Tensioni e deformazioni

Stati di tensione

Se si opera un taglio su di un corpo qualunque soggetto ad un sistema di sollecitazioni esterne, sappiamo già che i due elementi separati si scambiano azioni interne – in forma di forze e momenti risultanti

 si determinano i tensori applicati al punto materiale P

 questi sono valutati in termini di forze / unità area = Pressioni (Pa)

 Le  sono le tensioni ortogonali alla faccia, positive se ingenerano tensione (e non compressione)

 Le  sono parallele alla faccia, dirette come l’altro asse di riferimento se le corrispondenti

 sono dirette come l’asse della normale uscente

Se applichiamo questo concetto ad un cubetto elementare inserito in un medium soggetto a carichi, vediamo comparire, su ciascuna delle facce, dei vettori di sforzo, complessivamente equilibrati

Associando un sistema di

riferimento e scomponendo

secondo di esso i vettori di

forze per ogni faccia

_x

y x  x  y  y  xy  xy  yx  yx  O P P

Considerazioni sull’equilibrio dei momenti al

I ordine inducono a ritenere che risulti



xy





yx

Pertanto i valori indipendenti sono solo 3 (nel piano)

In genere i valori sono ordinati mediante le matrici







































z zy zx yz y yx xz xy x x xy yx y











_

_







Caso 2 D (3 valori indipendenti)

Caso 3 D (6 valori indipendenti)

Se tagliamo il cubetto mediante un piano orientato dalla sua normale



T







x y z xy  y  z  x  yx  xz  zx  yz  zy 



Si ottiene, sulla faccia di taglio, una forza risultante



T



Questa può essere scomposta secondo il sistema di

riferimento già adottato, tenendo conto della giacitura :





x

i

y

j

z

k



      

x y x  x  y  y  xy  xy  yx  yx  P O P O

x _{x x yx y zx z} y _{xy x y y zy z} z _{xz x yz y z z}

T

T

T

  



_{        }





_{        }







_{        }



Imponendo l’equilibrio alla traslazione in x,y,z si ottiene:

Equilibrio rispetto asse x:

dS

dS

dS

0

3

h

dS

F

dS

T

x



_x





_{x x}





_{yx y}





_{zx z}



 Ricordando che: dSx dSx ... e che h = OP = infinitesimo

( … idem per y e per z ... )

Con la notazione

compatta e indice

ripetuto:

T

i





ji



j  Relazioni di Cauchy con i = 1 … 3 1



2



3



Luogo dei punti che racchiude la punta di per ogni giacitura ELLISSOIDE DI LAME’

(La giacitura è la normale alla superficie)



T



Gli assi dell’ellissoide forniscono le direzioni principali Nelle direzioni principali



_ij



0

Le tensioni principali sono importanti per i seguenti motivi:

 consentono di descrivere la matrice mediante l’utilizzo di soli 3 valori ( tutte  = 0 )  Danno una immediata cognizione del tipo di stato di tensione presente

 Consentono di applicare con facilità i criteri di rottura (criteri di equivalenza che consentono di confrontare stati di tensione non in scala)

Le tensioni principali sono sempre ordinate algebricamente: ₁  ₂  ₃

Se sono tutte positive lo stato di tensione risultante è chiaramente di trazione (espansione) Viceversa si ha compressione.

Nei casi misti è opportuno riferirsi al valore medio che prende il nome di sforzo idrostatico

1 2 3

3

idr

    

 

Si ribadisce il concetto che lo stato di sforzo è una caratteristica fisica del sistema, e quindi non dipendente dal sistema di riferimento adottato – pertanto cambiando l’orientazione degli assi di riferimento si muterà la matrice del tensore delle tensioni – anche se rappresenterà sempre la stessa condizione fisica

È necessario stabilire quando due tensori

z y x 1















y yx xy x z zx xz x z zy yz y 2







































₃

Det

Minore complementare diagonale principale

Gli invarianti non mutano quando si calcola il tensore delle tensioni in altro sistema di riferimento

Pertanto si può affermare che due stati di tensione sono equivalenti se i tre invarianti sono uguali

Per mutare sistema di riferimento, basta utilizzare la

matrice T dei coseni direttori tra gli assi del vecchio e

nuovo sistema di riferimento e operare la trasformazione

di base matriciale

x x x y y y z z z

l

m

n

l

m

n

l

m

n









 











T

x y z x xy xz x x x x y z yx y yz y y y x y z zx zy z z z z

l

l

l

l

m

n

m

m

m

l

m

n

n

n

n

l

m

n



 









_

_



 

_{ }

_

 

  

_

_{ }

 





_{ }



_



 

_

_

_



_

_

_

_



 



T

σ

T σ T

Esempio:





12

5 60

5

55

32

60

32

90

x xy xz yx y yz zx zy z

MPa











_





_



_{ }

_

 

_





_{ }

 

_



_

_

_



_

_

_

_





σ

Si calcolano i 3 invarianti: 1 x y z

12 55 90

133

         





2

3030 4890 685

2545

y yz x xz x xy zy z zx z yx y













 



























3

Det

-266562

 

 

Si vuole ora calcolare il nuovo tensore di tensione se si ha una rotazione nel piano x-y, con un angolo  = 25°.

 

 

 

cos 25

sin 25

0

sin 25

cos(25)

0

0

0

1









 

_

_









T

 

 

 

 

 

 

cos 25 sin 25 0 12 5 60 cos 25 sin 25 0 3.7968 - 28.8764 40.8547 sin 25 cos(25) 0 5 55 32 sin 25 cos(25) 0 - 28.8764 39.2032 54.3589

0 0 1 60 32 90 0 0 1 40.8547 54.3589 90.0000           _ _  _       _ _  _         Gli invarianti risultano:

 

₁

3.7968 39.2032 90







133

  

₂

2545

 

₃

-266562

Tensore di deformazione (adimensionale)

In modo analogo al tensore della tensione si definisce un tensore di deformazione che definisce il modo in cui si deforma un corpo attorno ad un suo punto P

x y x  x  y  y  xy  xy  yx  yx  x xy xz yx y yz zx zy z













_

_

_









_

_

_







Il significato fisico dei termini del tensore



va legato a

forme differenziali degli spostamenti di un corpo:

x

u

x



 



x

y

u

_u

u

dx

x







y

v

y



 



x

y

v

v

v

dy

y







Le precedenti espressioni sono scritte trascurando

infinitesimi superiori al I ordine - PICCOLE DEFORMAZIONI

Tensore di Cauchy x y z xy  y  z  x  yx  xz  zx  yz  zy 

Vediamo invece, in 2 D, il significato fisico dei termini misti del tipo

y

u

dy

u

dy

y

u

u

tan























x

v

dx

v

dx

x

v

v

tan























y u v _P P’ x R’ S’ T’ S _T R   dx dy xy xy

2

x

v

y

u

_

_

_

_



















1

2

xy esimi

u

v

inf

sup

y

x









 

_



_











1

2

xz esimi

u

w

inf

sup

z

x









 

_



_











1

2

yz esimi

v

w

inf

sup

z

y









 

_



_











In pratica il termine misto misura la distorsione dell’angolo RPS Analogamente per gli altri termini yz e xz

Legame tensione deformazione

Questo legame si esprime in modo semplice nel caso di:

1. comportamento lineare del materiale 2. Ambito di piccoli spostamenti

3. Ambito di piccole deformazioni

4. Corpo omogeneo (proprietà indipendenti dal punto)

5. Isotropia (proprietà indipendenti dall’orientazione del Sistema Riferimento )

In tali ipotesi valgono le equazioni di Navier, per quanto concerne i valori sulla diagonale principale e al di fuori da essa























z x y



zz z x y yy z y x xx

E

1

E

1

E

1





















































2 1

E

G



 

xy xy xz xz yz yz

G

G

G



 



 



 

2 i j i j   

Come si vede il legame è definito in base a 3 costanti (del materiale) che si riducono a 2 indipendenti considerando la relazione

E = modulo di Young / (Pressione) = Pa = N/m2 _{MPa = N/mm}2

G = modulo elasticità trasversale / (Pressione) = Pa = N/m2 MPa = N/mm2  = coefficiente di contrazione laterale (Adimensionale)

Ad esempio se si tratta III riga (z):



_z





_xz





_yz



0



zz



0

0

yz xz

zz















_z



0

Si hanno stati di tensione piano quando tutti i termini del tensore delle tensioni su una riga (e la corrispondente colonna) sono nulli.

Questo caso si realizza ad esempio nelle sollecitazioni di lastre (sollecitate membranalmente) o piastre (sollecitate flessionalmente) sottili

Notare che tensioni piane corrispondono a deformazioni tridimensionali

Si hanno stati di deformazione piana quando tutti i termini del tensore delle deformazioni su una riga (e la corrispondente colonna) sono nulli.

Ad esempio se si tratta III riga (z):

Questo caso si realizza ad esempio nelle sollecitazioni di lastre (sollecitate membranalmente) o piastre (sollecitate flessionalmente) spesse e intagliate (concentrazione tensione)

Notare che deformazioni piane corrispondono a tensioni tridimensionali

Per una lastra in pratica una deformazione piana indica che non si ha sotto carico una variazione di spessore

Esempio:

Riprendendo il caso precedente, si calcolano le deformazioni per un acciaio E = 2.06 1011 _Pa  _{= 0.3 G= 7.92}

₁₀

10













6 6 6 4 11 6 6 6 4 11 6 6 6 4 11

1

12 10

0.3 55 10

90 10

2.69 10

2.06 10

1

55 10

0.3

12 10

90 10

1.53 10

2.06 10

1

90 10

0.3

12 10

55 10

3.74 10

2.06 10

xx yy zz   





 

_

 









_

 









 

_





 





_











 

_





 





_







6 5 10 6 4 10 6 4 10

5 10

6.31 10

7.92 10

60 10

7.57 10

7.92 10

32 10

4.04 10

7.92 10

xy xz yz   

 

 









 









 







Appare evidente che se il sistema di riferimento prevede



principali ( = 0) - termini fuori diagonale nulli - esso rende anche il tensore



principale ( = 0)

Ma come si determinano i valori delle tensioni/deformazione principali e le loro direzioni? Prima vediamo il caso 2D e poi quello 3D

CIRCONFERENZE DI MOHR (2D)

La circonferenza di Mohr descrive lo stato di tensione rispetto ad un fascio di piani avente per sostegno un asse che coincide con una direzione

principale (se 2D una direzione principale è ortogonale al piano ) Nella figura risulta



_xz= _yz

=0

Tale rappresentazione non è utile se non è nota almeno una delle direzioni principali

x y x  x  y  y  xy  xy  yx  yx  P

Si assume che  > 0 se la rotazione è antioraria

In tal modo rotazioni nel riferimento geometrico e nel piano di Mohr (piano



-



)

con



verso basso hanno lo stesso verso

P x y S R    y  x  xy  yx  





RS

cos

PS





RS

sen

PR

 



























_x

cos

2 _y

sen

2

2

_xy

sen

cos

































sen

2

1

cos

2

1

sen

2

1

cos

2

1

2

sen

_{xy x} 2 _y 2 _x 2 _y 2













_

_

_

_

_















_

_

_

_

_



cos

2

1

cos

2

1

sen

2

1

sen

2

1

_x 2 _x 2 _y 2 _y 2

Si impone l’equilibrio delle risultanti nella direzione di :

 

 



 







 



     cos2 sen2 2 1 2 1 _{x y x y xy}

Ora si impone l’equilibrio in direzione ortogonale rispetto ad :

P x y S R    y  x  xy  yx  

 

2 2

_xsen cos - _y sen cos _yxsen + _xycos

             

 

1





cos 2 sen 2 2 xy x y          

Se riferimento x-y è principale (_xy = 0) risultano le equazioni parametriche di una circonferenza



 







 



   cos2 2 1 2 1 _{1 2 1 2}



1 2



1 - en2 2 s       Infatti posto







_{1 2}



2 1

2

1

2

1





















(raggio) (shift origine)

-

cos 2

- sen 2



  



  







2 2 2













Quadrando e sommando



max



-

cos 2

- sen 2



  



  







2 2 2













Le rotazioni mantengono lo stesso verso

xy  x  y  yx  1  2  

Note le due tensioni principali e le loro direzioni (ortogonali nel piano fisico – su un diametro nel piano di Mohr) si possono determinare geometricamente le  e  per ogni rotazione  del sistema di riferimento

Ad esempio se Dir. Princ. 1 Dir. Princ. 1 1 2

=150

=-100





Si vuole sapere lo stato tensionale dopo rotazione oraria di 40°

 

 

 

=

cos 2

25 125 cos 80

46.7

=

cos 2

25 125 cos 80

3.3

sen 2

125sin 80

123.1

x y xy



  

 



 



  

 



 

  

  

  

46.7

123.1

123.1

3.3









_







1



y





2



xy





2

yx







max



x



IL passaggio inverso (dalla matrice che rappresenta il tensore alle tensioni principali) si attua applicando il teorema di Pitagora

2 xy 2 y x y x 2 , 1 2 2 _            

Mentre la direzione nel piano fisico su cui si appoggia la tensione principale ₁ si ricava annullando la 

y x xy 2 2 tan       _             y x xy 2 tan ar 2 1

La costruzione di Mohr si può rifare appoggiandosi alle tre direzioni principali, si ottengono così 3 circonferenze

 1   3  2 Solo trazione  1   3  2 Solo compressione  1   3  2 Mista  1   3  2

Se invece una delle tensioni principali è nulla – stato di tensione piano – una delle 3 tensioni principali risulta nulla e così possiamo distinguere 3 casi

 1   3 2  Monodimensionale - trazione  3   2 1   Monodimensionale - compressione  1   3  ₂

Si può dimostrare che appoggiandosi ad una direzione non principale, i punti nel piano di Mohr che corrispondono a

valori di -  si posizionano nell’area tratteggiata

₁  ₂  ₃

Tensione idrostatica - Le circonferenze degenerano in un unico punto

Ricerca delle tensioni principali 3D (valori e direzioni appoggio)

i _{j i j}

T



  

con i = 1 … 3

Ripartendo dalle relazioni di Cauchy, in termini matematici, ricercare le direzioni principali equivale a dire cercare quelle direzioni nell’ellissoide di Lamé per le quali la normale alla superficie coincide con la direzione stessa.

T





Es non // a - direzione non principale

T





La condizione di parallelismo equivale ad un rapporto costante tra le componenti dei vettori

0

1, 2,3

j i j i

i

     



i _i

T



  



   

_{j i j i}



 

_j

0

i



1, 2,3

Che può scriversi nella forma:

Ne risulta un classico problema agli autovalori

Il problema della ricerca degli autovalori riguarda la ricerca di soluzioni non banali di un sistema di equazioni algebrico omogeneo – in pratica si cercano quei



che annullano il determinante della matrice dei coefficienti

0

x xy xz yx y yz zx zy z

Det

  







  









  

In alternativa, si può ricorrere agli invarianti del tensore:

z y x 1















2 y yz x xz x xy zy z zx z yx y













 























₃

Det

₀

3 2 2 1 3





















Minori complementari diagonale principale

Trovati i tre  _i si ottengono i 3 e con Cauchy le 3





 principali Le tensioni principali sono ordinate algebricamente: ₁  ₂  ₃ L’assenza di alcune di esse dà stati tensione piano, monodimensionale

Esempio:

Consideriamo il seguente tensore di deformazione

88.4889

6.9427

-59.9154

6.9427

103.5721

-3.2374

-59.9154

-3.2374

-12.0610





















Si vogliono determinare le tensioni principali e le direzioni di appoggio nel sistema di riferimento con il quale è stato scritto il tensore su riportato

Innanzitutto si

determinano gli invarianti

1 x y z

180.0

       

3 2

3.2 10

y yz x xz x xy zy z zx z yx y













 





















5 3

Det

4.8 10

 

  



L’equazione di III grado che, risolta, fornisce i tensori principali e’:

Non è banale risolvere una equazione di III grado, la cosa più semplice è isolare un termine e risolvere per tentativi – ciò è abbastanza veloce

3 2 3 5 2

180

3.2 10

4.8 10

0

 

 



  





0

3 2 2 1 3





















2 3 Pr 1 2 3

        

La soluzione la cerchiamo per tentativi, ricordando che se

2 3

Pr 1 Pr 2 Pr 3





      

Occorre diminuire il valore tentativo

2 3

Pr 1 Pr 2 Pr 3





      

Occorre aumentare il valore tentativo

400

300.1481 99.8519

200 182.5161 17.4839

140 137.5069

2.4931

110 110.4117

-0.4117

115 115.2923

-0.2923

120

120

0

sx dx scarto Diminuire Diminuire Diminuire Aumentare Aumentare

N.B. se si “saltano” delle soluzioni, le

inversioni di segno possono essere differenti da quelle indicate. Non ha però importanza perché ci basta determinare una qualunque delle tensioni principali

Conviene utilizzare come I tentativo “trace(σ)”

Le altre due rimanenti si determinano abbassando di grado il polinomio di III grado

1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1

1

1

//

pr pr pr pr pr pr pr pr pr pr

I

I

I

I

I

I

I

I

I









  

    

 

   

a b c 2

4

2

b

b

c

 



 

Nell’esempio in esame si ha:

60

3600

4 4000

60 140

2

 

 

 

  

60

4000

b

 

c

 

Una volta riordinate si ottiene:

 

₁

120

 

₂

100

  

₃

40

Per la direzione di appoggio, si risolve il sistema a meno di un coefficiente ( _x =1 )

0

1, 2,3

j i j i

i

     



1 1 1

0

0

0

x x yx y zx z x yx x y y yz z y zx x zy y z z z

           



           



           



Abbiamo annullato il determinante quindi 2 sole equazioni (le prime due) sono indipendenti

1 1

88.4889

6.9427

59.9154

6.9427 103.5721

3.2374

y z y z y



 

  



 

   









6.9427

59.9154

88.4889 120

103.5721 120

3.2374

0

y z y z

 

  





 

 

88.4889 6.9427 -59.9154 6.9427 103.5721 -3.2374 -59.9154 -3.2374 -12.0610          

Si normalizza versore direzione:



i(norm)

 

i

    

2x 2y 2z

0.5372

-0.4637

y z

 

 

Soluzione:

0.8155

0.4381

0.3762

x y z

 

 

  