Appello scritto del 12 febbraio 2015 Ingegneria dellInformazione - testi e soluzioni

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Corso di Laurea in Ingegneria dell’informazione - Fisica Generale 2 Prova scritta d’esame del 12 Febbraio 2015 - Tempo a disposizione: 2:30 ore

Nome e Cognome: ………. No. di matricola: …….….…………

Problema 1 (10 punti)

In figura è mostrata una carica q inizialmente ferma perché vincolata nel punto O, centro di un quarto di arco di circonferenza di raggio R formato da un filo conduttore carico con densità lineare di carica +. Una volta lasciata libera, la carica subisce un’accelerazione iniziale a. Inoltre si misura che la d.d.p. tra il punto O e il punto P, posto ad una distanza d da esso lungo l’asse

x, è uguale a V e che, quando la carica è in P, possiede la velocità v(P). Si determini:

1. la direzione ed il verso della accelerazione iniziale a; (1 punto) 2. il valore della densità lineare di carica ; (4 punti)

3. il valore della massa m della carica; (3 punti)

4. il valore del campo elettrico nel punto O, E(O). (2 punti)

Nella risoluzione del problema si trascuri il campo elettrico generato dalla carica q. Dati: q=1 nC, R=1 m, a=12.7 m/s2, V=10 kV, v(P)=4.47 m/s.

Soluzione

Si prenda in considerazione il campo elettrico in O generato dalla generica carica dq posta sul conduttore. Si vede subito dalle proprietà di simmetria che le componenti y dei generici campi elettrici dE(O) si annullano reciprocamente. Quindi, il campo elettrico totale sarà diretto come l’asse delle ascisse. Pertanto, considerando che il filo conduttore ha densità di carica positiva, la direzione ed il verso del vettore accelerazione sarà quella dell’asse delle ascisse mostrato in figura. Prendendo le sole componenti x del campo elementare

dE(O) si ha:

dE

x

(O)  1

4

0

dq

R

2

cos

4

0

ds

R

2

cos

4

0

cos

R

d

avendo utilizzato le note relazioni

dq

ds

e

ds 

Rd

. Il campo elettrico totale dovuto alla distribuzione di carica vale:

E

x

(O) 

4

0

R

-/4

cos

d

/4

2

4

0

R

.

La forza che agisce sulla carica nel punto O si scrive:

F

 m a  q

2

4

0

R

 

4

0

Rm a

2 q

In questa equazione sono presenti due incognite, m e . Si può scrivere una seconda equazione da considerazioni sulla conservazione dell’energia meccanica. Partendo la carica con velocità nulla e possedendo in P una velocità nota si può scrivere la seguente relazione:

q

V 

1

2

m v

2

(P)  m 

2qV

v

2

(P)

1 ng Di conseguenza si ottiene:  1 μC/m e E(O)12,7 kV/m.

O

q

x

O q dE(O) x y

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Problema 2 (10 punti)

Si prenda in esame il circuito riportato in figura. Al tempo t0=0 con il condensatore scarico si chiude il circuito agendo sull’interruttore T.

Essendo noti i valori di f, R2 e C si chiede di determinare:

1. il valore di R1 affinché, dopo una costante di tempo, la carica del condensatore sia uguale a Q(); (4 punti)

2. il valore della costante di tempo del circuito; (2 punti) 3. il valore a regime della carica del condensatore; (2 punti)

4. Il valore della corrente massima e minima erogata dal generatore. (2 punti)

Dati: f=10V, R2=10KΩ, C=100nF, Q()=580nC Soluzione

La f.e.m. e la resistenza di Thevenin è:

f

t h  f  I R1 ; Rt h

R1R2 R1 R2

Essendo il condensatore scarico al tempo iniziale, il processo di carica del condensatore segue la legge: Q(t )  Cft h

1  et /

 Q(t )  fC R2 R1 R2         1  e

t /

Per t= si ottiene: Q()  fC R2 R1 R2         1  e

1

 R1 fCR2

1  e1

Q()  R2 896

La costante di tempo del circuito vale =825 s. La carica a regime sul condensatore è:

Q(t  )  fCR2

R1 R2  910 nC .

La corrente massima si ha nel momento della chiusura dell’interruttore dato che il condensatore si comporta come un cortocircuito. La corrente minima sarà quella fornita quando il condensatore è carico. Pertanto si ha:

I MAXf R1  11.1 mA ; Imin f R1 R2  0.92 mA R1 T f C R2

(3)

Problema 3 (10 punti)

La spira quadrata di lato a in figura è caratterizzata da una resistenza

R e da una induttanza L. Essa si trova a distanza d da un filo

rettilineo indefinito percorso dalla corrente if=i0t/T nell’intervallo

0  t  T. Per t  0 e t  T nel filo rettilineo non scorre corrente. Si calcoli:

1) l’intensità e il verso della corrente che scorre nella spira all’istante

t=T/2 (4 punti);

2) l’intensità della corrente che scorre nella spira all’istante t=2T (3 punti); 3) l’energia complessivamente dissipata dalla resistenza.

Dati: i0=100A, d=0.1m, a=1m, R=1Ω, L=100mH, T = 0.2s Soluzione:

Il campo generato dal filo ha l’espressione:

,

dove n⌢ è la normale uscente dal foglio. Il flusso calcolato rispetto alla normale vale: con M 0a 2 ln 1  ad      .

Nell’intervallo 0  t  T viene dunque indotta la forza elettromotrice costante

che è positiva nel verso indicato in figura. Nello stesso intervallo di tempo la spira si comporta dunque come un circuito RL nella fase di carica e la corrente varia secondo la legge:

i c(t )  fi R 1  e t /

con   L / R. Si trova quindi i(T/2)=0.15mA.

Per t>T non c’è più corrente nel filo rettilineo e, pertanto, l’induttanza di scarica con legge

is  ic(T)e(t T )/

da cui si calcola is(2T)=280nA.

L’energia dissipata durante la fase di carica vale:

E c  R ic 2(t )dt fi 2 R T  2 1  e T /

 2 1  e 2T /

        0 T

.

D’altra parte l’energia dissipata durante la scarica coincide con quella accumulata nella induttanza fino al tempo T, che è pari:

E

s  12Lic

2(T).

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Problema 3 (10 punti)

Una quantità di gas ideale monotomico pari a n=2.3 moli compie il ciclo rappresentato in figura, composto da una isoterma reversibile AB, un’adiabatica reversibile BC e un’isobara irreversibile CA. Sapendo che TA=300K, pB/pA=2.3 e che nel tratto CA il sistema scambia

calore con una miscela di acqua e ghiaccio a 0°C, si chiede di calcolare: 1) La temperatura TC; (2 punti)

2) La quantità mg di ghiaccio sciolta durante ogni espansione isobara CA; (2 punti)

3) il lavoro dell’espansione isobara CA; (2 punti);

3) Il coefficiente di prestazione della macchina frigorifera (2 punti)

4) La variazione di entropia in un ciclo del sistema e dell’ambiente, assumendo che gli scambi di calore avvengano solo con la sorgente a temperatura TA e con la miscela acqua-ghiaccio (2

punti).

Nota: si ricorda che il calore latente di fusione del ghiaccio è λ = 3.3 x 105 J/kg.

Soluzione

Sfruttando la relazione tra stati di equilibrio lungo l’adiabatica e notando che pA = pC, è

possibile calcolare direttamente TC dai dati del problema:

T BpB (1)/  T CpC (1)/  T C  TB pB p C         (1)/  215K

con γ=5/3. La quantità di calore scambiato con il ghiaccio lungo l’isobara irreversibile CA è calcolabile a partire dal 1° principio della termodinamica osservando che l’energia interna è una funzione di stato e che il lavoro per l’isobara è sempre p∆V. Utilizzando l’equazione dei gas perfetti si ottiene:

QCA  ncv

TA TC

 pC

VA VC

 ncp

TA TC

 4100J.

Questo risultato ci assicura che l’irreversibilità della trasformazione isobara è solo dovuta alla presenza di una sola sorgente di calore: la miscela acqua-ghiaccio. La quantità di calore QCA è

ceduta dalla miscela acqua-ghiaccio e la parte di ghiaccio che si fonde è uguale a:

Q

CAmg  mg

QCA

  12g

Il lavoro prodotto dalla espansione isobara vale:

WCA  pC

VA VC

 nR T

A TC

 1625J.

Per calcolare il coefficiente di prestazione, occorre conoscere anche il calore ceduto lungo l’isoterma TA: Q AB  WAB pV A B

 nRTAln VB V A          nRTAln P A p B          4800J. E’ possibile ora calcolare il coefficiente di prestazione:

  Qassorbito W TOTQCA Q CA QAB  5.8.

La variazione di entropia su un ciclo è nulla mentre quella dell’ambiente termodinamico è legata agli scambi di calore con le due sorgenti:

S   QAB T AQCA T0          1.004J/K dove T0 = 273 K è la temperatura della miscela acqua-ghiaccio.

figura

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