Esercizi svolti

(1)

Prof. Chirizzi Marco

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Concavità, convessità e punti di flesso

Determinare i flessi e gli intervalli dove le curve volgono la concavità o convessità verso la direzione positiva dell’asse Y:

1) 5 2 1 6 1 ) (x  x3 x2x f Si ha: . 1 ) ( ; 1 ) ( ; 1 2 ) ( 2          x x x f x x f x f

Calcoliamo le ascisse dei punti in cui si annulla la derivata seconda: 1 0 ) (     x x f

Calcoliamo il valore della derivata terza nel punto in cui si annulla la derivata seconda, cioè in

1   x _: 1 ) 1 (   f

Siccome la derivata terza in quel punto è diversa da zero, x 1 è un punto di flesso per la funzione f(x). Per determinare gli intervalli dove la curva volge la concavità o convessità verso la direzione positiva dell’asse Y, basta studiare il segno della derivata seconda, cioè:

. 1 0 1 ) ( ; 1 0 1 ) (               x x x f x x x f

In conclusione, la funzione volge la concavità nell’intervallo   ,1  _{, la convessità}

nell’intervallo  , 1 _.

2) f(x)3x4 2x2 5x

Come nell’esercizio precedente, calcoliamo le derivate della funzione fino al terzo ordine:

. 72 ) ( ; 4 36 ) ( ; 5 4 12 ) (x x3 x f x x2 f x x f        

(2)

Calcoliamo le ascisse dei punti in cui si annulla la derivata seconda: . 3 1 , 3 1 0 4 36 ) (  2       x x x x f

Calcoliamo i valori della derivata terza in questi due punti:

. 24 3 1 , 24 3 1                  f f

Siccome le derivate terze risultano diverse da zero,

3 1 3 1    e x

x _{sono punti di flesso per la}

funzione f (x)_{. Studiando il segno della derivata seconda, si ha:}

. 3 1 3 1 0 4 36 ) ( ; 3 1 3 1 0 4 36 ) ( 2 2                 x x x f x e x x x f

In conclusione, la funzione f(x)_{volge la convessità nell’intervallo}_  _

3 1 , 3 1 , la concavità nell’intervallo _  _     __ _ , 3 1 3 1 , _. 3) _f₍_x₎__x_₍_x_₁₎3 Si ha: . 18 24 ) 1 ( 12 ) 3 6 ( 2 ) ( ; ) 3 6 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 4 ) 1 4 ( ) 1 ( 2 ) ( ; ) 1 4 ( ) 1 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( ) ( 2 2 2 3                                   x x x x f x x x x x x f x x x x x x f

La derivata seconda si annulla nei seguenti punti:

. 2 1 1 0 ) 3 6 ( ) 1 ( 2 ) (           x x x x oppure x f

In tali punti, la derivata terza assume i seguenti valori:

. 6 2 1 ; 6 ) 1 (          f f quindi, 2 1 1   e x

x sono punti di flesso per la funzione f(x). Studiando il segno della derivata seconda, si ha: . 1 2 1 0 ) ( ; 1 2 1 0 ) 3 6 ( ) 1 ( 2 ) (                x x f x e x x x x f

(3)

In definitiva, la funzione f(x)_{volge la convessità nell’intervallo}_ ,1 _ 2 1 , la concavità nell’intervallo 







    __ ₁_, 2 1 , _. 4) 1 1 ) ( ₂    x x x f Si ha:





_. ) 1 ( 2 6 6 2 ) 1 ( 4 ) 2 1 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) 1 ( 4 ) 2 1 ( ) 1 ( ) 2 2 ( ) ( ; ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 3 2 2 3 3 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                       x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x f

La derivata seconda si annulla nei seguenti punti:

. 3 2 1 0 ) 1 4 ( ) 1 ( 0 2 6 6 2 ) ( 3 2 2                   x oppure x x x x x x x x f

Calcoliamo la derivata terza ed i valori che assume nei punti x 1 e x 2 3:

. ) 1 ( 6 24 36 24 6 ) 1 ( ] ) 2 6 6 2 ( 6 ) 6 12 6 ( ) 1 ( [ ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 6 ) 2 6 6 2 ( ) 1 ( ) 6 12 6 ( ) ( 4 2 2 3 4 4 2 2 3 2 2 2 6 2 2 2 2 3 2 2                                     x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f . 0 ) 1 ( ; 0 ) 3 2 (        f f

I punti x1 e x2 3 sono di flesso per la funzione f(x).

Studiando il segno della derivata seconda, si scopre che la funzione f(x)_{volge la concavità} nell’intervallo



1, 2 3

 

 2 3, 



_{, la convessità nell’intervallo}