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Riassunto
Il modello semi-geostrofico `e stato largamente utilizzato per studiare flussi oceanici e atmosferici. La peculiarit`a di questa teoria, che si `e rivelata effi-ciente sotto opportune ipotesi, `e di includere nel suo modello gli effetti della spinta ageostrofica.
Consideriamo per esempio il caso dei flussi d’aria nell’atmosfera. L’aria naturalmente si muove dalle zone ad alta a quelle a bassa pressione (spinta da una forza proporzionale al gradiente della pressione); e, a seconda dell’e-misfero e della latitudine, viene deviata dalla forza di Coriolis (causata dalla rotazione terrestre). La somma di queste due componenti ci d`a quella che viene chiamata componente geostrofica del vento. Difficilmente in natura questo coincide con il vento effettivo a causa dell’azione di altre forze come l’attrito con la superficie o la forza centrifuga dovuta alla curvatura terrestre. La componente ageostrofica `e appunto definita come la differenza tra il vento effettivo e il vento geostrofico.
uag = u − ug
Lavoreremo sullo spazio [0, T ] × Ω (con Ω ⊂ R3 limitato e convesso), dove
u `e il campo vettoriale a divergenza nulla che rappresenta la velocit`a, p la pressione del fluido e ρ la sua densit`a. Questa tesi `e dedicata allo studio del seguente sistema di equazioni (detto appunto semigeostrofico):
Dt(u g 1, u g 2) + (∂1p, ∂2p) = (u2, −u1), (u g 1, u g 2) = (−∂2p, ∂1p) Dtρ = 0, div u = 0, ∂3p + ρ = 0 Dt= ∂t+ u · ∇, ∇ = (∂x1, ∂x2, ∂x3)
Esistenza e unicit`a delle soluzioni di questo sistema `e ancora un problema aperto.
Per scriverlo in una forma pi`u compatta, la prima mossa sar`a introdurre la pressione modificata Pt(x) := pt(x) + 12(x21 + x22) in modo che la prima
equazione diventi: d dt∇P + u · ∇ 2P = J (∇P − x) dove J := 0 −1 0 1 0 0 0 0 0
Nel capitolo 6, grazie ai lavori di Brenier Y.[5](1991), Benamou J.-D. & Brenier Y.[4](1998), e Cullen M. & Gangbo W.[7](2001), otterremo
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un risultato di esistenza nelle cosiddette coordinate duali, ovvero rimpiazzan-do la variabile fisica x con X = ∇Pt(x) ∈ R3. Questo cambio di variabili
non `e banale (ci servir`a il Teorema di fattorizzazione polare di Brenier ) e per eseguirlo supporremo che Ptsia convesso, e (per ragioni fisiche di
incompromi-bilit`a e impermeabilit`a del fluido) che sul bordo del fluido det DX(t, x) = 1. Dopo tutto ci`o il sistema diventa:
d
dtαt+ ∇ · (btαt) = 0 con bt(x) := J (X − ∇P
∗ t(X))
dove αt:= (∇PT)](LdxΩ), e Pt? `e la trasformata di Legendre della pressione
modificata.
A questo punto useremo il fatto che u ha divergenza nulla per dimostrare che per ogni funzione test ϕ `e verificata l’uguaglianza:
d dt Z Rd ϕ dαt = Z Rd ∇ϕ(∇Pt) · d dt∇Pt dx = Z Rd ∇ϕ(∇Pt) · J (∇Pt− x) dx + Z Rd ∇ϕ(∇Pt)∇2Pt· u dx = Z Rd ∇ϕ · J(X − ∇Pt∗) dαt+ Z Rd ∇(ϕ ◦ ∇Pt) · u dx = Z Rd ∇ϕ · Ut dαt
L’esistenza di una soluzione debole per l’equazione ricavata sopra pu`o essere ottenuta da un opportuno schema di discretizzazione del tempo. Il problema, che a questo punto `e capire se si pu`o tornare alle variabili fisiche iniziali, resta aperto.
Nel capitolo 7 c’`e un importante passo avanti (dai lavori di Ambrosio L.[1] (2004) e Cullen M. & Feldman M.[6] (2006)), che consiste nell’introdurre il concetto di soluzione Lagrangiana per poi sfruttare una propriet`a della teoria del trasporto per campi vettoriali a variazione limitata. Dato che il campo vettoriale bt(X) = J (X − ∇Pt∗(X)) `e a variazione limitata, limitato
e con divergenza nulla, c’`e un flusso Lagrangiano relativo a b ben definito, stabile e regolare. Questo flusso pu`o essere riportato indietro allo spazio fisico iniziale con la trasformazione:
