ITSC05 - Specifiche di Progetto

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Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235

e-mail: secchi.cristian@unimore.it

http://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi

INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO

Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica

SPECIFICHE DI PROGETTO

DI SISTEMI DI CONTROLLO

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Tipi di Specifiche

Nel progetto di un sistema di controllo, il progettista cerca di far sì che il sistema in retroazione complessivo abbia alcune caratteristiche statiche e/o dinamiche desiderate. Queste caratteristiche vengono usualmente assegnate come

specifiche che il sistema deve soddisfare in condizioni statiche (o di regime) e

durante i transitori. Tali specifiche possono essere definite sia nel dominio temporale che nel dominio frequenziale e riguardano in generale:

• precisione a regime: capacità di un sistema di seguire alcuni segnali di

riferimento con il minimo errore.

• risposta nel transitorio: andamento per tempi finiti dell’uscita del sistema

in retroazione in risposta a tipici segnali in ingresso.

• stabilità relativa: rifacendosi ai diagrammi di Nyquist, è possibile valutare il

“grado” di stabilità di un sistema osservando la “distanza” del diagramma polare dal punto critico _{−1 + j0. Si possono quindi definire parametri che} permettono di valutare la stabilità relativa di un sistema discreto, in modo analogo a quanto fatto per quelli continui (margini di stabilità);

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Tipi di specifiche

• sensitività parametrica: si desidera che le prestazioni del sistema non

vengano alterate da variazioni dei parametri rispetto ai valori nominali.

• reiezione di disturbi: capacità del sistema controllato di ridurre al minimo

l’influenza sull’uscita di eventuali disturbi che entrano nell’anello di controllo, quali errori di misura, variazioni di carico, rumore sulle variabili acquisite, ecc.;

• azione di controllo: vincoli sull’ampiezza massima della variabile

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Errori a regime

D(s) G(s) j - - -6 -E(s) R(s) C(s) • Dato il sistema G(s) = K(1 + sq1)(1 + sq2) . . . (1 + sqm) sN_{(1 + sp} 1)(1 + sp2) . . . (1 + spp)

si definisce tipo del sistema il numero N di poli di G(s) presenti nell’origine.

• Il tipo indica il numero di integratori presenti nel sistema. Un sistema di tipo 0 non presenta integratori puri tra ingresso ed uscita, un sistema di tipo 1 ne presenta uno ...

• Nel caso discreto la definizione di tipo fa riferimento al numero di poli nel punto z = 1.

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Errori a regime

Si consideri il seguente sistema di controllo digitale a retroazione unitaria:

D(z) Hold P (s) -j -R(z) E(z) C(z) -HP (z) -6

La funzione di trasferimento discreta del ramo diretto è G(z) = D(z)HP (z)

con (nel caso di ricostruttore di ordine 0)

HP (z) = (1 − z−1)Z

P (s) s

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Errori a regime

E(z) = R(z) − G(z)E(z) E(z) = 1

1 + G(z)R(z)

Assumendo che il sistema stabile, é possibile calcolare l’errore a regime mediante il teorema del valore finale:

e_reg = lim_k_→∞ e(k) = lim_z_→1 (1 − z−1)E(z) = lim_z_→1 (1 − z−1)_1+G(z)1 R(z) = lim_z_→1 z−1 z 1 1+G(z)R(z)

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Errore di posizione

Si consideri come riferimento un gradino di ampiezza r₀: R(z) = r0

1 − z−1 L’errore a regime vale:

e_p = lim z→1 (1 − z−1) 1 1 + G(z) r₀ 1 − z−1 = lim z→1 r₀ 1 + G(z)

Definendo la costante di posizione (o costante di guadagno) come k_p = lim

z→1 G(z) (1)

L’errore a regime e_p diventa

e_p = r0

1 + k_p (2)

Per valori finiti di k_p l’errore a regime è sempre non nullo, mentre si ha e_p = 0

solo nel caso in cui k_p = ∞. La condizione k_p = ∞ è verificata per sistemi di tipo 1, 2, . . .

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Errore di velocità

Si consideri come riferimento un segnale a rampa: R(z) = T z

−1_r

0

(1 − z−1)2

L’errore a regime vale e_v = lim z→1 (1 − z−1) 1 1 + G(z) T z−1r₀ (1 − z−1)2 = lim z→1 T r₀ (1 − z−1)G(z)

Definendo la costante di velocità come k_v = lim

z→1

(1 − z−1)G(z) T

l’errore a regime diventa

e_v = r0 k_v

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Errore di velocità

Per valori finiti di k_v l’errore a regime per ingresso a rampa assume valori non nulli, mentre si ha e_v = 0 solo per k_v = ∞. Questa condizione è verificata per sistemi di tipo 2,3, . . . , mentre non lo è per sistemi di tipo 0 e 1. Si noti infine che per sistemi di tipo 0, si ha k_v = 0 e quindi l’errore diverge.

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Errore di accelerazione

Si consideri come riferimento un segnale parabolico: R(z) = T

2_z−1_{(1 + z}−1_)r 0

2(1 − z−1)3

Applicando il teorema del valore finale, l’errore a regime vale e_a = lim z→1 (1 − z−1) 1 1 + G(z) T2z−1(1 + z−1)r₀ 2(1 − z−1)3 = lim z→1 T2r₀ (1 − z−1)2G(z)

Definendo la costante di accelerazione come k_a = lim

z→1

(1 − z−1)2G(z) T2

l’errore a regime per ingresso a parabola vale e_a = r0

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Errore di accelerazione

Per valori finiti di k_a risulta e_a _{= 0, mentre e}_a = 0 solo per k_a = ∞, condizione verificata per sistemi di tipo 3, 4, . . . . Per sistemi di tipo 0 e 1 si ha k_a = 0 e quindi l’errore diverge.

Per trovare l’errore a regime nel caso di segnali canonici di grado superiore (cubici, ...) si prosegue esattamente nello stesso modo.

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Esempio:

sistema di tipo 0

G(z) = z

−1

1 − 0.5z−1 con T = 0.25 s.

Le costanti di errore di posizione, velocità ed accelerazione si ottiene: k_p = lim z→1 G(z) = 2 k_v = lim z→1 (1 − z−1)G(z) T = 0 k_a = lim z→1 (1 − z−1)G(z) T2 = 0

e quindi gli errori per ingresso a gradino, rampa e parabola sono rispettivamente (r₀ = 1): e_p = 1 1 + 2 = 0.333, ev = 1 0 = ∞, ea = 1 0 = ∞

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Esempio:

sistema di tipo 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Sistema di ordine 0 con ingresso a gradino

y 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Errore 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Sistema di ordine 0 con ingresso a rampa

y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Errore 0 1 2 3 4 5 6 7

8 Sistema di ordine 0 con ingresso a parabola

y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Errore

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Esempio:

sistema di tipo 1

G(z) = 0.3z −2 1 − 1.2z−1 + 0.2z−2 = 0.3z−2 (1 − z−1)(1 − 0.2z−1) con T = 0.5 s.

Le costanti di errore di posizione, velocità ed accelerazione sono: k_p = lim z→1G(z) = ∞ k_v = lim z→1 (1 − z−1)G(z) T = 0.75 k_a = lim z→1 (1 − z−1)G(z) T2 = 0

e quindi gli errori per ingresso a gradino, rampa e parabola sono rispettivamente (r₀ = 1):

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Esempio:

sistema di tipo 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sistema di ordine 1 con ingresso a gradino

y -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Errore 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sistema di ordine 1 con ingresso a rampa

y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Errore 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

50 Sistema di ordine 1 con ingresso a parabola

y 0 2 4 6 8 10 12 14 Errore

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Specifiche sul transitorio

• Il comportamento di un sistema dinamico stabile a partire da certe

condizioni iniziali (tipicamente di quiete) in risposta a sollecitazioni esterne può essere distinto in una fase di evoluzione transitoria, di durata limitata, ed una fase a regime, che viene raggiunta in pratica per t sufficientemente grande. Le caratteristiche del transitorio sono di particolare interesse per il progetto del sistema di controllo.

• Solitamente, le specifiche che il sistema in retroazione deve soddisfare nel transitorio sono riferite alla risposta del sistema al segnale a gradino.

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Specifiche sul transitorio

Nel caso tempo-continuo, si definiscono le seguenti caratteristiche temporali della risposta a gradino:

• tempo di salita T_s: tempo impiegato dall’uscita per passare dal 10% al 90% (o anche dal 5% al 95%) del valore finale;

• tempo di assestamento T_a: tempo oltre il quale l’uscita si discosta meno del 5% rispetto al valore finale (si può considerare, con specifiche più

restrittive, anche lo scostamento del 2%);

• tempo di ritardo T_r: tempo richiesto perché l’uscita raggiunga il 50% del valore finale;

• istante di massima sovraelongazione T_m: istante di tempo in cui si ha la massima sovraelongazione;

• massimo sorpasso o massima sovraelongazione S: valore del massimo

scostamento dell’uscita rispetto al valore di regime c(_{∞). Solitamente S è} definito in valore percentuale rispetto al valore di regime:

S = c(Tm) − c(∞) c(∞) 100

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Specifiche sul transitorio

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ta | 0.05 S Tm | Tr | Ts c(t) t

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Specifiche sul transitorio per sistemi del

2

o

ordine

• Queste grandezze sono quantificate in rapporto a sistemi del secondo

ordine, e sono direttamente collegate alla posizione nel piano s della coppia di poli del sistema.

• Nel caso di sistemi di ordine superiore, nella quasi totalità dei casi di interesse pratico, è presente una coppia di poli dominanti, cioè di una coppia di poli a parte reale (negativa) in modulo molto minore della parte reale di altri poli eventualmente presenti nel sistema. In tal caso, le stesse formule valide per i sistemi del secondo ordine continuano ad essere

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Specifiche sul transitorio per sistemi del

2

o

ordine

Si consideri un sistema del secondo ordine:

G(s) = ω

2

n

s2 + 2δω_n + ω_n2

dove δ è il coefficiente di smorzamento e ω_n la pulsazione naturale del sistema. La posizione della coppia di poli nel piano s è data da:

-6 f jω α ω_n jω_n√1 − δ2 σ 0 S S S SS −δωn f

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Specifiche sul transitorio per sistemi del

2

o

ordine

• tempo di salita (da 0% a 100%):

T_r = π − α ω_n√1 − δ2

• istante di massimo sorpasso:

T_m = π

ω_n√1 − δ2

• massimo sorpasso percentuale:

S = 100 [c(T_m) − 1] = 100e− δπ √ 1−δ2 • tempo di assestamento T_a = 3 δω_n (al 5 %), oppure Ta = 4 δω_n (al 2 %)

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Specifiche sul transitorio per sistemi del

2

o

ordine

• La massima sovraelongazione percentuale dipende unicamente dal parametro δ.

• Data una specifica sulla sovraelongazione percentuale S% < ¯S, è possibile trovare un δ = ¯δ tale per cui

¯ S = 100e− ¯ δπ √ 1−¯δ2

• É possibile costruire sul piano s un luogo di punti a δ costante (δ = ¯δ) entro cui devono stare i poli del sistema affinchè la specifica sulla massima

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Specifiche sul transitorio per sistemi del

2

o

ordine

• Il tempo di assestamento dipende dal parametro δω_n = −σ = −Re(p_i).

• Data una specifica sul tempo di assestamento T_a < ¯T, è possibile trovare un valore δω_n = ¯δ ¯ω_n tale per cui

¯

T = _¯3 δ ¯ω_n

• É possibile costruire sul piano s un luogo di punti a δω_n costante

(δω_n = ¯δ ¯ω_n) a sinistra del quale evono stare i poli del sistema affinchè la specifica sul massimo tempo di assestamento sia soddisfatta.

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Specifiche sul transitorio per sistemi del

2

o

ordine

• Tutte queste specifiche hanno ovviamente la loro corrispondenza nel caso discreto. Le definizioni rimangono le stesse, anche considerando il fatto che solitamente il sistema controllato (da un controllore digitale) è un sistema continuo, la cui uscita è quindi qualitativamente simile a quella di un

sistema del 2o _ordine.

• Considerando la _{Z-trasformata della funzione G(s), si possono fare alcune} interessanti considerazioni sull’andamento della risposta in funzione della posizione dei poli sul piano z, giungendo, come nel caso tempo-continuo, alla definizione di luoghi a δ costante e a δω_n costante sul piano z.

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Specifiche sul transitorio per sistemi del

2

o

ordine

Nella figura a sinistra è evidenziata la regione entro la quale devono stare i poli

di un sistema del secondo ordine per soddisfare le specifiche su tempo di

assestamento, massima sovraelongazione percentuale e massimo ω_n (legato alla massima banda passante). Nella figura a sinistra è evidenziata la regione corrispondente sul piano z.

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Specifiche frequenziali

Un modo alternativo per esprimere le specifiche dinamiche è quello tramite specifiche frequenziali, ossia legate ai parametri della funzione di risposta armonica.

• I tipici parametri considerati sono:

• margini di stabilità (di fase e ampiezza);

• picco di risonanza;

• banda della funzione di risposta armonica in anello chiuso.

• Tramite il prototipo del sistema di secondo ordine, possono sempre essere legati (in modo approssimato se il sistema è di ordine superiore) ai

parametri della risposta temporale al gradino.

• Nel campo discreto i parametri considerati sono definiti in modo del tutto analogo.

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Specifiche frequenziali

• Margine di fase M_F: detto _{−φ l’argomento di G(e}jωT₎ _{in corrispondenza}

della pulsazione ω₀ che fornisce _|G(ejω0T)| = 1, il margine di fase M

F è il

complemento a π di φ, cioè

M_F = π − φ Tipici valori di specifica sono 45o ÷ 60o_.

• Margine di ampiezza M_A: è l’inverso del guadagno di anello alla pulsazione ω a cui corrisponde la fase π:

M_A = 1

|G(ejωT₎|

dove arg_{G(ejωT₎} = π.

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Specifiche frequenziali

• Il margine di fase e il margine di ampiezza rappresentano il “grado di stabilità” del sistema, cioè quanto il sistema è “lontano” dall’instabilità.

• Questo può essere formalmente dimostrato tramite il criterio di Nyquist.

• Imporre un certo valore di questi parametri significa imporre una certa robustezza al sistema. Questo è utile nel caso il sistema presenti

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Specifiche frequenziali

• Picco di risonanza _|G|_r: massimo valore che assume il modulo di _|G(ejωT₎|

al variare di ω. Esso è funzione del coefficiente di smorzamento secondo la relazione

|G|r =

1

2δ√1 − δ2

Espresso solitamente in decibel, ha valori tipici di 2-3 db.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 |G|r (db) delta

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Specifiche frequenziali

• Pulsazione di risonanza ω_r: pulsazione alla quale si verifica il picco di risonanza

ω_r = ω_n1 − 2δ2

• Banda passante ω_b: pulsazione alla quale il modulo della funzione di

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Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235

e-mail: secchi.cristian@unimore.it

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