Interpolazione e Approssimazione Dato un insieme di punti di ascisse e ordinate (x

Interpolazione e Approssimazione

Dato un insieme di punti di ascisse e ordinate (x _j , f _j ) mi serve qualche volta di avere a dispo- sizione una funzione, di solito con propriet` a particolari, che passi per tutti questi punti, all’interno dell’intervallo tra i punti di ascissa minima e massima. Si possono scegliere di- versi tipi di funzione che passano per questi N punti, ed il procedimento di trovare una di queste funzioni ` e detto interpolazione

Se voglio invece trovare il valore di una fun-

zione definita in [a, b] per x < a oppure x > b

basandomi sulla conoscenza di punti in [a, b],

parlo di estrapolazione. In questo caso i risul-

tati sono molto pi` u incerti.

Metodo di Lagrange

Un metodo semplice per interpolare N punti ` e quello dei polinomi di Lagrange. Per fare un esempio il polinomio che passa per tre punti pu` o essere scritto come

P (x) = f _{1 (x} ^{(x−x 2 )(x−x 3 )}

1 −x ₂ )(x ₁ −x ₃ ) + f _{2 (x} ^{(x−x 1 )(x−x 3 )}

2 −x ₁ )(x ₂ −x ₃ ) + f _{3 (x} ^{(x−x 1 )(x−x 2 )}

3 −x ₁ )(x ₃ −x ₂ )

Il polinomio interpolatore di grado N che in- terpola N punti ha la forma

p(x) =

N X i=0

f _i

N Y j=0, j6=i

x − x _j x _i − x _j

Si pu` o dimostrare che questo polinomio ` e unico.

La capacit` a di questo polinomio di rappresentare

la funzione anche al di fuori degli n punti dipende

dalla funzione: a titolo di esempio sono mostrati

i polinomi interpolatori di sin(x) e di 1/(1+x ² )

per 40 punti.

0 1 2 3 4 5 6 -1

-0,5 0 0,5 1

f(x) = sin(x) 40 punti da interpolare

-4 -2 0 2 4

0

f(x) = 1/(1+x

) 40 punti da interpolare

Questi esempi dimostrano che una soluzione cos`ı semplice pu` o non funzionare anche per funzioni con ottime propriet` a di continuit` a.

Inoltre il tempo per calcolare l’interpolazione

non ` e piccolo.

Spline cubiche

Voglio una funzione che sia almeno continua con derivate prime e seconde; in ogni inter- vallo [x _j−1 , x _j ] chiedo che la funzione sia un polinomio di terzo grado. Nei punti estremi devo imporre le condizioni di continuit` a per la funzione e le sue derivate prime e seconde

La funzione ` e cubica, quindi le sue derivate seconde sono lineari. Chiamo M _j le derivate seconde in x _j . Allora

s ^′′ _j (x) = M _j−1 x _j − x

x _j − x _j−1 + M _j x − x _j−1 x _j − x _j−1 Posto h _j = x _j − x _j−1

s ^′ _j (x) = −M _j−1 (x _j − x) ²

2h _j + M _j (x − x _j−1 ) ²

2h _j + C _j s _j (x) = M _j−1 ^{(x j} _6h ^{−x) 3}

j + M _j ^(x−x _6h ^{j−1 ) 3}

j

+C _j (x − x _j−1 ) + E _j

Condizioni ai limiti Devo imporre

s(x _j−1 ) = f _j−1 e s(x _j ) = f _j e quindi

f _j−1 = M _j−1 h ² _j

6 + E _j

f j = M _j h ² _j

6 + C _j h j + E _j

E _j = f _j−1 − M _j−1 h ² _j 6

C j = f j − f j−1

h j

− h j

6 (M j − M j−1 )

Impongo ora che la spline nell’intervallo j si raccordi con quella nell’intervallo j +1. Questo

` e gi` a vero per la funzione (avendo imposto che

sia uguale a f _j−1 e f _j agli estremi) e per le

derivate seconde (avendo scelto M _j in modo

indipendente dall’intervallo). Rimane da im-

porre la continuit` a delle derivate prime.

Continuit` a delle derivate In x _j

M j

h _j

2 + C _j = −M _j h _j+1

2 + C _j+1

M _j h _j

2 + f _j − f _j−1 h j

− h _j

6 (M _j − M _j−1 ) =

−M _j h _j+1

2 + f _j+1 − f j

h _j+1 − h _j+1

6 (M _j+1 − M _j )

Scrivendo questa come equazione per gli M _j ottengo

l j M j−1 + 2M j + u j M _j+1 = y j

con

l _j = h j

h j + h _j+1 u _j = h _j+1 h j + h _j+1

y j = 6 h _j + h _j+1

 f _j+1 − f _j

h _j+1 − f _j − f _j−1 h _j



Si possono anche imporre le due condizioni:

2M ₀ + u ₀ M ₁ = y ₀ l _N M _{N −1} + 2M _N = y _N

che ` e l’equazione lineare associata ad una ma-

trice tridiagonale

Approssimazione

Se f (x) ` e difficile da calcolare (impiega molto tempo) e mi servono i suoi valori solo con una certa precisione cerco di approssimarla. La va- lidit` a dell’approssimazione non pu` o dipendere da x, quindi voglio la migliore approssimazione uniforme

Uso i polinomi di Chebychev definiti da

T _n (x) = cos(n arccos(x)) − 1 ≤ x ≤ 1 da cui si possono facilmente derivare le re- lazioni di ricorrenza

T ₀ (x) = 1, T ₁ (x) = x, T _n+1 (x) + T _n−1 (x) = 2xT _n (x) e di ortogonalit` a

0 (n 6= m)

Z ₁

−1

T _n (x)T _m (x)

q

1 − x ²

= π (n = m = 0)

π/2 (n = m 6= 0)

Definendo c _j = 2

N

N X k=1

f (x _k )T _j−1 (x _k ) x _k = cos





π(k − ¹ ₂ ) N





e scrivendo f (x) ≈

N X j=1

c _j T _j−1 (x)− ¹ ₂ c ₁ = ¹ ₂ c ₁ +

N X j=2

c _j T _j−1 (x) Si trova che per x = x _k l’approssimazione ` e esatta e che altrove ` e una delle migliori ap- prossimazioni uniformi, cio` e indipendenti da x.

Se la funzione f (x) ` e definita tra a e b posso definire

g(x) = f

 2x

b − a − a + b b − a



e approssimarla tra −1 e +1

Integrazione con i polinomi di Chebychev Una volta approssimata la funzione posso pen- sare di integrarla integrando la funzione ap- prossimata

Z ₊₁

−1 f (x)dx ≈

N X k=1

c _k

Z ₊₁

−1 T _k−1 (x)dx − c ₁

L’integrale di T _k pu` o essere valutato facil- mente con una sostituzione di variabile

Z ₊₁

−1 T _k (x)dx =

Z _π

0 T _k (cos(y)) sin(y)dy =

Z _π

0 cos(k · y) sin(y)dy = 1

k + 1 − 1 k − 1

se k ` e pari, zero altrimenti. Per k = 0 l’integrale vale 2. In conclusione si pu` o integrare con la formula

Z ₊₁

−1 f (x)dx ≈ c ₁ +

N X k=3

c _k ( 1

k − 1

k − 2 )