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-Esercizio 1
a) Applicando il principio di conservazione dell’energia delle particelle:
f p f k i p i k E E E E + = + si ottiene qV E E =−∆ = ∆ k p .
All’istante iniziale le particelle cariche hanno energia cinetica i 0
k =
E , da cui si ricava che l’energia cinetica E di ogni particella carica che raggiunge con velocità v la regione in cui è presente campo kf
magnetico vale: 2 f k 2 1 mv qV E = = , m qV v= 2 .
Nella regione in cui è presente campo magnetico, essendo B perpendicolare alla velocità, il moto
delle particelle è circolare uniforme, con accelerazione centripeta acp costante ottenuta
dall’espressione della forza di Lorentz:
qvB ma
F = cp = .
La forza di Lorentz non compie lavoro sulla particella, quindi non ne modifica l’energia cinetica e il modulo della velocità.
b) L’accelerazione centripeta di un corpo in moto circolare uniforme è legata al raggio R dell’orbita:
mR qV R v a 2 2 cp = =
c) Per far compiere a particelle cariche negativamente la stessa traiettoria indicata nella figura dell’esercizio bisogna utilizzare una differenza di potenziale V negativa e un campo magnetico B entrante nel piano del foglio.
Esercizio 2
a) Sia X l’asse che ha per direzione quella della retta che unisce le due cariche. La coordinata x indichi la posizione della carca q3. La carica q1 si trovi nell’origine di X, mentre la carica q2 si trovi nel
punto di coordinata x = d. La forza totale che agisce su q3 è la somma vettoriale delle forze di
Coulomb dovute all’interazione elettrostatica di q3 con q1 e q2, considerate singolarmente. Tale forza
ha componente non nulla solo nella direzione X. Tale componente FX ha la seguente espressione (valida in modulo e segno indipendentemente dal segno delle cariche):
− − = 2 3 2 2 3 1 0 ( ) 4 1 d x q q x q q FX πε .
b) Il punto x in cui la forza si annulla è dato da:
FX = 0 ⇒ 2 2 2 1 ) (x d q x q − = ⇒ x d 4 3 = oppure x d 2 3 = .
La seconda soluzione corrisponde ad una posizione che non si trova sul segmento che congiunge le cariche q1 e q2 e va quindi scartata poiché in quel punto l’espressione di FX di cui al punto a) non è più valida. In x la carica q3, vincolata a muoversi lungo il segmento congiungente q1 e q2, si trova
in un punto di equilibrio stabile quando q1 , q2 e q3 hanno lo stesso segno, mentre l’equilibrio è
instabile quando q1 , q2 hanno segno opposto a q3. Questo perché nel primo caso per ogni piccolo
spostamento dalla posizione di equilibrio la forza totale tende a riportare la carica in x , mentre nel secondo ad allontanarla ulteriormente; essendo la forza elettrostatica conservativa, ciò corrisponde al fatto che il punto x è un punto di minimo relativo dell’energia potenziale nel primo caso e di massimo relativo nel secondo.
c) L’energia potenziale elettrica di q3 posta nel punto di coordinata x è la somma delle energie
potenziali dovute all’interazione con le cariche q1 e q2 prese singolarmente. L’espressione
dell’energia potenziale Ep di q3 è quindi pari a (indipendentemente dal segno delle cariche):
Ep = − + d x q q x q q1 3 2 3 0 4 1 πε = d q q2 3 0 4 πε .
a) Due sfere sufficientemente distanti esercitano effetti di mutua induzione trascurabili. Quindi le due sfere si portano ad un potenziale pari rispettivamente a:
1 1 o 1 4 1 R Q V πε = , 2 2 o 2 4 1 R Q V πε = ,
con Q pari alla carica e R pari al raggio della sfera. Collegando le due sfere con un filo conduttore, si impone la condizione V1 = V2, da cui si ottiene:
2 2 1 1 R Q R Q = . Da R1 = 2R2 si ottiene Q1 = 2Q2.
b) Sia q la carica prelevata dal trasferitore. Sapendo che 100q = Q2 e che Velettr. = 25 V = q/CF, si ricava
Q2 = 3.75 × 10-8 C.
c) Mettendo a massa l’armatura interna della gabbia di Faraday si scherma l’armatura esterna dalla carcica contenuta all’interno della gabbia. Pertanto, l’elettrometro misurerebbe una differenza di potenziale nulla fra le due armature.
Esercizio 4
a) Per simmetria, le linee di forza del campo magnetico B generato dal filo rettilineo sono delle circonferenze con centro sul filo stesso e giacenti in piani ad esso perpendicolari. Applicando il teorema della circuitazione si ricava che il modulo B del campo magnetico generato dal filo ha il seguente valore: B = r I π 2 f 0 µ ,
dove r è la distanza dal filo. Il campo magnetico B, in corrispondenza della spira, è diretto dall’osservatore verso la pagina ed è perpendicolare al piano della spira stessa.
I due lati della spira perpendicolari al filo sono percorsi da correnti di verso opposto. Le forze applicate a ciascuno di essi hanno stesso modulo, sono parallele al filo rettilineo e hanno versi opposti l’una rispetto all’altra. La loro risultante è quindi nulla.
La forza esercitata su ciascuno dei due lati della spira paralleli al filo vale:
F = Is L × B, ovvero F = L d I I π 2 f s 0 µ
per il lato più vicino al filo,
F = L
(
d L)
I I + π 2 f s 0 µper il lato più lontano dal filo.
Tali forze sono perpendicolari al filo. Nei due lati della spira la corrente ha verso opposto. La risultante delle forze agenti sulla spira è diretta verso il filo e ha modulo pari a:
Ftot = L + − L d d I I 1 1 π 2 f s 0 µ = 4 × 10-7 N
proporzionale alla distanza, la spira viene attratta dal filo.
c) Per il principio di azione e reazione, la forza che la spira esercita sul filo è uguale in modulo e direzione ma opposta in verso a quella che il filo esercita sulla spira.
