LE EQUAZIONI DI MAXWELL
Teorema di
Gauss nel campo elettrico
∮ ( � → ) =�
Teorema di Gauss nel campo
magnetico
� ( �
→) = − ∆ ∮ ( �
→)
∆ �
Legge di Faraday- Neumann
� ( �
→) =� ₀�+� ₀ �₀ ∆ ∮ ( �
→)
∆ �
Teorema di Ampère
James Clerk Maxwell
James Clerk Maxwell nacque a Edimburgo il 13 Giugno 1813. Appartenente a una famiglia della piccola nobiltà terriera della Scozia, fu ben presto inserito nella vita scientifica e culturale di Edimburgo, che si svolgeva principalmente nella locale Accademia. Qui Maxwell ebbe l'occasione di pubblicare le sue prime ricerche e di incontrare persone a cui si legherà di amicizia per tutta la vita, come lo studioso Campbell e lo scienziato newtoniano Tait. A sedici anni entrò nell'università di Edimburgo, dove fu sotto la guida del fisico J.
D. Forbes e del matematico filosofo kantiano Sir W. Hamilton. Dopo la laurea si iscrisse alla prestigiosa università di Cambridge per conseguirvi il dottorato. Poco dopo si spostò al Trinity College dove lavorò come esaminatore, consulente e infine titolare della nuova cattedra di fisica sperimentale.
Si laureò nel 1854 e dopo la morte del padre Maxwell fece ritorno a Cambridge. Vinse il premio Adams per un saggio in cui dimostrava che la stabilità degli anelli di Saturno poteva essere ottenuta solo se essi erano composti da pezzi di roccia orbitanti intorno al pianeta.
Nel 1859 sposò Katherine Mary Deward, figlia del rettore del college.
Dal 1860, per cinque anni, fu professore al King's College di Londra. Sono di questo periodo, in cui ebbe contatti con M. Faraday e con altri insigni studiosi, le sue memorie principali: sulla teoria dei colori, sulla teoria cinetica dei gas, sulla termodinamica, circa la quale aveva già pubblicato una memoria nel 1859, e sulla teoria dinamica del campo elettromagnetico.
Intorno al 1865, M. pose mano alla stesura di una grande opera, «A treatise on electricity and magnetism» (pubblicato nel 1873), che era al contempo una summa di tutte le teorie elettriche e magnetiche del tempo e l'esposizione, in forma più matura, della sua nuova teoria del campo elettromagnetico, su cui aveva già cominciato a lavorare dal 1855. Fece ritorno con la moglie a Cambridge e lì morì il 5 novembre 1879, a 48 anni, per un tumore all'addome.
Gli studi
Teoria cinetica: Uno dei risultati più significativi di Maxwell fu l'elaborazione di un modello fisico-statistico per la teoria cinetica dei gas. Proposta per la prima volta da Daniel Bernoulli, questa teoria era stata successivamente sviluppata da vari scienziati ma ricevette uno sviluppo enorme dall'intuizione di Maxwell.
Nel 1866, il fisico scozzese formulò la distribuzione di Maxwell-Boltzmann, una distribuzione di probabilità che può essere utilizzata per descrivere la distribuzione di velocità delle molecole di un dato volume di gas a una data temperatura.
Scienza dei materiali: A Maxwell è fatta risalire la prima formulazione del criterio di von Mises («criterio della massima energia di distorsione»), da lui proposto sulla base di considerazioni puramente matematico-formali nel 1856. Il criterio di von Mises è un criterio di resistenza relativo a materiali duttili, isotropi, con uguale resistenza a trazione e a compressione.
Teoria dei colori: La prima fotografia a colori scattata da Maxwell nel 1861.
Anche i contributi di Maxwell all'ottica e alla percezione del colore furono rilevanti. Maxwell scoprì che la fotografia a colori poteva essere realizzata sovrapponendo filtri rossi, verdi e blu. Fece fotografare da Thomas Sutton tre volte un tartan scozzese mettendo sopra l'obiettivo tre filtri di diverso colore. Le tre immagini furono poi sviluppate e proiettate su uno schermo con tre proiettori differenti. Una volta messe a fuoco sullo stesso punto ne scaturì l'immagine a colori, la prima nella storia.
L’elettromagnetismo
Il più importante lavoro di Maxwell è legato all'elettromagnetismo. Il fisico scozzese unificò i lavori sull'elettricità e il magnetismo di Michael Faraday, André-Marie Ampère e di molti altri in una serie di quattro equazioni differenziali (originariamente erano venti, ma furono poi ridotte a quattro). Note come equazioni di Maxwell, tali equazioni furono presentate alla Royal Society nel 1864 e, insieme, descrivono il campo elettrico e quello magnetico e le loro interazioni con la materia.
Le equazioni prevedono l'esistenza di onde elettromagnetiche, ossia di oscillazioni del campo elettromagnetico. Maxwell cercò – sulla base dei dati disponibili all'epoca – di misurare sperimentalmente la velocità di queste onde, ottenendo il risultato di 310.740.000 m/s.
LE EQUAZIONI DI MAXWELL
Teorema di
Gauss nel campo elettrico
∮ ( � → ) =�
Teorema di Gauss nel campo
magnetico
� ( �
→) = − ∆ ∮ ( �
→)
∆ �
Legge di Faraday- Neumann
� ( �
→) =� �+ �� ∆ ∮ ( �
→)
∆ �
Teorema di Ampère
IL CAMPO ELETTRICO
Qualsiasi carica elettrizzata crea attorno a se un campo elettrico. Il vettore campo elettrico è dato dal rapporto fra la forza (forza di Coulomb) e la carica di prova che ne verifica l’esistenza
.�= � �
� = �
� �� ₀
� ₁�
� ²
�
→= �
� �� ₀
�₁�
� ²
�
�
�
→= �
� �� ₀
�₁
� ²
� ₀ = �
� �� ₀
ɛ₀=costante dielettrica nel vuoto(8,854x10ˉ¹²) ɛᵣ=costante dielettrica nel mezzo
Forza di Coulomb
Il campo elettrico può essere generato da una singola carica, positiva o negativa.
È possibile raffigurare le cariche del campo elettrico attraverso le linee di campo che:
Sono tangenti in ogni punto al vettore campo elettrico;
Sono orientate nel verso del campo;
Hanno densità direttamente proporzionale all’intensità del campo;
Escono dalle cariche positive ed entrano da quelle negative.
Il flusso del campo elettrico (prima legge di Maxwell)
L’ipotesi di Gauss
IL CAMPO MAGNETICO
Il campo magnetico è un campo vettoriale generato nello spazio da un magnete o dal moto di una carica elettrica.
Direzione e verso del campo magnetico vengono descritti dalle linee di campo, che rappresentano, in ogni punto dello spazio, la direzione lungo la quale si disporrebbe un magnete di prova posto in quel punto. Come per gli altri campi vettoriali, le linee del campo magnetico sono tangenti, in ogni punto alla direzione del campo e sono tanto più fitte quanto più elevata è l'intensità del campo. In un magnete queste saranno uscenti da nord ed entranti da sud.
Al principio del 1820 esistevano tre scienze distinte dei fenomeni elettromagnetici: elettrostatica, magnetismo e «galvanismo». In questo stesso anno il danese Christian Oersted scopre che un filo percorso da corrente è in grado di deviare un ago magnetico posto nelle sue vicinanze, in misura proporzionale all’intensità della corrente. È il primo passo dell’«abbraccio» tra elettricità e magnetismo.
Le linee di forza del campo magnetico prodotto da un filo percorso da corrente sono visualizzabili con un'esperienza molto semplice. Spargendo della limatura di ferro su un cartoncino, bucato da un filo conduttore a esso perpendicolare, possiamo vedere che le linee saranno circonferenze concentriche con il filo.
Il verso del campo sarà
ottenuto mediante la regola
della mano destra:
Nel 1821 il fisico inglese Michael Faraday osservò che un filo percorso da corrente, immerso in un campo magnetico, subisce una forza.
Mettiamo un filo percorso da corrente in un campo magnetico in direzione perpendicolare alle linee di campo. Sul filo agirà una forza perpendicolare sia al filo stesso
e sia alle linee del campo magnetico.
Il verso della forza è dato dalla regola della mano destra per cui:
Si pone il pollice in direzione del verso della corrente;
Le altre dita nel verso del campo magnetico;
Il verso sarà quello uscente dal palmo.
Cosa succede su due fili percorsi da corrente?
Due fili percorsi da corrente esercitano una forza l’uno dell’altro. Ciascuno di essi genera un campo magnetico e subisce la forza associata al campo creato dall’altro. Ampère constatò che due fili paralleli si attraggono se percorsi dal corrente nello stesso verso(A) mentre si respingono se di verso opposto.
Nel primo caso, per il terzo principio della dinamica e per la regola della mano destra, la forza è uguale e opposta alla forza F₁⟶₂ perciò i fili si attraggono.
Avremo
� = � ₀ che:
� �
�₁∙ �₂
� �
L’intensità del campo magnetico
Usando un ago magnetico, sappiamo come determinare la direzione e il verso del campo magnetico B. Dobbiamo ora definire l’intensità (o modulo) di B. A questo scopo possiamo prendere un filo conduttore attraversato da una corrente di intensità i e usarne un tratto rettilineo di lunghezza l come filo di prova, da immergere nel campo che vogliamo studiare.
Gli esperimenti mostrano che la forza magnetica sul filo di prova dipende dall’inclina-zione del filo rispetto alle linee del campo magnetico e che il suo modulo è massimo quando il filo e il campo sono perpendicolari tra loro.
�= � � ∙ �
�=� ∙�∙�∙sin �
Legge di Biot-Savart
��₁�= � ₀ 2 �
�∙� ₁
� �
�= � ₀
2 �
�
�
Legge di Lorentz
Lorentz verificò che non è importante dove gli elettroni scorrono ma il fatto di scorrere. Possiamo sostituire il filo percorso da corrente con un fascio catodico e inserirlo in un campo magnetico. Noteremo che si avrà una deviazione del fascio, verificabile anche con la regola della mano destra. Avvicinando poi il tubo catodico ad un filo percorso da corrente nello stesso verso noteremo che le correnti si attraggono, proprio come accade per i due fili percorsi da corrente.
Il campo magnetico è generato da cariche elettriche in movimento e le cariche elettriche in movimento sono soggette a forze quando si trovano in un campo magnetico.
Il teorema di Gauss per il magnetismo (seconda legge di Maxwell)
Il teorema di Gauss ha anche un’interpretazione in termini di linee di campo. Le linee del campo elettrico hanno origine dalle cariche positive e terminano nelle cariche negative. Di conseguenza, il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa che racchiude una o più cariche può essere positivo o negativo:
Invece, le linee del campo magnetico non hanno né inizio né fine, ma sono linee chiuse(come le linee del campo generato da un filo rettilineo percorso da corrente, o le linee di un magnete a barra, che escono dal polo nord ed entrano nel polo sud per richiudersi all’interno del magnete), oppure sono linee che si estendono all’infinito (come la linea sovrapposta all’asse di una spira circolare).Così a ogni linea di campo entrante in una superficie chiusa Ω(contributo negativo al flusso), ne corrisponde sempre una uscente (contributo positivo al flusso); pertanto il flusso totale del campo magnetico attraverso Ω è nullo.
La circuitazione
Teorema di Ampère (terza legge di Maxwell)
Una corrente si dice concatenata con il cammino chiuso L se attraversa una superficie che ha L come contorno.
Nella figura si vede come il filo sia concatenato con il cammino L₁ ma non con gli altri due.
Per la circuitazione del campo magnetico vale il teorema di Ampère secondo cui:
La corrente totale concatenata è espressa dalla sommatoria delle
correnti concatenate con L. Ciascuna di queste correnti è presa con il segno positivo se il campo elettrico che essa genera ha lo stesso verso di L. Il teorema di Ampère stabilisce che la circuitazione del campo
magnetico può essere diversa da 0. Per cui, a differenza del campo elettrostatico il campo magnetico non è conservativo.
La corrente indotta
Sappiamo che una corrente elettrica genera un campo magnetico. Al contrario, può un campo magnetico generare una corrente elettrica?
L’esperimento qui riportato dimostra come mentre la calamita si muove in su e in giù, la lampadina si accende: nel circuito circola una corrente. Invece, se la calamita è ferma, la lampadina non si accende; quindi nel circuito non c’è corrente. La corrente non è creata da una pila o da una batteria, ma dal movimento della calamita. All’interno della bobina, il campo magnetico della calamita diventa intenso quando la calamita è vicina e ritorna debole quando essa è lontana. Un campo magnetico che varia genera una corrente indotta.
Legge di Faraday-Neumann (quarta legge di Maxwell)
Se c’è una corrente indotta, ci deve essere una forza elettromotrice (indotta) che la produce. Molti esperimenti, condotti alla metà
dell’Ottocento, hanno portato alla legge dell’induzione elettromagnetica, detta legge di Faraday-Neumann:
il valore della forza elettromotrice indotta è uguale al
rapporto tra la variazione del flusso del campo magnetico e il tempo necessario per avere tale variazione
Legge di Lenz
Nel primo caso, il campo indotto accentuerebbe l’aumento del flusso totale, il quale, a sua volta, creerebbe una corrente indotta più intensa e quindi un nuovo campo magnetico indotto, innescando un processo senza fine. Si otterrebbe così una corrente elettrica, e cioè energia elettrica, gratis, in contrasto con il principio di conservazione dell’energia. Poiché questo non è possibile, la corrente indotta deve circolare in senso antiorario, in modo da contrastare l’aumento del campo della calamita.
Quindi il principio di conservazione dell’energia determina il verso della corrente indotta. Secondo la legge di Lenz:
il verso della corrente indotta è sempre tale da opporsi alla variazione di flusso che la genera.
