Corso di Laurea in Ingegneria dell’informazione - Fisica Generale 2 Prova scritta d’esame del 12 Febbraio 2015 - Tempo a disposizione: 2:30 ore
Nome e Cognome: ………. No. di matricola: …….….…………
Problema 1 (10 punti)
In figura è mostrata una carica q inizialmente ferma perché vincolata nel punto O, centro di un quarto di arco di circonferenza di raggio R formato da un filo conduttore carico con densità lineare di carica +. Una volta lasciata libera, la carica subisce un’accelerazione iniziale a. Inoltre si misura che la d.d.p. tra il punto O e il punto P, posto ad una distanza d da esso lungo l’asse
x, è uguale a V e che, quando la carica è in P, possiede la velocità v(P). Si determini:
1. la direzione ed il verso della accelerazione iniziale a; (1 punto) 2. il valore della densità lineare di carica ; (4 punti)
3. il valore della massa m della carica; (3 punti)
4. il valore del campo elettrico nel punto O, E(O). (2 punti)
Nella risoluzione del problema si trascuri il campo elettrico generato dalla carica q. Dati: q=1 nC, R=1 m, a=12.7 m/s2, V=10 kV, v(P)=4.47 m/s.
Soluzione
Si prenda in considerazione il campo elettrico in O generato dalla generica carica dq posta sul conduttore. Si vede subito dalle proprietà di simmetria che le componenti y dei generici campi elettrici dE(O) si annullano reciprocamente. Quindi, il campo elettrico totale sarà diretto come l’asse delle ascisse. Pertanto, considerando che il filo conduttore ha densità di carica positiva, la direzione ed il verso del vettore accelerazione sarà quella dell’asse delle ascisse mostrato in figura. Prendendo le sole componenti x del campo elementare
dE(O) si ha:
dE
x(O) 1
4
0dq
R
2cos
4
0ds
R
2cos
4
0cos
R
d
avendo utilizzato le note relazioni
dq
ds
eds
Rd
. Il campo elettrico totale dovuto alla distribuzione di carica vale:E
x(O)
4
0R
-/4cos
d
/4
2
4
0R
.La forza che agisce sulla carica nel punto O si scrive:
F
m a q
2
4
0R
4
0Rm a
2 q
In questa equazione sono presenti due incognite, m e . Si può scrivere una seconda equazione da considerazioni sulla conservazione dell’energia meccanica. Partendo la carica con velocità nulla e possedendo in P una velocità nota si può scrivere la seguente relazione:
q
V
1
2
m v
2
(P) m
2qV
v
2(P)
1 ng Di conseguenza si ottiene: 1 μC/m e E(O)12,7 kV/m.
O
q
x
O q dE(O) x y Problema 2 (10 punti)
Si prenda in esame il circuito riportato in figura. Al tempo t0=0 con il condensatore scarico si chiude il circuito agendo sull’interruttore T.
Essendo noti i valori di f, R2 e C si chiede di determinare:
1. il valore di R1 affinché, dopo una costante di tempo, la carica del condensatore sia uguale a Q(); (4 punti)
2. il valore della costante di tempo del circuito; (2 punti) 3. il valore a regime della carica del condensatore; (2 punti)
4. Il valore della corrente massima e minima erogata dal generatore. (2 punti)
Dati: f=10V, R2=10KΩ, C=100nF, Q()=580nC Soluzione
La f.e.m. e la resistenza di Thevenin è:
f
t h f I R1 ; Rt h
R1R2 R1 R2
Essendo il condensatore scarico al tempo iniziale, il processo di carica del condensatore segue la legge: Q(t ) Cft h
1 et /
Q(t ) fC R2 R1 R2 1 e
t /
Per t= si ottiene: Q() fC R2 R1 R2 1 e
1
R1 fCR2
1 e1
Q() R2 896La costante di tempo del circuito vale =825 s. La carica a regime sul condensatore è:
Q(t ) fCR2
R1 R2 910 nC .
La corrente massima si ha nel momento della chiusura dell’interruttore dato che il condensatore si comporta come un cortocircuito. La corrente minima sarà quella fornita quando il condensatore è carico. Pertanto si ha:
I MAX f R1 11.1 mA ; Imin f R1 R2 0.92 mA R1 T f C R2
Problema 3 (10 punti)
La spira quadrata di lato a in figura è caratterizzata da una resistenza
R e da una induttanza L. Essa si trova a distanza d da un filo
rettilineo indefinito percorso dalla corrente if=i0t/T nell’intervallo
0 t T. Per t 0 e t T nel filo rettilineo non scorre corrente. Si calcoli:
1) l’intensità e il verso della corrente che scorre nella spira all’istante
t=T/2 (4 punti);
2) l’intensità della corrente che scorre nella spira all’istante t=2T (3 punti); 3) l’energia complessivamente dissipata dalla resistenza.
Dati: i0=100A, d=0.1m, a=1m, R=1Ω, L=100mH, T = 0.2s Soluzione:
Il campo generato dal filo ha l’espressione:
,
dove n⌢ è la normale uscente dal foglio. Il flusso calcolato rispetto alla normale vale: con M 0a 2 ln 1 ad .
Nell’intervallo 0 t T viene dunque indotta la forza elettromotrice costante
che è positiva nel verso indicato in figura. Nello stesso intervallo di tempo la spira si comporta dunque come un circuito RL nella fase di carica e la corrente varia secondo la legge:
i c(t ) fi R 1 e t /
con L / R. Si trova quindi i(T/2)=0.15mA.Per t>T non c’è più corrente nel filo rettilineo e, pertanto, l’induttanza di scarica con legge
is ic(T)e(t T )/
da cui si calcola is(2T)=280nA.
L’energia dissipata durante la fase di carica vale:
E c R ic 2(t )dt fi 2 R T 2 1 e T /
2 1 e 2T /
0 T
.D’altra parte l’energia dissipata durante la scarica coincide con quella accumulata nella induttanza fino al tempo T, che è pari:
E
s 12Lic
2(T).
Problema 3 (10 punti)
Una quantità di gas ideale monotomico pari a n=2.3 moli compie il ciclo rappresentato in figura, composto da una isoterma reversibile AB, un’adiabatica reversibile BC e un’isobara irreversibile CA. Sapendo che TA=300K, pB/pA=2.3 e che nel tratto CA il sistema scambia
calore con una miscela di acqua e ghiaccio a 0°C, si chiede di calcolare: 1) La temperatura TC; (2 punti)
2) La quantità mg di ghiaccio sciolta durante ogni espansione isobara CA; (2 punti)
3) il lavoro dell’espansione isobara CA; (2 punti);
3) Il coefficiente di prestazione della macchina frigorifera (2 punti)
4) La variazione di entropia in un ciclo del sistema e dell’ambiente, assumendo che gli scambi di calore avvengano solo con la sorgente a temperatura TA e con la miscela acqua-ghiaccio (2
punti).
Nota: si ricorda che il calore latente di fusione del ghiaccio è λ = 3.3 x 105 J/kg.
Soluzione
Sfruttando la relazione tra stati di equilibrio lungo l’adiabatica e notando che pA = pC, è
possibile calcolare direttamente TC dai dati del problema:
T BpB (1)/ T CpC (1)/ T C TB pB p C (1)/ 215K
con γ=5/3. La quantità di calore scambiato con il ghiaccio lungo l’isobara irreversibile CA è calcolabile a partire dal 1° principio della termodinamica osservando che l’energia interna è una funzione di stato e che il lavoro per l’isobara è sempre p∆V. Utilizzando l’equazione dei gas perfetti si ottiene:
QCA ncv
TA TC
pC
VA VC
ncp
TA TC
4100J.Questo risultato ci assicura che l’irreversibilità della trasformazione isobara è solo dovuta alla presenza di una sola sorgente di calore: la miscela acqua-ghiaccio. La quantità di calore QCA è
ceduta dalla miscela acqua-ghiaccio e la parte di ghiaccio che si fonde è uguale a:
Q
CAmg mg
QCA
12g
Il lavoro prodotto dalla espansione isobara vale:
WCA pC
VA VC
nR T
A TC
1625J.Per calcolare il coefficiente di prestazione, occorre conoscere anche il calore ceduto lungo l’isoterma TA: Q AB WAB pV A B
nRTAln VB V A nRTAln P A p B 4800J. E’ possibile ora calcolare il coefficiente di prestazione: Qassorbito W TOT QCA Q CA QAB 5.8.
La variazione di entropia su un ciclo è nulla mentre quella dell’ambiente termodinamico è legata agli scambi di calore con le due sorgenti:
S QAB T A QCA T0 1.004J/K dove T0 = 273 K è la temperatura della miscela acqua-ghiaccio.