12 dominio e segno di funzioni goniometriche inverse..>

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Esempio 21

Studiare dominio e segno delle seguenti funzioni:

(

2

)

(

2

)

(

2

)

arcsin 2 arccos 2 arctan 2

y= x − y= x − y= x −

Studio del Dominio

Studieremo esplicitamente solo la funzione con l’arcoseno, per poi ricavare le altre da questa. Sapendo che funzione arcoseno accetta solo argomenti compresi fra −1 ed 1, come si evince dal grafico, si ha la condizione di esistenza: 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 0 1 2 1 3 3 2 1 3 0 x x x x x x x x    ≤ − ∨ ≥  − ≥ −  − ≥        − ≤ − ≤ ⇒ _ ⇒ _ ⇒  − ≤ ≤ − ≤ − ≤   _     Facendo l’intersezione:

Si trova D :_− 3; 1− ∪_ _1; 3_{ . Per lo studio del segno si osserva} dall’andamento del grafico della funzione y =arcsinx che risulta:

arcsinx≥0 ⇒ 0≤x≤1 arcsinx<0 ⇒ − ≤1 x<0

che si riduce, all’interno del dominio, a ricercare le regioni dove l’argomento dell’arcoseno è positivo o negativo:

2 _{2 0 2 2}

x − ≥ ⇒ x ≤ − ∨ ≥x

Facendo l’intersezione con il dominio si ha:

Quanto alla funzione y=arccos(x2−2), l’andamento di

arccos

y= x illustra che il dominio impone le stesse condizioni di

arcsin

y= x mentre per il segno si ha che la funzione, laddove esiste è sempre positiva.

Infine per y=arctan(x2−2), l’andamento di y =arctanx mostra che il dominio è sempre ℝ, mentre risulta:

-1 1 2 π

−

2 π y=arcsinx 1 −

+

1

−

+

3 −

+

−

+

3 3 − −1 1 3 2 _{2 1} x − ≥ − 2 _{2 1} x − ≤ 2 −

+

−

+

2 3 − −1 ₁ 3 2 arcsin(x −2)

+

+

−

−

2 2 − 1 1 − 2 3 2 − 3 − 2 arcsin( 2) y= x − arccos y = x -1 1

π

2 π 2 π arctan y = x 2 π

−

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arctanx≥0 ⇒ x ≥0 arctanx<0 ⇒ x <0

Da queste informazioni deduciamo immediatamente l’andamento del dominio e del segno:

Esempio 22

Studiare dominio e segno della seguente funzione:

2 arcsin 1 x y x  _  = _ _ −

Studio del Dominio

Sapendo che il denominatore non deve essere nullo e che la funzione arcoseno accetta solo argomenti compresi fra −1 ed 1, si hanno le tre condizioni di esistenza:

2 2 2 2 2 2 2 ₂ 2 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 ₀ 1 1 ₁ 1 1 0 ₁ x x x x x x x x x _{x x} x x _x x x _x  − + +    ≥ −     + ≥  ≥  ₋  ₋  ₋          _⇒  _{⇒ + −}  ≤  − ≤   ₋   ≤   −     −   _{≠ ±}   − ≠   _{≠ ±}      

Risolvendo la prima disequazione si trova 1

(

)

1 5 1 5 : ; 1 ;1 ; 2 2 S −∞ − ∪_ − _∪_ + +∞_       , infatti: 2 1 5 1 0 2 x x x ± − + + ≥ ⇒ = 2 1−x >0 ⇒ x = ± 1 1 5 2 −

−

+

1 5 2 +

−

1 − 1

−

+

−

1 5 2 + segno di: 2 2 1 1 x x x − + + − 1 − 1

−

+ + + +

−

−

+

−

1 5 2 −

−

−

+

−

−

+ 1 1 − 2 3 2 − 3 − 2 arccos( 2) y= x −

+

2 2 − 2 arctan( 2) y= x −

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Risolviamo la seconda disequazione si trova 1

(

]

1 5 1 5 : ; 1; 1; 2 2 S _−∞ − − _∪ −_ − + _∪ +∞  _  _ , infatti: 2 1 5 1 0 2 x + + ≥x ⇒ x =− ± 2 1−x >0 ⇒ x = ± 1

Intersecando le due soluzioni si ha infine : ; 1 5 1 5; 1 5 1 5;

2 2 2 2

D _−∞− − _∪_ − − + _∪_ + +∞__

 _{   } , infatti:

Studio del Segno

2 2 arcsin 0 1 0, 1 x x x x D x  _  ≥    −  ⇒ ≥ ∈ − 1 5 2 − −

+

1 5 2 − +

−

+

1 − 1

−

+

−

1 5 2 − + segno di: 2 2 1 1 x x x + + − 1 − 1

−

+ + + +

−

−

+

−

1 5 2 − −

−

−

+ +

−

−

2 1 1 x x ≥ − − 2 1 1 x x ≤ − 1 5 2 + 1 − 1 1 5 2 − 1 5 2 − − _{1 5} 2 − + segno di: 2 1 x x − 1 5 2 + 1 − 1 1 5 2 − 1 5 2 − − _{1 5} 2 − + 0 + +

−

−

+ +

−

₋

+ ₊

−

−

+ +

−

−

−

−

+ + 1 5 2 − − 0 _{1 5} 2 + 1 5 2 − 1 5 2 − +