LE PIU' IMPORTANTI EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI
La teoria delle equazioni differenziali a derivate parziali costituisce uno dei capitoli più importanti della Matematica. Apporta inoltre un contributo essenziale all'indagine del mondo fisico. Si riconosce infatti che fondamentali argomenti della Fisica fanno capo, ciascuno, ad un'equazione a derivate parziali: questa fornisce dunque un modello matematico per lo studio dei fenomeni che rientrano in tale argomento.
In questa tabella sono riportanti alcuni esempi.
ARGOMENTO FISICO EQUAZIONE CORRISPONDENTE Potenziale elettrostatico Equazione di Laplace
Diffusione del calore Equazione di Fourier Propagazione delle onde Equazione di d'Alembert Campo elettromagnetico Equazioni di Maxwell Meccanica quantistica Equazioni di Schrodinger Teoria della relatività Equazioni di Einstein
L'EQUAZIONE DI LAPLACE – 3D
Gli integrali di questa equazione sono detti funzioni armoniche.
L'EQUAZIONE DI FOURIER – 1D
Questa equazione è l'equazione di propagazione del calore in un mezzo. (Nota: k > 0)
EQUAZIONE DI D'ALEMBERT – 1D
Si dimostra che l'integrale generale di tale equazione risulta essere:
u (x, t) = F(x + V t) + G(x – V t)
con F(x + V t) + G(x – V t) funzioni arbitrarie. Questa equazione descrive tutti i fenomeni ondulatori e viene anche detta equazione della corda vibrante.
CONDIZIONI AL CONTORNO
- Condizioni di DIRICHLET:per un contorno specifico u.
- Condizioni di NEUMAN: per un contorno specifico du/dn - Condizioni di ROBIN: per un contorno specifico du/dn + hu.
2 2 2 2
2 1
t u v x
u
∂
= ∂
∂
∂
2 0
2 2 2 2 2
2 =
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇ z
u y
u x
u u
t k u x
u
∂
= ∂
∂
∂
2 2
