PROGRAMMA DEL CORSO DI
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Prof.ssa L. Caso (a.a. 2018/19)
1) Concetti e teoremi fondamentali: Definizioni e terminologia. Problema di
Cauchy e problema ai limiti per equazioni differenziali ordinarie (ODE) e per sistemi di equazioni differenziali. Interpretazione geometrica e campo di direzioni. Esistenza e unicità locale: teorema di Cauchy, regolarità delle soluzioni. Esistenza e unicità globale: prolungamenti, teorema di esistenza e unicità globale, prolungabilità sino alla frontiera. Analisi qualitativa delle soluzioni. Dipendenza delle soluzioni dai dati iniziali: teorema sulla dipendenza continua dai dati (con dim.), teorema sulla dipendenza continua dai parametri (con dim.). Esempi. (Rif. [1] Cap. 4 – n. 1)
2) ODE del primo ordine: Equazioni lineari. Equazioni di Bernoulli. Equazioni a
variabili separabili. Equazioni omogenee (o di Manfredi). Equazioni differenziali esatte. Equazione di Riccati. Equazioni del tipo y’=f(ax+by) e generalizzazioni. Equazione di Clairaut. Equazione di Lagrange – D’Alembert. Esempi. (Rif. [1] Cap. 4 – n. 1).
3) Equazioni e sistemi lineari: Definizione e prime proprietà. Principio di
sovrapposizione e conseguenze. Sistemi omogenei, Wronskiano. Sistemi omogenei a coefficienti costanti, matrice esponenziale: sistema con autovalori regolari, equazione di ordine n, sistema con autovalori anche non regolari. Sistemi non omogenei. Equazione di ordine n non omogenea: metodo della variazione delle costanti arbitrarie, integrale particolare. Esempi. (Rif. [1] Cap. 4 – n. 2).
4) Sistemi autonomi: Generalità sui sistemi autonomi. Spazio delle fasi e orbite.
Punti critici. Stabilità e stabilità asintotica. Stabilità dell'origine per i sistemi lineari (con dim.). Stabilità nei sistemi bidimensionali: classificazione del punto di equilibrio. Esempi. (Rif. [1] Cap. 4 – n. 3).
5) Modelli matematici: Costruzione di un modello matematico. Modelli di crescita
Malthus, decadimento radioattivo. Ulteriori modelli: curva di apprendimento, Legge di raffreddamento (riscaldamento) di Newton. Equazione logistica: equazione differenziale logistica e sue variazioni. Modelli di crescita delle popolazioni non omogenee: equazioni di Lotka-Volterra e loro variazioni. Vibrazioni lineari: vibrazioni libere, vibrazioni smorzate, vibrazioni forzate. Esempi. (Rif. [1] Cap. 4 – n. 1 (1.1); n. 2 (Complementi). Rif. [2] Cap. 1 – nn. 1.1, 1.4, 1.5, 1,6 ).
Riferimenti bibliografici
[1] Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa - Analisi matematica 2 – Zanichelli [2] James Stewart - Calcolo. Funzioni di più variabili – Apogeo
Ulteriori riferimenti bibliografici
[3] Sandro Salsa, Annamaria Squellati - Esercizi di analisi matematica II, Parte III Equazioni differenziali ordinarie – Zanichelli
[4] Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, -Analisi Matematica II – Liguori editore
