2) Dire se `e continua la funzione

C.d.L. in Scienze Naturali A.A. 2009/2010 – 25 novembre 2009

1) Trovare il dominio e l’insieme di continuit`a della funzione

f (x) = ln |x ² − 4|

x + 3 .

2) Dire se `e continua la funzione

f (x) =

 



x arctan 1

x x 6= 0,

0 x = 0.

3) Calcolare, se esiste, il limite delle successioni

a n = sin n + n ²

n − n ² − 6 e b n = 1

n e ^{cos n+67} .

4) Dire se convergono le serie X ∞

n=1

π ⁿ − cos n 4 ⁿ + e ⁿ − arctan n ,

X ∞ n=1

(−1) ⁿ cos n − n!

n! + n e X ∞ n=1

arctan n ^5/3 − sin n n ^5/3 − 34 ln n .

5) Dire se esistono soluzioni dell’equazione

e ^x

= x + 10.

6) Commentare le affermazioni seguenti:

• se x 0 `e di aderenza per A, allora x 0 ∈ A;

• se f : A ⊂ R → R `e continua, allora f `e limitata in A;

• se a n → 0, allora 1/a n → ∞.

N.B. Giustificare tutte le risposte!

C.d.L. in Scienze Naturali A.A. 2009/2010 – 3 febbraio 2010

1) Trovare il dominio, l’insieme di continuit`a, l’insieme di derivabilit`a e la derivata prima della funzione

f (x) =

√ x ² − 4 x − 107 .

2) Calcolare, se possibile, i seguenti integrali:

Z ₂

1

x ³ + 2

x ³ + x ² dx e Z _∞

0

x ² e ^−x dx.

3) Calcolare, se esiste, il limite delle successioni

a n = sin ¹⁰⁷ n + n ^{ln 2}

n − 107 e b n = 1

n ^0,107 107 107 cos n+107 .

4) Dire se convergono le serie X ∞ n=1

4 ⁿ − ln n 5 ⁿ − n ¹⁰⁷ e

X ∞ n=1

(−1) ⁿ n ¹⁰⁷ − sin n n! − n ¹³ .

5) Dire se esistono soluzioni dell’equazione

e ^x = x ³ + 107.

6) Commentare le affermazioni seguenti:

• se x 0 non `e di accumulazione per A, allora x 0 6∈ A;

• se f : A ⊂ R → R `e continua, allora f `e integrabile in ¯ A;

• se |a n | → 0, allora 1/a n → ∞.

N.B. Giustificare tutte le risposte!

C.d.L. in Scienze Naturali A.A. 2009/2010 – 19 febbraio 2010

1) Trovare il dominio, l’insieme di continutit`a, di derivabilit`a e l’espressione della derivata della funzione f (x) = ln(1 + e ^x ).

La funzione ammette asintoti?

2) Dire se convergono le serie seguenti:

X ∞ n=1

n! − sin n ⁹⁹⁹⁹⁹⁹

n ⁹⁹⁹⁹⁹⁹ + cos n ⁹⁹⁹⁹⁹⁹ e

X ∞ n=1

sin n ^1,001 ln µ

1 + 1 n ^1,001

¶ .

3) Dire se esistono soluzioni dell’equazione

ln(x + 1) + e ^x = sin x.

4) Calcolare Z ₁

1/2

x + 1 x ⁴ + x ² dx.

5) Dire se converge l’integrale Z _∞

0

sin 1 1 + x ² dx.

6) Calcolare l’ordine di infinitesimo in 0 di

f (x) = e ^x/2 − cos x − x 2 .

7) Commentare le affermazioni seguenti:

• se f : [a, b] → R `e limitata, allora `e integrabile secondo Riemann;

• se sup A = L, allora inf A < L;

• se P

(−1) ⁿ a n e a n ↓ 0, allora la serie converge assolutamente;

• se lim

x→∞

f (x)

x = 0, allora f ha un asintoto orizzontale a ∞.

C.d.L. in Scienze Naturali A.A. 2009/2010 – 7 aprile 2010

1) Trovare il dominio, l’insieme di continutit`a, di derivabilit`a e l’espressione della derivata della funzione f (x) = ln(ln(1 + x)).

2) Dire se convergono le serie seguenti:

X ∞ n=1

n! − n ⁹⁹⁹⁸⁹⁹ n ⁹⁸⁹⁹⁹⁹ − n ⁿ e

X ∞ n=1

ln(2 + sin n ¹⁵⁷⁴³¹ ) sin µ

1 + 1

n ^0,999789

¶ .

3) Dire se esistono soluzioni dell’equazione

ln x = cos x.

4) Calcolare Z ₂

1

1 x ³ − 9x dx.

5) Dire se converge l’integrale Z _∞

0

ln 1 1 + x ² dx.

6) Calcolare l’ordine di infinitesimo in 0 di

f (x) = ln(1 + x ⁴ ) − cos x ² − 1 + x.

7) Commentare le affermazioni seguenti:

• se f : [a, b] → R `e tale che |f | `e integrabile secondo Riemann, allora anche f lo `e;

• se |a n | → 3, allora 1/a n → 1/3;

• se P

(−1) ⁿ a n converge assolutamente, allora a n ↓ 0;

• se f : [a, ∞) → R `e derivabile e ha un asintoto orizzontale a ∞, allora f ⁰ (x) → 0 quando x → ∞.

N.B. Giustificare tutte le risposte!

C.d.L. in Scienze Naturali A.A. 2009/2010 – 15 giugno 2010

1) Trovare il dominio, l’insieme di continutit`a, di derivabilit`a e l’espressione della derivata della funzione f (x) = sin(ln(1 + x)).

2) Dire se convergono le serie seguenti:

X ∞ n=1

sin µ n!

n ⁿ

¶ e

X ∞ n=1

0, 0000000001 n ^0,999789 + 99999999999 .

3) Dire se esistono soluzioni dell’equazione

ln x = sin x.

4) Calcolare Z ₂

1

1 x ³ + 4x dx.

5) Dire se converge l’integrale Z _∞

0

sin 1 1 + x ² dx.

6) Calcolare l’ordine di infinitesimo in 0 di

f (x) = ln(1 + x ⁸ ) − sin(x ³ ).

7) Commentare le affermazioni seguenti:

• se f : [a, b] → R `e integrabile secondo Riemann, allora f `e continua;

• se P

a n converge assolutamente, allora a n ↓ 0;

• se f : [0, ∞) → R `e derivabile, allora esiste R _M

0 f (x) dx per ogni M > 0.

N.B. Giustificare tutte le risposte!

C.d.L. in Scienze Naturali A.A. 2009/2010 – 9 luglio 2010

1) Trovare il dominio, l’insieme di continutit`a, di derivabilit`a e l’espressione della derivata della funzione f (x) = √

ln x.

2) Dire se convergono le serie seguenti:

X ∞ n=1

(−1) ⁿ 1

n ln n e

X ∞ n=1

(−1) ⁿ cos n

n 1,0000000001 + sin ³ n .

3) Dire se esistono soluzioni dell’equazione

ln x = −x ² .

4) Calcolare Z ₄

3

1 x ³ − 4x dx.

5) Dire se converge l’integrale Z _∞

0

sin 1 1 + x ⁹ dx.

6) Calcolare l’ordine di infinitesimo in 0 di

f (x) = ln(1 + x ⁷ ) − sin(x ⁹ ).

7) Commentare le affermazioni seguenti:

• se f : [a, b] → R non `e continua, allora non `e integrabile secondo Riemann;

• se a n ↓ 0, allora P

a n converge;

• se A ⊂ R `e tale che sup A = ∞, allora esiste x 0 ∈ R di accumulazione per A.

N.B. Giustificare tutte le risposte!

C.d.L. in Scienze Naturali A.A. 2009/2010 – 20 settembre 2010

1) Trovare dominio, insieme di continuit`a derivabilit`a ed espressione della derivata prima della funzione f (x) = sin(ln(x + 2)).

2) Dire se convergono le serie seguenti:

X n ³ − 78 ln n

0, 000001 n ⁵ + 0, 7 e X ln

µ 1 + 4

n

¶ .

3) Calcolare

Z _π

0

x cos x ² dx e

Z _1/2

0

x x ² − 1 dx.

4) Calcolare l’ordine di infinitesimo in 0 di

f (x) = ln(1 + x ⁵ ) − sin x ² + x ⁴ .

7) Commentare le affermazioni seguenti:

• ogni funzione continua su R `e integrabile in [0, 1];

• ogni funzione integrabile in senso generalizzato in R `e ivi continua;

• se a n /n → 1, allora P

a n converge.

N.B. Giustificare tutte le risposte!