EQUAZIONI
DIFFERENZIALI LINEARI A
COEFFICIENTI
COSTANTI
Argomenti della lezione Argomenti della lezione
Equazioni lineari con Equazioni lineari con coefficienti costanti.
coefficienti costanti.
Termini noti di tipo Termini noti di tipo
particolare. Oscillazioni particolare. Oscillazioni
forzate forzate
Accenno ai sistemi Accenno ai sistemi
EQUAZIONI EQUAZIONI LINEARI CON LINEARI CON COEFFICIENTI COEFFICIENTI
COSTANTI
COSTANTI
Consideriamo un’equazione d’ordine Consideriamo un’equazione d’ordine nn completa con coefficienti costanti completa con coefficienti costanti
yy(n) (n) + a+ a11 y y(n-1) (n-1) + … + a+ … + ann y = b(x) y = b(x) Qui i coefficienti
Qui i coefficienti aa1 1 , … , a, … , ann sono sono numeri reali, mentre
numeri reali, mentre b(x)b(x) è una è una
funzione che in generale è supposta funzione che in generale è supposta
continua continua
L’equazione omogenea associata è L’equazione omogenea associata è
yy(n) (n) + a+ a11 y y(n-1) (n-1) + … + a+ … + ann y = 0 y = 0 Si dice
Si dice polinomio caratteristico polinomio caratteristico ilil polinomio
polinomio P(z) = z
P(z) = zn n + a+ a11 z zn-1 n-1 + … a+ … an-1n-1 z + a z + ann
L’equazione L’equazione
zzn n + a+ a11 z zn-1 n-1 + … a+ … an-1n-1 z + a z + an n = 0= 0 si dice
si dice equazione caratteristicaequazione caratteristica Siano
Siano , , , …, , …, rr, le radici reali, le radici reali dell’equazione caratteristica, di dell’equazione caratteristica, di
molteplicità
molteplicità mm11, m, m22, … , m, … , mrr; siano; siano poi poi , , , …, , …, ss e e , , , …, , …, ss le le
radici complesse e le complesse radici complesse e le complesse
coniugate, ciascuna di molteplicità coniugate, ciascuna di molteplicità
nn11, n, n22, … , n, … , nss. Allora. Allora
P(z) = (z- P(z) = (z- ))mm1 1 ... ... (z- (z- rr) ) mmr r (z -
(z - ))nn1 1 (z - (z - ))nn11 … … (z - (z - ss))nns s (z - (z - ss))nnss Ricordiamo che se
Ricordiamo che se = a + i b= a + i b, , allora
allora = a - i b= a - i b..
Analogamente alla fattorizzazione Analogamente alla fattorizzazione
del polinomio
del polinomio P(z)P(z), si può pensare, si può pensare a una fattorizzazione dell’operatore a una fattorizzazione dell’operatore
differenziale che dà l’equazione differenziale che dà l’equazione
omogenea omogenea
L(y) =
L(y) = yy(n) (n) + a+ a11 y y(n-1) (n-1) + … + a+ … + ann y = y = (D -
(D - ))mm1 1 ... ... (D - (D - rr) ) mmr r (D -
(D - ))nn1 1 (D - (D - ))nn11 … …
(D - (D - ss))nns s (D - (D - ss))nns s y = 0y = 0
È facile vedere che se
È facile vedere che se e e sono due sono due numeri reali o complessi e
numeri reali o complessi e y(x)y(x) è una è una funzione due volte derivabile
funzione due volte derivabile (D -
(D - ) (D - ) (D - ) y = (D - ) y = (D - ) (D - ) (D - ) y =) y = [D[D22 –( –( + + ) D + ) D + ] y = ] y =
= y” –(
= y” –( + + )y’ + )y’ + y y
Dunque la fattorizzazione di
Dunque la fattorizzazione di L(y)L(y) ha ha senso, poiché si può pensare fatta in senso, poiché si può pensare fatta in
un ordine arbitrario un ordine arbitrario
Se Se yy soddisfa soddisfa (D - (D - ) y = 0 ) y = 0 oppureoppure (D -
(D - ) y = 0) y = 0, allora è anche, allora è anche y” –(
y” –( + + )y’ + )y’ + y = 0 y = 0..
Dunque ogni soluzione di Dunque ogni soluzione di
(D -
(D - ))p p y = 0 y = 0 dove dove è uno degli è uno degli ii o o uno dei
uno dei kk, è una soluzione dell’, è una soluzione dell’
equazione omogenea.
equazione omogenea.
Se Se p=1p=1, è facile riconoscere che, è facile riconoscere che una soluzione di
una soluzione di (D - (D - )) y = 0 y = 0 è data è data dada
y = e
y = e x x = exp(= exp( x) x)
Se Se è un numero reale allora la è un numero reale allora la
funzione è un esponenziale a valori funzione è un esponenziale a valori in in RR. Se . Se = c + i d= c + i d, la soluzione,, la soluzione,
grazie alle formule d’Eulero, si grazie alle formule d’Eulero, si
scrive scrive
ee(c+id)x (c+id)x = e= ecxcx (cos d x + i sen d x) (cos d x + i sen d x) In questo caso anche
In questo caso anche c – i dc – i d è è soluzione del polinomio
soluzione del polinomio
caratteristico e perciò anche caratteristico e perciò anche
ee(c-id)x (c-id)x = e= ecxcx (cos d x - i sen d x) (cos d x - i sen d x) è soluzione dell’equazione
è soluzione dell’equazione
differenziale. Poiché l’equazione differenziale. Poiché l’equazione
è lineare, anche una loro è lineare, anche una loro
combinazione lineare è soluzione.
combinazione lineare è soluzione.
Dunque sono soluzioni relative a Dunque sono soluzioni relative a
radici complesse coniugate dell’
radici complesse coniugate dell’
equazione caratteristica equazione caratteristica
eecxcx cos d x = [e cos d x = [e(c+id)x (c+id)x + e+ e(c-id)x (c-id)x ]/2]/2 eecxcx sen d x = [e sen d x = [e(c+id)x (c+id)x - e- e(c-id)x (c-id)x ]/(2i)]/(2i)
Queste soluzioni hanno il Queste soluzioni hanno il
vantaggio di essere date da vantaggio di essere date da
funzioni a valori reali.
funzioni a valori reali.
Che cosa si può dire se
Che cosa si può dire se p > 1p > 1 ? ? Si osserva che, in generale,
Si osserva che, in generale,
(D -
(D - I)I) (x(xk k eexx) = k x) = k xk-1 k-1 eex x se k
se k 1 1 (D -
(D - I)I)2 2 (x(xk k eexx) = k(k-1) x) = k(k-1) xk-2 k-2 eexx se k
se k 2 2
(D -
(D - I)I)n n (x(xk k eexx) = 0) = 0 se k < nse k < n E quindi
E quindi
Dunque sono soluzioni dell’
Dunque sono soluzioni dell’
equazione omogenea le seguenti equazione omogenea le seguenti
funzioni funzioni
e e xx, x e , x e xx, … , x, … , x(m(m11-1)-1) e e xx
………
……….. e e r r xx, x e , x e rrxx, … , x, … , x(m(mrr-1)-1) e e rrxx
relative alle soluzioni reali del relative alle soluzioni reali del
polinomio caratteristico;
polinomio caratteristico;
Se Se kk = a = akk + i b + i bk k si trovano le si trovano le seguenti soluzioni
seguenti soluzioni
e e aax x cos(bcos(b11x), x e x), x e aax x cos(bcos(b11x), … , x), … , xx(n(n11-1)-1) e e aax x cos(bcos(b11x)x)
e e aax x sen(bsen(b11x), x e x), x e aax x sen(bsen(b11x), … , x), … , xx(n(n11-1)-1) e e aax x sen(bsen(b11x)x)
………
………....
eeaassx x cos(bcos(bssx), x ex), x eaassx x cos(bcos(bssx), … , x), … , xx(n(nss-1)-1) e eaassx x cos(bcos(bssx)x)
eeaassx x sen(bsen(bssx), x ex), x eaassx x sen(bsen(bssx), … , x), … , xx(n(nss-1)-1) e eaassx x sen(bsen(bssx)x)
Tutte le funzioni qui ricordate sono Tutte le funzioni qui ricordate sono
lin. indip. su tutto
lin. indip. su tutto RR. Dunque . Dunque ogni soluzione dell’equazione ogni soluzione dell’equazione
delle funzioni presentate in delle funzioni presentate in
precedenza. Naturalmente deve precedenza. Naturalmente deve
valere la relazione valere la relazione
n = m
n = m11 + m + m22 + … + m + … + mr r ++ 2(n2(n11+ n+ n22 +… + n +… + nss))
Esempio Esempio
Si trovi l’integrale generale di Si trovi l’integrale generale di
yy(4)(4) –2y’” + 2y” –2y’ + y = 0 –2y’” + 2y” –2y’ + y = 0 L’equazione caratteristica è L’equazione caratteristica è
zz44 –2 z –2 z33 + 2 z + 2 z22 –2 z + 1 = 0 –2 z + 1 = 0
Ossia Ossia
(z –1)
(z –1)22 (z (z22 + 1) = 0 + 1) = 0 Le radici sono
Le radici sono zz11 =1 =1 di molteplicitàdi molteplicità 22 e e zz22 = i, z = i, z33 = -i = -i che sono sempliciche sono semplici Quindi le seguenti sono le quattro Quindi le seguenti sono le quattro
soluzioni linearmente indipendenti soluzioni linearmente indipendenti
dell’equazione omogenea dell’equazione omogenea
yy11 = e = ex x , y, y22 = x e = x exx
yy33 = cos x = cos x , y, y44 = sen x = sen x
La soluzione generale è La soluzione generale è
y = c
y = c1 1 eex x + c+ c22 x e x ex x + c+ c33 cos x cos x + c + c44 sen x sen x
Con un’opportuna scelta delle Con un’opportuna scelta delle
costanti si può risolvere ogni costanti si può risolvere ogni problema di Cauchy. Si voglia problema di Cauchy. Si voglia
trovare la soluzione che soddisfa trovare la soluzione che soddisfa
le condizioni iniziali le condizioni iniziali
y(0) = 0, y’(0) = -1, y(0) = 0, y’(0) = -1,
y”(0) = 0, y’”(0) = 1 y”(0) = 0, y’”(0) = 1
Si trova Si trova
cc1 1 = c= c2 2 = c= c3 3 = 0, c= 0, c4 4 = -1= -1 E quindi
E quindi
y(x) = - sen x y(x) = - sen x
EQUAZIONE EQUAZIONE
COMPLETA
COMPLETA
Ricordiamo la formula generale che Ricordiamo la formula generale che
fornisce un integrale particolare del fornisce un integrale particolare del
sistema completo, specializzandola sistema completo, specializzandola
al caso di un’equazione d’ordine
al caso di un’equazione d’ordine n n..
Ricordiamo la formula generale Ricordiamo la formula generale
Y(x) U(x) U 1(t) B(t)dt
Ci interessa solo la prima Ci interessa solo la prima
componente di
componente di Y(x)Y(x). Conviene. Conviene ricordare che
ricordare che B(x) = (0,..,0,b(x))B(x) = (0,..,0,b(x))TT
U(t)U(t)-1-1B(t) = B(t) = (b(t)/W(t))(W
(b(t)/W(t))(Wn1n1(t), .. ,W(t), .. ,Wnnnn(t)) (t)) TT Qui Qui W(t) = det U(t)W(t) = det U(t) , si dice il , si dice il
wronskiano
wronskiano del sistema del sistema fondamentale
fondamentale
E quindi, la prima componente di E quindi, la prima componente di
U(x) U(t)
U(x) U(t)-1-1B(t)B(t) è è
( (
yy11(x)W(x)Wn1n1(t)+ y(t)+ y22(x)W(x)Wn2n2(t)+ .. +(t)+ .. + yynn(x) W(x) Wnnnn(t)(t)) )
b(t)/W(t) b(t)/W(t)In definitiva otteniamo la In definitiva otteniamo la
seguente formula generale seguente formula generale
y(x) = y(x) =
yy11(t)………..y(t)………..ynn(t)(t) y’y’11(t)………..y’(t)………..y’nn(t)(t)
………
………....
yy11(n-2)(n-2)(t)….y(t)….yn n (n-2)(n-2)(t)(t) yy11(x)………..y(x)………..ynn(x)(x)
W(t)W(t)
b(t) dt b(t) dt
In particolare, per un’equazione In particolare, per un’equazione
d’ordine 2 d’ordine 2
y(x) = y(x) =
yy11(t)y(t)y22(t)(t) yy11(x)y(x)y22(x)(x)
W(t)W(t)
b(t) dt b(t) dt
CioèCioè
y(x) =
y(x) =
yyyy11(t) y(t) y22(x)- y(x)- y11(x)y(x)y22(t)(t)11(t) y’(t) y’22(t)- y’(t)- y’11(t)y(t)y22(t)(t) b(t) dtb(t) dt
