Interpolazione e Approssimazione Dato un insieme di punti di ascisse e ordinate (x

Interpolazione e Approssimazione

Dato un insieme di punti di ascisse e ordinate

(x

, f

) mi serve qualche volta di avere a di-

sposizione una funzione, di solito con propriet` a

particolari, che passi per tutti questi punti. La

funzione che passa per N punti non ` e certo

unica, ed il procedimento di trovare una di

queste funzioni ` e detto interpolazione

Metodo di Lagrange

Un metodo semplice per interpolare N punti ` e quello dei polinomi di Lagrange. Per fare un esempio il polinomio che passa per tre punti pu` o essere scritto come

P (x) = f

1−x₂)(x₁−x₃)

+ f

2−x₁)(x₂−x₃)

+ f

3−x₁)(x₃−x₂)

Per un numero di punti grande (per esempio 20)

il polinomio oscilla paurosamente e non rappre-

senta pi` u, con ogni probabilit` a, l’andamento di

una funzione fisicamente significativa.

Spline cubiche

Voglio una funzione che sia almeno continua con derivate prime e seconde; in ogni inter- vallo [x

, x

] chiedo che la funzione sia un polinomio di terzo grado. Nei punti estremi devo imporre le condizioni di continuit` a per la funzione e le sue derivate prime e seconde

La funzione ` e cubica, quindi le sue derivate sono lineari. Chiamo M

le derivate seconde in x

. Allora

s

(x) = M

x

− x

x

− x

+ M

x − x

x

− x

Posto h

= x

− x

s

(x) = −M

(x

− x)

2h

+ M

(x − x

)

2h

+ C

s

(x) = M

j

+ M

j

+C

(x − x

) + E

Condizioni ai limiti

Devo imporre

s(x

) = f

e s(x

) = f

e quindi

f_j−1 = M_j−1h²_j

6 + E_j f_j = M_jh²_j

6 + C_jh_j + E_j Ej = f_j−1 − Mj−1

h²_j 6 Cj = f_j − f_j−1

h_j − h²_j

6 (M_j − Mj−1)

Impongo ora che la spline nell’intervallo j si raccordi con quella nell’intervallo j +1. Questo

` e gi` a vero per la funzione (avendo imposto che

sia uguale a f

e f

agli estremi) e per le

derivate seconde (avendo scelto M

in modo

indipendente dall’intervallo). Rimane da im-

porre la continuit` a delle derivate prime.

Continuit` a delle derivate In x

Mjhj

2 + Cj = −Mjh_j+1

2 + C_j+1

M_jhj

2 + fj − fj−1

hj

− hj

6 (M_j − M_j−1) =

−M_jh_j+1

2 + f_j+1 − f_j

h_j+1 − h_j+1

6 (M_j+1 − M_j)

Scrivendo questa come equazione per gli M

ottengo

l_jM_j−1 + 2M_j + u_jM_j+1 = y_j con

l_j = h_j

h_j + h_j+1 u_j = h_j+1 h_j + h_j+1

yj = 6 h_j + h_j+1

f_j+1 − f_j

h_j+1 − f_j − f_j−1 h_j



Si possono anche imporre le due condizioni 2M

+ u

M

= y

l

M

+ 2M

= y

che ` e l’equazione lineare associata ad una ma- trice tridiagonale

Un caso particolare sono le condizioni al con-

torno naturali, in cui si prendono le derivate

agli estremi nulle.

Approssimazione

Se f (x) ` e difficile da calcolare (impiega molto tempo) e mi servono i suoi valori solo con una certa precisione

Uso i polinomi di Chebychev definiti da

T

(x) = cos(n arccos(x)) − 1 ≤ x ≤ 1 da cui si possono facilmente derivare le pro- priet` a

T

(x) = 1 T

(x) = x T

(x) + T

(x) = 2xT

(x) le relazioni di ortogonalit` a

0 (n 6= m)

Z ₁

−1

T

(x)T

(x)

q

1 − x

= π (n = m = 0)

π/2 (n = m 6= 0)

Definendo c

= 2

N

N X

k=1

f (x

)T

(x

) x

= cos( π(k −

)

N )

e scrivendo

f (x) ≈

N X

j=1

c

T

(x) − 1

2 c