Algebra dei limiti: spiegazione e formulario

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LICEO SCIENTIFICO ESEDRA SCUOLA PARITARIA

Classe V LS Prof. Francesco Marchi

Appunti su: algebra dei limiti

Introduzione

Abbiamo studiato i limiti delle funzioni elementari, ad esempio abbiamo visto che:

lim 𝑥→+∞ln 𝑥 = +∞ (1) lim 𝑥→0+ln 𝑥 = −∞ (2) lim 𝑥→+∞𝑥 3_{= +∞} ₍₃₎ lim 𝑥→−∞𝑥 3_{= −∞} ₍₄₎

A partire da questi dati, come possiamo calcolare, ad esempio, i seguenti limiti?

lim 𝑥→+∞(ln 𝑥 + 𝑥 2₎ ₍₅₎ lim 𝑥→0+(𝑥 2_{+ 𝑥}3₎ ₍₆₎ lim 𝑥→+∞ ln 𝑥 𝑥3 (7) lim 𝑥→−∞(𝑥 3 − 𝑥2) (8)

Per poter calcolare questi limiti, dobbiamo vedere come si calcola il limite di una somma di funzioni di cui conosciamo il limite, il limite del loro rapporto e cos`ı via.

Si parla, a tal proposito, di “algebra dei limiti”. Spiegazione qualitativa

Prima di dare le formule e le definizioni relative all’algebra dei limiti, cerchiamo di capire com’è possibile calcolare i limiti proposti sopra. A tal proposito, ricordiamoci la definizione intutitiva di limite, ad esempio il limite all’infinito: sostituendo valori sempre più grandi alla x, si guarda a quale valore si avvicina la 𝑓 (𝑥). Relativamente alla funzione 𝑓 (𝑥) = 𝑥3− 𝑥2_{, avremo allora i seguenti limiti:}

𝑥 𝑓 (𝑥) = 𝑥3− 𝑥2 10 900 100 990000 1000 999000000

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𝑥 𝑓 (𝑥) = 𝑥3− 𝑥2

-10 -1100 -100 -1010000 -1000 -1001000000

Si intuisce allora, sulla base di questi valori assunti dalla funzione, che i limiti all’inﬁnito saranno i seguenti: lim 𝑥→+∞(𝑥 3_{− 𝑥}2_{) = +∞;} _lim 𝑥→−∞(𝑥 3_{− 𝑥}2_{) = −∞}

Qualitativamente, possiamo dire che la funzione 𝑥3_{cresce pi`}_{u velocemente della funzione 𝑥}2_(cio`_{e assume}

valori pi`u grandi) e perci`o tende a prevalere.

Adesso vediamo meglio le regole che esprimono questi concetti. L’algebra dei limiti

Supponiamo di sapere quanto fa il limite di due funzioni, 𝑓 (𝑥) e 𝑔(𝑥), per 𝑥 che tende ad uno stesso valore, 𝑥0. Sia cio`e:

lim

𝑥→𝑥0𝑓 (𝑥) = 𝑙; 𝑥→𝑥0lim 𝑔(𝑥) = 𝑚

Sia 𝑥0, sia 𝑙, sia 𝑚 possono essere ﬁniti o inﬁniti.

Vogliamo ora calcolare i limiti della somma, della sottrazione, del prodotto e del rapporto di 𝑓 (𝑥) e 𝑔(𝑥). Bisognerà distinguere vari casi, a seconda che i limiti siano: finiti e diversi da zero; uguali a zero; infiniti. Nei seguenti schemi sono riassunte le regole per il calcolo dei limiti di somma, sottrazione, prodotto e quoziente.

I limiti per i quali non `e indicato il risultato sono scritti fra parentesi tonde: tali limiti sono noti come “forme indeterminate”, e di essi parleremo nel prossimo paragrafo.

Per quanto riguarda l’algebra del prodotto di due funzioni e del loro rapporto, nelle tabelle sono proposti risutati come ±∞ e simili: infatti, per determinare il segno di un prodotto o di un rapporto, si seguono le normali regole algebriche (pi`u per meno fa meno, . . . ).

Tabella 1: Limite della somma

lim𝑥→𝑥0[𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑙 +∞ −∞ m 𝑚 + 𝑙 𝑚 + ∞ = +∞ 𝑚 − ∞ = −∞ +∞ +∞ + 𝑙 = +∞ +∞ + ∞ = +∞ (+∞ − ∞) −∞ −∞ + 𝑙 = −∞ (−∞ + ∞) −∞ − ∞ = −∞

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Tabella 2: Limite del prodotto lim𝑥→𝑥0[𝑓 (𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)] 𝑙 0 +∞ −∞ m 𝑚 ⋅ 𝑙 𝑚 ⋅ 0 = 0 𝑚 ⋅ (+∞) = ±∞ 𝑚 ⋅ (−∞) = ±∞ 0 0 ⋅ 𝑙 = 0 0 ⋅ 0 = 0 (0 ⋅ +∞) (0 ⋅ −∞) +∞ +∞ ⋅ 𝑙 = ±∞ (+∞ ⋅ 0) +∞ ⋅ +∞ = +∞ +∞ ⋅ −∞ = −∞ −∞ −∞ ⋅ 𝑙 = ±∞ (−∞ ⋅ 0) −∞ ⋅ +∞ = −∞ −∞ ⋅ −∞ = +∞

Tabella 3: Limite del quoziente

lim𝑥→𝑥0[𝑓 (𝑥)/𝑔(𝑥)] 𝑙 0 +∞ −∞ 𝑚 𝑚_𝑙 ₀𝑚± = ±∞ 𝑚 +∞ = 0 𝑚 −∞ = 0 0 0 𝑙 = 0 (0 0 ) 0 +∞ = 0 0 −∞ = 0 +∞ +∞_𝑙 = ±∞ +∞₀± = ±∞ (+∞ +∞ ) (+∞ −∞ ) −∞ −∞ 𝑙 = ±∞ −∞ 0± = ±∞ (−∞ +∞ ) (−∞ −∞ )

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Tabella 4: Limite delle potenze

lim𝑥→𝑥0[𝑓 (𝑥)]𝑔(𝑥) 𝑙 0 1 +∞ −∞

m 𝑙𝑚 𝑚0= 1 𝑚1= 𝑚 v. limiti potenze v. limiti potenze

0 0𝑙_{= 0} ₍₀0) 01_{= 0} ₀+∞ ₀−∞ 1 1𝑙= 1 10= 1 11= 1 (1+∞) (1−∞) +∞ +∞𝑙_{= +∞} _{( + ∞}0) +∞1_{= +∞} _+∞+∞ _+∞−∞ −∞ −∞𝑙_{= −∞} _{( − ∞}0) −∞1_{= −∞} _−∞+∞ _−∞−∞

Come abbiamo gi`a detto, nelle tabelle precedenti alcune espressioni sono messe dentro parentesi tonde. Tali espressioni sono dette forme indeterminate: nel prossimo paragrafo vediamo in cosa consistono. Le forme indeterminate

Forma indeterminata significa che l’espressione non ha un valore determinato, ovvero fisso: ad esempio, (+∞ − ∞) può valere 4, 0, +∞, 43_𝜋 o qualsiasi altra cosa.

Da cosa dipende il valore assunto da una forma indeterminata? Dipende dalla particolare funzione di cui si vuol calcolare il limite. Ad esempio avremo:

lim 𝑥→+∞ 3 + 𝑥4 𝑥5_{− 𝑥 + 𝑥}3 = 0; _𝑥→+∞lim 3 + 𝑥5 6𝑥5_{− 𝑥 + 4} = 1 6; e cos`ı via Impareremo a risolvere le forme indeterminate pi`u avanti.

Tabella 5: Riassunto delle forme indeterminate

somma +∞ − ∞ prodotto 0 ⋅ ±∞ quoziente 0₀ ±∞_±∞

potenza 1±∞ 00 ±∞0

Il calcolo dei limiti

Vediamo ora quali casi si possono presentare nel calcolo di un limite e quale procedura seguire. Come prima cosa, sostituisci il valore della 𝑥 nell’espressione della funzione.

In seguito, si distinguono vari casi:

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∙ Se il risultato ottenuto è un numero, hai finito: quello è il risultato. Es.: lim𝑥→2(𝑥2+ 3) = 7

∙ Il limite non esiste. Es.: lim𝑥→+∞sin 𝑥 non esiste.

∙ E’ necessario applicare un criterio di confronto. Es.: lim𝑥→+∞(𝑒𝑥+ 2 + 4 sin 𝑥) = +∞

∙ Se compaiono degli inﬁniti o degli zeri, guarda la tabella relativa all’algebra dei limiti: se non viene una forma indeterminata, sei in grado di dire il risultato. Es.: lim𝑥→+∞(𝑥 + 7)/(3 − 𝑥2) = 0

∙ Se ottieni una forma indeterminata, il procedimento cambia a seconda del tipo di forma indetermi-nata e del tipo di funzione (vedi schema seguente).

Vediamo allora di dare una classiﬁcazione dei metodi relativi alla soluzione delle forme indeterminate: ∙ +∞ − ∞

– Per polinomi: lim𝑥→+∞(𝑥3− 𝑥2) = +∞

– Per funzioni irrazionali: lim𝑥→+∞(

√

9𝑥 + 1 −√7𝑥 − 4) = +∞ ∙ ∞/∞

– Per funzioni razionali fratte: lim𝑥→+∞(𝑥3− 𝑥2)/(2 + 5𝑥) = +∞

– Per funzioni irrazionali fratte: lim𝑥→−∞

√

7𝑥4_{− 𝑥}3_/(𝑥3_{+ 4𝑥 − 1) = 0}

∙ 0/0

– Per funzioni razionali fratte: lim𝑥→0(𝑥 + 𝑥3)/(𝑥2+ 𝑥6) = +∞

– Come sopra (ma da fare tramite scomposizione): lim𝑥→−3(27 + 𝑥3)/(𝑥 + 3) = 27

– Per funzioni irrazionali fratte: lim𝑥→4(

√

5 + 𝑥 − 3)/(𝑥2_{− 16) = 1/48}

– Riconducibili ad un limite notevole: lim𝑥→0(sin 8𝑥)/𝑥 = 8

∙ 0 ⋅ ∞

– Riconducibili alle forme 0/0 o ∞/∞ ∙ 1∞

– Riconducibili ad un limite notevole: lim𝑥→+∞(1 + 1/𝑥)2𝑥= 𝑒2

Valutare i limiti tramite il computer

Le regole che abbiamo esposto sono suﬃcienti per calcolare tutti i limiti che incontrerai e possono esser considerate come un formulario.

Per valutare un limite ti suggeriamo anche uno strumento piuttosto semplice, ma molto utile, anche per aﬀrontare i prossimi argomenti. Si tratta del software Geogebra, scaricabile gratuitamente dal seguente sito (sezione download):

http://www.geogebra.org/cms/index.php?option=com_frontpage&Itemid=1

Questo software, una volta installato, permette di disegnare graﬁci di funzioni complesse quanto vuoi; basandosi sul graﬁco di una funzione potete poi intuire il valore dei suoi limiti. Vediamo un esempio. Supponiamo di voler studiare i limiti della seguente funzione:

𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 3 25 − 𝑥2

Possiamo allora utilizzare il programma Geogebra, digitando, nella barra che compare in basso (a ﬁanco della scritta “Inserimento”), la seguente espressione:

f(x)=(x+3)/(25-xˆ2)

Dopo aver premuto invio, apparir`a il graﬁco che qui abbiamo riportato in Figura 1

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Figura 1: Graﬁco della funzione _25−𝑥𝑥+32

Da tale ﬁgura possiamo intuire (non si tratta di una dimostrazione!) il valore dei seguenti limiti:

lim 𝑥→+∞ 𝑥 + 3 25 − 𝑥2 = 0 (9) lim 𝑥→−∞ 𝑥 + 3 25 − 𝑥2 = 0 (10) lim 𝑥→−5− 𝑥 + 3 25 − 𝑥2 = +∞ (11) lim 𝑥→−5+ 𝑥 + 3 25 − 𝑥2 = −∞ (12) lim 𝑥→+5− 𝑥 + 3 25 − 𝑥2 = +∞ (13) lim 𝑥→+5+ 𝑥 + 3 25 − 𝑥2 = −∞ (14)