Interpolazione e Approssimazione
Dato un insieme di punti di ascisse e ordinate
(x j , f j ) mi serve qualche volta di avere a di-
sposizione una funzione, di solito con propriet` a
particolari, che passi per tutti questi punti. La
funzione che passa per N punti non ` e certo
unica, ed il procedimento di trovare una di
queste funzioni ` e detto interpolazione
Metodo di Lagrange
Un metodo semplice per interpolare N punti ` e quello dei polinomi di Lagrange. Per fare un esempio il polinomio che passa per tre punti pu` o essere scritto come
P (x) = f 1 (x (x−x2)(x−x
3)
1
− x
2)(x
1− x
3) + f 2 (x (x−x
1)(x−x
3)
2
− x
1)(x
2− x
3) + f 3 (x (x−x
1)(x−x
2)
3
− x
1)(x
3− x
2)
Per un numero di punti grande (per esempio 20)
il polinomio oscilla paurosamente e non rappre-
senta pi` u, con ogni probabilit` a, l’andamento di
una funzione fisicamente significativa.
Spline cubiche
Voglio una funzione che sia almeno continua con derivate prime e seconde; in ogni inter- vallo [x j−1 , x j ] chiedo che la funzione sia un polinomio di terzo grado. Nei punti estremi devo imporre le condizioni di continuit` a per la funzione e le sue derivate prime e seconde
La funzione ` e cubica, quindi le sue derivate sono lineari. Chiamo M j le derivate seconde in x j . Allora
s
′′j (x) = M j−1 x j − x
x j − x j−1 + M j x − x j−1 x j − x j−1 Posto h j = x j − x j−1
s
′j (x) = −M j−1 (x j − x) 2
2h j + M j (x − x j−1 ) 2
2h j + C j
s j (x) = M j−1 (xj6h − x)
3
j
+ M j (x−x 6hj−1)
3
j