P
ROGRAMMA DEL CORSO DI
E
QUAZIONI
D
IFFERENZIALI
ALLE
D
ERIVATE
P
ARZIALI
Prof.ssa L. Caso (a.a. 2019/20)
Classificazione delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Equazioni risolubili elementarmente: soluzioni di PDE che risultano costanti lungo certe direzioni; l’equazione unidimensionale delle onde.
Introduzione alla teoria delle caratteristiche. Metodo delle caratteristiche per una PDE quasi lineare : esistenza e unicità per il problema di Cauchy associato a questa PDE con l’utilizzo delle caratteristiche. Risoluzione di alcuni problemi di Cauchy con la tecnica delle linee caratteristiche.
Esempi di modelli matematici e PDE: la legge del bilancio di massa, il trasporto di inquinanti nei fiumi.
Classificazione delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine.
L’operatore di Laplace. Le funzioni armoniche. Motivazioni fisiche dell’equazione di Laplace: processi di trasporto di tipo diffusivo in condizioni di equilibrio. Invarianze dell’equazione di Laplace. Soluzione fondamentale. Proprietà della media per le funzioni armoniche. Principio del massimo per le funzioni armoniche. Disuguaglianza di Harnack. Regolarità delle funzioni armoniche. Teorema di Liouville. Analiticità delle funzioni armoniche.
Risolubilità dell’equazione di Poisson in Rn
. Potenziale Newtoniano. Identità di Stokes. La funzione di Green. Formula di rappresentazione della soluzione del problema di Dirichlet con la funzione di Green. La funzione di Green per la palla unitaria e la formula di Poisson.
Motivazioni fisiche per l’equazione del calore: processi di trasporto di tipo diffusivo. Soluzione fondamentale dell’equazione del calore. Soluzione dei problemi Cauchy omogeneo e non omogeneo. Principio del massimo per le soluzioni dell’equazione del calore. Un principio del massimo per il problema di Cauchy. Risultati di unicità in domini limitati e in domini non limitati. Regolarità delle soluzioni dell’equazione del calore.
L’equazione delle onde. Soluzione nel caso n=1 e formula di D’Alembert. Soluzione del problema misto Cauchy – Dirichlet con il metodo di riflessione. Medie sferiche ed equazione di Eulero – Poisson – Darboux. Formula di Kirchhoff. Formula di Poisson. Soluzione del problema di Cauchy in dimensione n dispari; soluzione del problema di Cauchy in dimensione n pari con il metodo della discesa. Soluzione del problema di Cauchy non omogeneo e principio di Duhamel.
Testi consigliati
1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2002.
2. Fritz John, Partial Differential Equations, Springer Verlag, 1991.
