D.ssa Mimma Errichiello – Secondo anno - Appunti di Algebra – Lezione n°1 - Pagina 1 di 7
Sommario
1. Le Relazioni ... 2
2. Le Funzioni ... 4
2.1. Dominio, Codominio, variabili ... 5
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1. Le Relazioni
Una relazione in matematica indica un collegamento fra due insiemi di elementi A e B.
La definizione può essere applicata ad ogni genere di insieme di elementi, che siano numeri o meno. Ad esempio l’insieme A può essere costituito dalle regioni d’Italia, e l’insieme B da prodotti dell’agricoltura. Esiste una relazione R tra i due insiemi, nel senso che alcune regioni sono produttrici di alcuni prodotti agricoli, e viceversa (fig. 1)
A Fig. 1 B
Quando due insiemi sono in relazione, ovvero quando gli elementi di A sono in relazione con gli elementi di B, si genera un “insieme di coppie”, coppie costituite da un elemento di A e da un elemento di B.
Definizione: si dice Prodotto Cartesiano, AxB, l’insieme di tutte le
possibili coppie che hanno come primo elemento un elemento di A e come secondo elemento un elemento di B, e si scrive:
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Ad esempio, nella fig. 1, il sottoinsieme che si genera dalla relazione R: “regioni italiane che producono …”, è {(campania, vino), (campania, pasta), (umbria, olio), (puglia, olio)}
Dalla definizione di prodotto cartesiano discende la definizione di relazione in modo più rigoroso:
Definizione: si definisce Relazione tra due insiemi A e B un sottoinsieme
del prodotto cartesiano AxB.
Una relazione tra gli elementi di un insieme può godere delle seguenti proprietà:
- Riflessiva: dato un insieme A, la relazione R su AxAè riflessiva se per ogni elemento a di A risulta che aRa (a è in relazione con se stesso)
- Simmetrica: dato un insieme A, la relazione R su AxA è simmetrica se ogni volta che aRb si ha anche che bRa (a,b sono elementi di A) - Transitiva: dato un insieme A, la relazione R su AxA è transitiva se
ogni volta che aRb e bRc segue che aRc (a,b,c sono elementi di A) - Antisimmetrica: dato un insieme A, la relazione R su AxA è
antisimmetrica se ogni volta che a≠b e aRb segue che bRa (b non è in relazione con a)
Definizione: se una relazione R è riflessiva, simmetrica e transitiva si
chiama Relazione di equivalenza.
Definizione: se una relazione R è riflessiva, antisimmetrica e transitiva
si chiama Relazione d’ordine.
Le relazioni che ci interessano sono quelle tra insiemi numerici. In particolare lavoreremo sull’insieme dei numeri reali R, ed il suo prodotto cartesiano RxR. Se R è l’insieme dei numeri reali, gli elementi del suo prodotto cartesiano saranno coppie ordinate di numeri reali.
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2. Le Funzioni
Una funzione è un caso particolare di relazione. Essa mette in relazione le cosiddette grandezze variabili, cioè delle grandezze che possono assumere valori di partenza differenti. Partendo da questa impostazione, in modo generico possiamo dire che, una funzione è una relazione che trasforma un elemento di un insieme A in un elemento dell’insieme B.
Anzi, per la precisione, ad ogni elemento di A la funzione fa corrispondere uno, ed uno solo, elemento di B. La funzione la indichiamo con una lettera minuscola e scriveremo:
f: A B (la funzione f è definita in A ed ha valori in B, oppure in modo
equivalente, la funzione f trasforma elementi di A in elementi di B)
Nell’esempio del paragrafo precedente (fig. 1) le relazioni erano rappresentate graficamente dalle frecce. In particolare diremo che:
la relazione è UNIVOCA se ad ogni elemento di A corrisponde una sola freccia verso B (fig.1)
la relazione NON E’ UNIVOCA se ad ogni elemento di A
corrispondono più frecce verso B (fig. 2)
A B A B
fig. 1 fig. 2
la relazione è OVUNQUE DEFINITA se ad ogni elemento di A corrisponde almeno una freccia verso B (fig. 3)
la relazione è NON E’OVUNQUE DEFINITA se a qualche elemento di A non corrisponde una freccia verso B (fig. 4)
A B A B
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Siamo ora in grado dare la seguente:
Definizione:si dice Funzione una relazione tra due insiemi che sia univoca
ed ovunque definita.
La notazione grafica delle frecce è anche usualmente adottata per le funzioni.
Sinonimi di Relazione sono : corrispondenza
Sinonimi di Funzione sono: applicazione, trasformazione, legge
2.1. Dominio, Codominio, variabili
In base alla definizione ultima data per una funzione, c’è da puntualizzare che una relazione univoca ma non ovunque definita, è comunque considerata una funzione. Per fare ciò basta restringere l’insieme di partenza a quella sua parte di elementi che rendono la relazione ovunque definita:
questa parte dell’insieme di partenza A, dove risiedono gli elementi che hanno una corrispondenza in B, è chiamata DOMINIO della funzione.
la parte dell’insieme B costituito da elementi trasformati è chiamata
CODOMINIO.
Gli elementi del dominio si chiamano variabili indipendenti (oppure
contro-immagini); gli elementi del codominio, invece, si chiamano
variabili dipendenti (oppure immagini).
2.2. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive
La funzione (applicazione/legge/trasformazione) lega le variabili dipendenti a quelle indipendenti, nel senso che ogni volta che cambia l’elemento del dominio, attraverso la funzione, esso si trasforma in un elemento del codominio.
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Consideriamo due insiemi A e B, ed una funzione f tra di essi.
In generale indicheremo con x la variabile indipendente, cioè il generico elemento del dominio di A. Indicheremo con y la variabile dipendente, cioè l’elemento del codominio di B ottenuto dopo la trasformazione mediante f.
In termini matematici si usa scrivere:
f : A B , con x y , oppure ciò che è lo stesso y = f(x)
ovvero, la funzione f è definita in A e con valori in B, ed associa ad ogni elemento x di A, l’elemento y di B.
Equivalentemente si dice che y = f(x) è l’immagine di x mediante f.
Diremo che:
La funzione f è INIETTIVA se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. (fig. 5)
Ossia:
se ogni elemento di B ha al massimo una controimmagine
se non c'è nessun elemento di B che abbia più di una controimmagine se non c'è nessun elemento di B a cui arrivi più di una freccia
La funzione f è SURIETTIVA se ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A. (fig. 6)
Ossia:
se ad ogni elemento di B arriva almeno una freccia
se il codominio della relazione coincide con l'insieme di arrivo B (lo riempie tutto) A B A B
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Data una relazione di A in B, se invertiamo il senso delle frecce otteniamo una relazione inversa da B in A. Se la relazione così ottenuta è ancora univoca, allora anche la funzione f associata alla relazione data è invertibile, e la sua inversa è f-1 : BA.
È ovvio che in questo caso la f di partenza è iniettiva.
Definizione: una funzione che sia iniettiva e suriettiva è detta biiettiva (o corrispondenza biunivoca):
“una funzione f : AB è biunivoca quando ad OGNI elemento di A corrisponde UNO ed UNO SOLO elemento di B, e viceversa”
Un banale esempio di funzione biunivoca è tra “l’insieme dei tappi delle penne” e “l’insieme delle penne”: ad ogni tappo corrisponde una ed una sola penna, e viceversa, ad ogni penna corrisponde uno, ed un solo tappo”.
NOTA: per fare un ulteriore esempio di corrispondenza biunivoca che sarà
importante e fondamentale oggetto di studio per la Geometria Analitica, diamo alcuni cenni sul Piano Cartesiano visto come insieme di tutti i suoi punti:
“ogni punto del piano cartesiano è individuato da una coppia ordinata di
numeri reali dette coordinate, e viceversa, ogni coppia ordinata di numeri reali individua uno, ed uno solo, punto del piano cartesiano”.
Si stabilisce, cioè, una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali, ovvero elementi del prodotto cartesiano di RxR.
