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Elementi di Matematica e Logica (I modulo) Esame - 8 febbraio 2010
- Dare adeguate spiegazioni a ogni quesito, senza spiegazioni le risposte non verranno considerate. - Scrivere i primi 4 esercizi su un protocollo e gli altri su un altro protocollo.
- Ricordarsi di mettere nome e cognome su tutti i fogli che si consegnano ( si pu`o tenere il testo).
Es. 1 . [6pt=2+2+2] Sia f : Z × Z → Z definita da f (a, b) = 3a + 2b a) Dire se f `e surgettiva.
b) Provare che f `e un omomorfismo di gruppi additivi. c) Determinare Ker f .
Es. 2 . [3pt] Provare per induzione che
n X k=0 4k= 4 n+1− 1 3
Es. 3 . [5pt=3+2] a) Sia n = 490 . Usando l’algoritmo euclideo determinare l’inverso di 17 in Zn.
b) Sia φ(n) la funzione di Eulero. `E vero che l’inverso di 17 `e 17φ(n)−1?
Es. 4 . [2pt] Sia n = 360 e sia S = {a ∈ Zn | 5a = 0} . Dire se S `e un sottogruppo additivo di
Zn.
Es. 5 . [3pt=2+1] Sia C = 1 1 0 0
!
. In M2(R) poniamo A ∼ B ⇐⇒ (A − B)C = 0 .
a) Provare che ∼ `e una relazione di equivalenza. b) Determinare la classe della matrice identica.
Es. 6 . [7pt] Dire per quali valori di a ∈ R ha soluzione il sistema lineare 3x + 2y + az = 0 2ax + y + z = 0 4x + 3y + z = 1 x + az = 0 e determinarle nel caso a = −12 .
Es. 7 . [4pt] Dato il polinomio X8 − 1 determinarne in C tutte le radici e scriverlo come prodotto di fattori reali di primo e secondo grado.
