esame12022014_sol.pdf

(1)

_{Principi
di
Ing.
Elettrica
-‐
Allievi
Meccanici} ESERCIZIO 1 (7 Punti)

Re

2/3p

E1

E3

E2

Sia data la rete trifase di Figura alimentata con una terna di tensioni simmetrica diretta a frequenza 50 Hz. Dati:

R = 24 Ω, X = 18 Ω E1 = E2 = E3 = 220 V

Si determini l’indicazione del wattmetro W

[Per il calcolo dell’indicazione del wattmetro è necessario calcolare la corrente Iw entrante nel morsetto contrassegnato e la tensione Vw secondo le convenzioni indicate in figura. Si nota che la resistenza connessa tra la fase 1 e la fase 2 e la reattanza sulla fase 2 sono in parallelo. Ridisegnando la rete trifase si ottiene:

-‐ fase 1: generatore E1 con in parallelo la resistenza R

-‐ fase 2: generatore E2 collegato all’ impedenza costituita dal parallelo di R e jX

(Zpar=(R*jX/(R+jX))=8.64+j11,52 Ω)

-‐ fase 3: generatore E3 con in parallelo l’impedenza jX

Chiamando I fase2 la corrente che interessa Zpar e I fase3 la corrente che interessa l’impedenza della fase 3 (R+jX), si ottiene che la corrente Iw è data dalla legge al nodo dalla somma delle tre correnti: E1/R+Ifase2+Ifase3, dove Ifase2=(E1-‐E2)/Zpar=24.33-‐j10.39 A e Ifase3=(E1-‐

E2)/(R+jX)=4.98-‐j11.68 A, quindi Iw= 38.49-‐j22.075 A. La tensione Vw è pari a E1-‐E2= 330+j190.53 V e l’indicazione del Wattmetro è data dalla parte reale del prodotto di tensione per coniugato della corrente, Pw= 8.4961 kW ]

ESERCIZIO 2 (7 punti)

Sia dato il sistema magnetico di Figura alimentato in regime stazionario. Dati: R1 = 12 Ω, R2 = 8 Ω I1 = 10 A, E1 = 40 V Afe = 10 cm2 , δ = 3 mm µfe = ∞, µ0 = 4π 10 -‐7 H/m N1 = 100 , N2 = 75

Si determinino i coefficienti di auto e mutua induttanza L1, L2, M e l’energia accumulata nel campo magnetico

R

W

X

R

X

R

E

1

E2

E3

I1

E1

R

1

R2

R1

Afe

d

µfe = ∞

N1

_N2

(2)

_{Principi
di
Ing.
Elettrica
-‐
Allievi
Meccanici}

[Per il calcolo delle auto e mutua induttanza si disegna il

circuito magnetico costituito da due maglie separate da un corto circuito magnetico. Si trova

Θδ=δ/(µo*Afe)= 2.3873 * 106_H-‐1_{.
L’induttanza
L1
è
data
da
N1}2_/_{Θeq1=
0.0042
H
con
Θeq1=Θδ,} l’induttanza L2 è data da da N22_/_{Θeq2=
0.0012
H
con
Θeq1=2Θδ,
la
mutua
è
nulla
essendoci
un
corto} circuito magnetico. Per il calcolo delle correnti Ia e Ib che interessano le N1 e N2 spire rispettivamente si deve risolvere la rete elettrica. La corrente Ib è data da Ib=E1/R=3.33 A, la corrente Ia si puo’ calcolare trasformando I1-‐R1 nell’equivalente serie e facendo una legge alla maglia, si ottiene quindi Ia=R1*I1-‐ E/(2R2+R1)= 2.8571 A. So calcola quindi l’energia come W=1/2*L1*Ia2_+1/2*L1*Ib2_{=
0.0236
J]}

ESERCIZIO 3 (8 punti)

Sia data la rete in regime stazionario indicata in Figura. All’istante t=0 si apre l’interruttore S. Si trovi l’espressione nel tempo della corrente iR4 e se ne rappresenti l’andamento qualitativo nel tempo. Dati:

R1 = 2 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 5 Ω, R4 = 8 Ω, R5 = 10 Ω L = 50 mH

E2 = 12 V, A1 = 4 A

[Si considerano tre istanti: t0-‐, t0+ e tinf. In t01 si calcola la corrente nell’induttore e la corrente iR4. La rete elettrica è costituita da due reti disaccoppiate vista la presenza del corto circuito dovuto all’interruttore S chiuso. Si trova la corrente iL0-‐ semplificando la parte di sinistra della rete con il suo equivlaente serie costituito da un generatore di tensione Vth=R1*A1 in serie ad una resistenza equivalente data da

Req=R1+R2+R3. La corrente iL0-‐=Vth/Req = 0.8 A in alternativa la corrente iL0-‐ si puo’ calcolare applicando la regola del partitore di corrente iL0-‐=A1*R1/(R1+R2+R3) = 0.8 A, la corrente iR4t0-‐=-‐E2/R4=-‐1.5 A. In t0+ si sostituisce l’induttore con un generatore di corrente pari a iL0-‐ e si calcola la corrente iR4. La rete è costituita da Vth in serie a Rth in serie al generatore di corrente iL0-‐ in serie al parallelo tra E2-‐R4 e R5. Si applica Millmann per trovare la tensione ai capi di E2-‐R4, VE2-‐R4=(iL0-‐+E2/R4)/(1/R4+1/R5)= 10.22 V. Si trova quindi iR4t0+=, (VE2-‐R4-‐E2)/R4 = -‐ 0.222 A. in tinf l’induttanza è sostituita da un corto circuito si calcola con Millmann la nuova tensione , VE2-‐R4_inf=(Vth/Rth+E2/R4)/(1/Rth+1/R4+1/R5) = 7.0769V da cui si ottiene la iR4ainf= (VE2-‐ R4_inf-‐E2)/R4 = -‐0.6154 A. La costante di tempo τ è data da τ=L/Req dove Req=Rth+(R4*R5)/(R4+R5) =14.44

Ω e τ= 0.0035s si ottiente quindi iR4(t)= (iR40+-‐iR4inf)*e-‐t/τ+iR4inf]

TEORIA (4 punti + 4 punti)

1. Si enunci e si dimostri il teorema di Thevenin.

2. Si descriva il circuito equivalente del trasformatore monofase e si indichino le prove necessarie per l’identificazione dei parametri

2

R

1

R

A

1

S

L

4

R

2

E

3

R

4 R

i

R

5