16 Limite finito di una funzione per x che tende all..>

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3. Limite finito per x che tende all’infinito

Un altro comportamento delle la funzioni che può essere espresso con rigore tramite una operazione matematica, è quello della stabilizzazione attorno ad un valore finito ℓ _{quando la variabile indipendente x} assume valori positivi infinitamente grandi. La situazione è schematizzata nella figura seguente:

Definizione: Sia ( )f x una funzione con dominio illimitato superiormente; si dice che:

lim ( ) x→+∞f x = ℓ se: 0 kε 0 tale che se x kε ε ∀ > ∃ > > allora: ( ) f x −ℓ <ε

1) Dal punto di vista dell’andamento della funzione, tendere ad un limite finito all’infinito significa che il grafico si confonde con quello della retta orizzontale y = ℓ a mano a mano che si procede verso valori infinitamente grandi delle ascisse.

2) Osserviamo che ha senso eseguire il calcolo del limite per x che tende ad infinito positivo solamente se il dominio è illimitato superiormente, cioè se, in un certo senso, ci si può avvicinare quanto si vuole a +∞.

3) Il modulo nella disuguaglianza f x( )−ℓ <ε indica, proprio come nel caso di limite finito in un

punto, che l’avvicinamento alla retta y =ℓ _{può avvenire indifferentemente da sopra, da sotto, od} anche da entrambi i versi, come nelle figure che seguono.

ℓ ℓ kε x ( ) f x ε + ℓ ℓ ℓ

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Definizione: Sia f x( ) una funzione con dominio illimitato inferiormente; si dice che:

lim ( ) x→−∞f x = ℓ se: 0 kε 0 tale che se x kε ε ∀ > ∃ > < − allora: ( ) f x −ℓ <ε Esempio 1 Verificare il limite: 3 1 3 lim 2 3 2 x x x →+∞ − = +

Si tratta di provare che la disuguaglianza:

3 1 3 2 3 2 x x ε − − < +

è soddisfatta in un intorno di +∞, cioè in un insieme della forma

(

)

3 1 3 11 2 3 2 4 6 x x x ε − ε ε − ε − < − < ⇒ − < < + + Si perviene al sistema: 11 4 6 11 0 0 4 6 4 6 11 4 6 11 0 0 4 6 4 6 x x x x x x ε ε ε ε ε ε  − − − −    − <  <    +  +  _⇒     −  + −  _{+ >}  _>    ₊  ₊    

Risolviamo la prima disequazione facendo il prodotto del segno del numeratore per quello del denominatore: 6 11 4 6 11 0 4 6 11 ₀ 4 3 4 6 _{4 6 0} 2 x x x x x x ε ε ε ε ε ε − − − − − > ⇒ < − − − < ⇒ + _{+ > ⇒ > −} ℓ kε − x ( ) f x ε − ℓ segno di: 4 6 11 4 6 x x ε ε − − − + 3 2 − + +

−

−

−

−

−

−

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3 11 4 6 11 0 4 6 11 ₀ 2 4 3 4 6 _{4 6 0} 2 x x x x x x ε ε ε + ε− + − > ⇒ > − + _ε > ⇒ + _{+ > ⇒ > −}

Prendiamo l’intersezione delle due soluzioni:

Il limite è senz’altro verificato in quanto la soluzione complessiva comprende al suo interno un intorno di infinito positivo, cioè un insieme della forma ( ;kε +∞ , dove in questo caso è )

3 11

2 4

kε

ε

= − + (od un valore positivo più grande di esso se per qualche ε viene k 0

ε < ).

Nel particolare caso proposto, il grafico della funzione è noto, si tratta di una funzione omografica, la cui forma generica è:

( ) ax b f x cx d + = +

Ora, voi non ci crederete, ma abbiamo studiato in terza questa classe di funzioni, imparando che esse hanno un asintoto verticale in x d c = − ed un asintoto orizzontale di equazione y a c = . Nel presente caso si ha x= −3₂ ed y =3₂. Trovando le intersezioni con gli assi A(0;−1₃) e B(1₃; 0) è possibile rappresentarla graficamente.

Come del resto si intuisce dal grafico, la nostra verifica ha mostrato pure che lim 3 1 3

2 3 2 x x x →−∞ − = + . Difatti la disequazione 3 1 3 2 3 2 x x ε − − <

+ è verificata anche in un intorno di −∞, cioè un insieme della forma(−∞ −; kε), ma stavolta con

3 11

2 4

kε

ε

− = − − .

Studiare Tomo C1 pp 45-47, es p326 da 65 a 75 ad libitum.

4 6 1 1 0 4 6 x x ε ε − − − < + 4 6 1 1 0 4 6 x x ε + ε − > + 3 2 − 3 11 2 4ε − + 3 11 2 4ε − − x ( ) f x 3 2−ε A B 3 2 3 2 − 3 11 2 4 kε ε = − + + + +

−

−

−

−