =R+, per n pari 2. R(pn) =R, per n dispari 3. R(expa) =R+per a∈R+, a6=1 4. R(pa) =R+ per a∈R , a6=0 5. R(sin) = [−1, 1] 6. R(cos) = [−1, 1] 7. R(tan) =R
1.2
L’uniforme continuità
Definizione 1.2 Sia f : D−→R, diciamo che f è uniformemente continua in D se
∀ε>0 ∃δε >0 : ∀x, y∈D , |x−y| <δε si ha |f(x) − f(y)| <ε.
Possiamo trovare funzioni che siano continue ma non uniforme-mente continue su un insieme I.
Ad esempio consideriamo f(x) = 1
x su I= (0, 1)
Per provare che f è uniformemente continua su I dovremmo verificare che
∀ε>0 ∃δε>0 : ∀x, y∈ (0, 1), |x−y| <δε si ha 1 x − 1 y <ε.
Questo significa che, se definiamo
x y Aδ Aδ= {(x, y) ∈R 2 : |x−y| ≤ δ} e Bε = {(x, y) ∈R2 : 1 x − 1 y ≤ε}
occorrerà verificare che
∀ε>0 ∃δ>0 : Aδ ⊂Bε
Da un lato|x−y| ≤ δè equivalente a x−δ ≤ y ≤ x+δe quindi
Aδpuò essere rappresentato come nella figura a lato,
Dall’altro si ha 1 x − 1 y ≤ε se e solo se |x−y| xy ≤ε se e solo se y(1−εx) ≤x ≤y(1+εx)
se e solo se, (tenendo conto che per ε piccolo(1−εx)e(1+εxsono
quantità positive)
x
1+εx ≤y≤
x 1−εx
e quindi Bε può essere rappresentato come nella figura a lato.
Poichè è evidente che per ogni e fissato non esiste nessun δ per cui Aδ⊂Bε, possiamo concludere che 1/x non è uniformemente continua
su(0, 1)
x y
Aδ Bε
È anche evidente che 1/x è uniformemente continua su [a,+∞) come mostra la figura e come si può verificare anche ricordando che, per il teorema di Lagrange, esiste c nell’intervallo di estremi x ed y
1 x − 1 y ≤ − 1 c2 |x−y| ≤ 1 a2|x−y| e definendo δ=εa2
Similmente si vede che
f(x) =x2 su I=R non è uniformemente continua.
Per provare che f è uniformemente continua su I dovremmo verifi-care che
∀ε>0 ∃δε >0 : ∀x, y∈ (0, 1), |x−y| <δε si ha |x2−y2| <ε.
Anche qui, se definiamo
Aδ= {(x, y) ∈R2 : |x−y| ≤δ} e Bε = {(x, y) ∈R2 : |x2−y2| ≤ε}
per dimostrare l’uniforme continuità di f su I, occorrerà verificare che ∀ε>0 ∃δ>0 : Aδ⊂Bε
Come prima Aδ può essere rappresentato come nella figura a lato,
D’altro canto si ha |x2−y2| ≤ε se e solo se x2−ε≤y1≤x2+ε se e solo se |y| ≤px2+ε e |y| ≥px2−ε
e quindi Bε può essere rappresentato come nella figura a lato.
x y
Aδ
Bε Poichè è evidente che per ogni e fissato non esiste nessun δ per cui
Aδ⊂Bε, possiamo concludere che 1/x non è uniformemente continua
su(0, 1)
È anche evidente che x2è uniformemente continua su[−a, a), con a>0 come mostra la figura e come si può verificare anche ricordando che, per il teorema di Lagrange, esiste c nell’intervallo di estremi x ed y
|x2−y2| ≤ |2c||x−y| ≤2a|x−y|
e definendo δ= ε
2a
Teorema 1.15 - di Heine-Cantor - Supponiamo f : D−→R continua, D
compatto, allora f è uniformemente continua in D.
Dimostrazione. Supponiamo che f non sia uniformemente con-tinua in D, allora
∃ε0>0 , ∃xn, yn∈ D : |xn−yn| <1/n e |f(xn) − f(yn)| ≥ε0.
Dal momento che D è compatto esiste xnk →x∈D e
ynk = (ynk−xnk) +xnk →x.
D’altro canto, da|f(xnk) − f(ynk)| ≥ε0, per la continuità di f , si ha
0= |f(x) −f(x)| ≥ε0>0
