Metodi e Modelli Matematici V.1

(1)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I M M M 1

Metodi

e

Modelli Matematici

Revised:6 marzo 2013 9h : 38min Ottavio Caligaris

(2)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C A R A T T E R IS T IC H E

Caratteristiche

di un modello matematico

• Identificazione dei meccanismi e delle leggi che regolano il pro-blema da modellizzare.

• Formulazione delle ipotesi a partire dalle quali il modello va co-struito.

• Costruzione del modello attraverso il linguaggio matematico. • Analisi del modello.

• Interpretazione del modello. • Validazione del modello.

(3)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I M O D E L L I D IFF E R E N Z IA L I 3

Modelli Differenziali

O.D.E.

-(Ordinary

Differential

Equations)

(4)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I M O D . D IFF . -C A D U T A D I U N G R A V E

(5)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I M O D . D IFF . -C A D U T A D I U N G R A V E 5

Caduta di un grave

O P0= h0

Un punto di massa m `e posto ad un’altezza h

Sul punto agisce solo la forza di gravit `a F = mg

(6)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I M O D . D IFF . -C A D U T A D I U N G R A V E x O P0= h0 P = x(t)

Assumiamo un sistema di riferi-mento che coincide con la retta che il punto percorre cadendo Assumiamo l’origine in corrispon-denza del suolo

Consideriamo positive le altezze misurate dal suolo

(7)

x(t) posizione (altezza) del punto P all’istante t v(t) = ˙x(t) velocit `a del punto P

a(t) = ¨x(t) accelerazione del punto Per le leggi di Newton

ma(t) = −mg

(1) ¨x(t) = g

Il moto inizia all’istante t0 = 0

(2) ˙x(t) = −gt + c₁

(3) x(t) = −1

2gt

2 _{+ c}

(8)

Il moto `e determinato univocamente se si conoscono posizione e velocit `a iniziale.

v₀ = ˙x(0) = c₁ h₀ = x(0) = c0

Il punto P si muove sull’asse x seguendo la legge

(4) x(t) = −1

2gt

2

(9)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I M O D . D IFF . -C A D U T A D I U N G R A V E 9 x y

(10)

Modello alternativo

Energia potenziale del punto P

U(t) = mgx(t) Energia cinetica del punto P

1 2m ˙x

2_(t)

Energia totale del punto P E(t) = 1

2m ˙x

2_{(t) + mgx(t)}

Per il principio di conservazione dell’energia. E(t) = costante

(11)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I M O D . D IFF . -C A D U T A D I U N G R A V E 11 (5) 1 2m ˙x 2 (t) + mgx(t) = mk mk = 1 2mv 2 0 + mgh0 ⇐⇒ v0 = ± p 2k − 2gh0 (6) 1 2˙x 2 (t) = k − gx(t) k − gx(t) ≥ 0 ⇐⇒ x(t) ≤ k g

(12)

Per le soluzioni non costanti

(7) ˙x(t) = ±p2k − 2gx(t) ˙x(t) p2k − 2gx(t) = ±1 g ˙x(t) p2k − 2gx(t) = ±g Zt 0 g ˙x(s) p2k − 2gx(s)ds = ±gt u = x(s) , du = ˙x(s)ds Per s = 0 e s = t avremo x(s) = x(0) = h0 e x(s) = x(t), Zx(t) x₀ gdu √ 2k − 2gu = ±gt

(13)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I M O D . D IFF . -C A D U T A D I U N G R A V E 13 p 2k − 2gx(t) − p2k − 2gx0 = ±gt p 2k − 2gx(t) = ±gt + v₀ 2k − 2gx(t) = (±gt + v₀)2 x(t) = k g − 1 2g (±gt + v0) 2

Il segno ± di ±gt si pu ò determinare dalla 7: per continuit à. La scelta del segno pu ò essere mantenuta fino a che

(14)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I M O D . D IFF . -C A D U T A D I U N G R A V E Se v0 < 0 allora ˙x(t) = −gt + v₀ < 0 ∀t ≥ 0 mentre se v0 > 0 ˙x(t) = −gt + v₀ = 0 ⇐⇒ t0 = v₀ g Le condizioni iniziali x(t₀) = k g ˙x(t0) = 0 non determinano il segno della radice in 7.

(15)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I M O D . D IFF . -C A D U T A D I U N G R A V E 15 (1) useremo (8) ˙x(t) = +p2k − 2gx(t)

se ipotizziamo che la velocit `a del punto sia positiva per t > t0

(2) useremo

˙x(t) = −p2k − 2gx(t)

se ipotizziamo che la velocit `a del punto sia negativa per t > t0

(3) anche la soluzione x(t) ≡ _gk `e accettabile

La soluzione costante risolve il problema della conservazione dell’e-nergia, non quello del moto.

(16)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I M O D . D IFF . -C A D U T A D I U N G R A V E x y

(17)

Per v0 > 0 la 8 descrive il moto del punto P se t < t0.

Poich`e deve essere x(t) ≤ k

g = x(t0) x non pu`o crescere per t > t0, quindi

˙x(t) ≤ 0 per t > t₀ ˙x(t) = −p2k − 2gx(t) x(t0) = _gk La soluzione costante x(t0) = k g non `e fisicamente improponibile

(18)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C R E S C IT A D I U N A P O P O L A Z IO N E

(19)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O D I M A L T H U S 19

Il Modello Esponenziale di Malthus (1798)

Prevede che la crescita di una popolazione sia proporzionale al numero di individui;

Sia

n(t)

il numero di individui di una popolazione al tempo t ˙ n(t) = cn(t) n(t0) = n0 c `e il tasso di crescita si ottiene (9) n(t) = n₀ec(t−t0)

(20)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O D I M A L T H U S

Per determinare c bastano due valori

n0 = n(t0) n1 = n(t1) dalla 9 per t = t1 n1 = n0ec(t1−t0) e c = ln(n1 n₀) t₁ − t0

Per n1 = 2n0 si parla di tempo di raddoppio

Per n1 = 1₂n0 si parla di tempo di dimezzamento

c `e il tasso di crescita istantaneo

c = n(t)˙ n(t)

(21)

Tabella dei valori della popolazione mondiale 1950 - 2002. 1950 2,556,517,137 1951 2,594,315,297 1952 2,636,388,259 1953 2,681,738,456 1954 2,729,717,908 1955 2,781,183,648 1956 2,834,158,518 1957 2,890,001,400 1958 2,946,524,167 1959 2,998,875,935 1960 3,040,966,466 1961 3,081,748,662 1962 3,137,743,692 1963 3,207,262,725 1964 3,278,382,111 1965 3,347,361,927 1966 3,417,544,528 1967 3,487,234,405 1968 3,559,028,982 1969 3,633,608,846 1970 3,708,751,360 1971 3,786,142,462 1972 3,862,618,859 1973 3,938,589,415 1974 4,013,474,625 1975 4,086,472,822 1976 4,157,989,236 1977 4,230,087,505

(22)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O D I M A L T H U S 1978 4,302,112,896 1979 4,376,940,588 1980 4,452,645,562 1981 4,528,683,571 1982 4,608,405,979 1983 4,689,846,998 1984 4,770,104,443 1985 4,851,854,518 1986 4,935,217,445 1987 5,021,240,720 1988 5,107,965,588 1989 5,194,724,098 1990 5,282,765,827 1991 5,366,815,901 1992 5,450,861,723 1993 5,532,578,016 1994 5,613,424,524 1995 5,694,418,460 1996 5,773,464,448 1997 5,852,360,768 1998 5,929,735,977 1999 6,006,163,019 2000 6,081,527,896 2001 6,155,942,526 2002 6,229,629,168 2003 6,303,112,453 2004 6,376,863,118 2005 6,451,058,790 2006 6,525,486,603 2007 6,600,115,810 2008 6,675,056,342 2009 6,750,284,385 2010 6,825,750,456 2011 6,901,439,322

(23)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O D I M A L T H U S 23 Per t0 = 1960 n(t0) = n0 = 3 × 109 Per t1 = 1970 n(t1) = n1 = 3.7 × 109 Pertanto c = ln( n₁ n₀) t1 − t0 = ln 1.02 ≈ .0198 e n(t) = 3 × 109eln(1.02)(t−1960)

(24)

Tabella dei valori previsti dal Modello di Malthus a fronte dei valori effettivi.

Anno Valore previsto Valore vero

1950 414,207,711 2,555,360,972 2000 8,255,313,138,000 6,079,006,982 2001 10,062,916,260,000 6,154,325,843 2002 12,266,316,500,000 6,228,641,303 2003 14,952,178,520,000 6,302,486,693 2004 18,226,143,320,000 —–

Il modello Malthusiano sottostima il dato per il 1950 sovrastima i valori degli anni 2000 - 2003.

(25)

Una curiosit `a.

La superficie delle terre emerse `e di

S = 1.48 ∗ 1014 m2 Il valore previsto per il 2003 `e

n(2003) = 14, 952, 178, 520, 000

Se fosse stato attendibile, ogni abitante della terra avrebbe a dispo-sizione solo

(26)

Il modello esponenziale `e adatto a rappresentare il decadimento di materiale radioattivo

Ogni elemento radioattivo decade in maniera proporzionale alla pro-pria massa.

Ad esempio il torio ha un tempo di dimezzamento di 1.65 × 1010 anni; Pertanto il torio decade seguendo la legge

q = q₀ect dove c si pu `o ricavare dalla

c = ln(

1

2)

1.65 × 1010 = −1.33 × 10 −18

(27)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O E S P O N E N Z IA L E D IS C R E T O 27

La discretizzazione del modello esponenziale

Nel modello differenziale c `e il tasso di crescita istantaneo

Nel periodo T avremo una crescita pari a γ = cT

tasso di crescita nel periodo T Pertanto

n(t₀ + T ) = n(t0) + cTn(t0) = n(t0) + γn(t0)

(28)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O E S P O N E N Z IA L E D IS C R E T O

Si consideri il caso di una popolazione con tasso di accrescimento medio su un periodo T uguale a γ.

e pertanto

n(t0 + T ) = n(t0) + γn(t0)

n(t0) = n0

Se T `e grande la popolazione, dopo un tempo T , sar `a cresciuta anche per opera degli individui nati nei periodi

t0 + h T k, t0 + (h + 1) T k , h = 0, 1, .., k − 1

(29)

Il tasso di accrescimento medio su t0 + hT_k, t0 + (h + 1)T_k `e

γ k = cT k Posto n_h = n t₀ + hT k h = 0..k Avremo n₀ = n(t0) nh = nh−1 + cT_k nh−1 1 ≤ h ≤ k

(30)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O E S P O N E N Z IA L E D IS C R E T O Si ha n_h = 1 + cT k n_h−1 = (10) = 1 + cT k 2 nh−2 = (11) = 1 + cT k h n(t₀) = (12) = 1 + cT k h n0 (13)

(31)

Confrontando le soluzioni della 9 e della 13, avremo, dopo un tempo T n(t0 + T ) = n0ecT oppure n(t0 + T ) = n0 1 + cT k k

Si rileva che per k → +∞

1 + cT k

k

→ ecT

La soluzione del modello discreto tende alla soluzione del modello continuo. n(t₀ + T ) = n0ecT oppure n(t0 + T ) = n0 1 + cT k k

(32)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O E S P O N E N Z IA L E D IS C R E T O

Con lo stesso procedimento si pu `o calcolare il rendimento sul periodo T di un capitale al tasso c se si contabilizzano gli interessi su ognuno dei sottoperiodi di lunghezza T_k (interesse composto),

n(t0 + T ) = n0 1 + cT k k `

E il valore maturato al tempo T partendo da un capitale n0 con un

(33)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C R E S C IT A L O G IS T IC A 33

Modello di crescita logistica

Una popolazione per svilupparsi consuma le risorse dall’ambiente. Le risorse non sono illimitate, condizionano lo sviluppo.

Un modello che tenga conto anche di queste condizioni fu proposto da Verhulst (1846)

Si assume che il tasso di accrescimento c diminuisca linearmente con il numero degli individui.

(34)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C R E S C IT A L O G IS T IC A Poich `e c( ¯n) = a − b ¯n = 0 ⇐⇒ n =¯ a b

`e evidente che la presenza di un numero ¯n di individui annulla il tasso di crescita ed impedisce una ulteriore crescita

¯

n assume pertanto il significato di massimo numero di individui so-stenibili dall’ambiente.

Possiamo definire un modello mediante il problema di Cauchy

˙

n(t) = an(t) − bn2(t) = n(t)(a − bn(t)) n(t0) = n0

L’equazione differenziale `e nota come equazione logistica

(35)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C R E S C IT A L O G IS T IC A 35 L’equazione Logistica

• ha due punti di equilibrio (soluzioni costanti) per

n(t) = 0 n(t) = a

b = nmax corrispondono, rispettivamente, al caso in cui

– la popolazione si `e estinta

– la popolazione ha saturato l’ambiente

• poich è an − bn2 > 0 per 0 < n < a b la soluzione è – crescente se n0 < a_b – decrescente se n0 > _ba • poich è ¨ n(t) = (a − 2bn(t)) ˙n(t)

– la soluzione `e convessa ( ˙n crescente), se n(t) < _2ba

(36)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C R E S C IT A L O G IS T IC A

Si pu `o congetturare che n tende ad un valore asintotico nmax

• crescendo se n0 < nmax • decrescendo se n0 > nmax • (rimane costante se n0 = n_max) per n(t) = a 2b = nmax 2 c’ `e un punto di flesso

La crescita `e molto rapida fino a che n(t) = _2ba = nmax

2 rallenta

(37)

Possiamo integrare l’equazione

˙

n(t) = an(t) − bn2(t) = n(t)(a − bn(t)) n(t₀) = n₀

Vale il teorema di esistenza ed unicit `a e ci sono due soluzioni costanti

n(t) = 0 , n(t) = a

b

(38)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C R E S C IT A L O G IS T IC A ˙ n(t) n(t)(a − bn(t)) = 1 Zt t₀ ˙ n(s) n(s)(a − bn(s))ds = t − t0 Zn(t) n(t₀) dx x(a − bx) = t − t0

(39)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C R E S C IT A L O G IS T IC A 39 1 x(a − bx) = 1 a 1 x + b a − bx da cui Zn(t) n₀ dx x(a − bx)dx = 1 a ln|x| − ln |a − bx| n(t) n₀ = = 1 a ln _n(t) a − bn(t) a − bn₀ n₀ Ne viene t − t₀ = 1 a ln c _n(t) a − bn(t)

dove _a−bn(t)n(t) ha lo stesso segno di c = n0

a−bn₀ in ciascuno degli intervalli

in cui `e definita Si ricava (14) n(t) = a b + ce−a(t−t₀) = 1 β + γe−a(t−t₀)

(40)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C R E S C IT A L O G IS T IC A dove β = b_a e γ = _ac

Le costanti a, β e γ possono essere determinate se si conoscono n(t₀ − h) = p₀ n(t0) = p1 n(t0 + h) = p2 infatti si ha 1 n(t) = β + γe −a(t−t₀)

ed `e sufficiente risolvere il sistema        1 p₀ = β + γe ah 1 p₁ = β + γ 1 p₂ = β + γe −ah

(41)

Posto H = e−ah otteniamo

(15)        1 p₀ = β + γ 1 H 1 p₁ = β + γ 1 p₂ = β + γH e pertanto (16) ₁ p₀ − 1 p₁ = γ 1 H − 1 = γ 1−H H 1 p₁ − 1 p₂ = γ(1 − H) 1 p₀ − 1 p₁ 1 p₁ − 1 p₂ = 1 H Se ne deduce che 1 H = p₁p₂(p1 − p0) p0p1(p2 − p1) H = p0p1(p2 − p1) p1p2(p1 − p0)

(42)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C R E S C IT A L O G IS T IC A Per t0 = 1960 h = 10 n(t0 − h) = n0 = 2, 555, 360, 972 n(t₀) = n₀ = 3, 039, 669, 330 n(t0 + h) = n0 = 3, 708, 067, 105 Pertanto n(t) = 10 9 −.88 + 1.21 ∗ e−.005t+9.8

(43)

Tabella dei valori previsti dal Modello di Verhulst a fronte dei valori effettivi.

Anno Valore previsto Valore vero

1950 2.555.360.977 2,555,360,972 2000 9.206.029.384 6,079,006,982 2001 9.206.029.384 6,154,325,843 2002 10.129.192.320 6,228,641,303 2003 10.659.649370 6,302,486,693 2004 11.245.626.720 —–

Il modello di Verhulst sottostima il dato per il 1950 sovrastima i valori degli anni 2000 - 2003.

(44)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C R E S C IT A L O G IS T IC A C O N P R E L IE V O

Modello di crescita logistica con

prelievo costante

`

E il caso di una popolazione il cui sviluppo `e influenzato da un prelie-vo ad opera di agenti esterni;

Ad esempio

• un allevamento ittico, da cui viene pescata una quantit `a fissa di pesce

• una specie in ambiente protetto e senza antagonisti il cui svilup-po deve essere controllato mediante un prelievo periodico per mantenere il numero di esemplari stabile.

(45)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C R E S C IT A L O G IS T IC A C O N P R E L IE V O 45

Se la popolazione si sviluppa con tasso di crescita a − bn ed `e sottoposta ad prelievo costante pari ad una quantit `a c avremo

˙

n(t) = an(t) − bn2(t) − c n(t0) = n0

a, b, c > 0

Il valore di c `e critico e pu `o portare all’estinzione della popolazione. `

E utile determinare il massimo prelievo che non causa l’estinzione della popolazione.

Vale il teorema di esistenza ed unicit `a L’equazione ha soluzioni costanti se

−bx2 + ax − c = 0 ha soluzioni reali.

(46)

Possiamo pertanto distinguere tre casi

a2 − 4bc < 0

Non ci sono soluzioni costanti e si ha

˙ n(t) an(t) − bn2_{(t) − c} = 1 Zt t₀ ˙ n(s) an(s) − bn2_{(s) − c}ds = t − t0 Zn(t) n(t₀) dx ax − bx2 _{− c} = t − t0

(47)

L’integranda pu `o essere decomposta in fratti semplici mediante la 1 ax − bx2 _{− c} = − 1 b 1 x − _2ba 2 − a2 4b2 + c b = = −1 b 1 x − _2ba 2 + δ = = − 1 bδ 1 1 √ δ x − a 2b 2 + 1 = dove si `e posto δ = 4bc − a 2 4b2 Pertanto Z _dx ax − bx2 _{− c} = − 1 b√δ arctan 1 √ δ x − a 2b + cost.

(48)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C R E S C IT A L O G IS T IC A C O N P R E L IE V O e − 1 b√δ arctan 1 √ δ n(t) − a 2b + + 1 b√δ arctan 1 √ δ n₀ − a 2b = t − t0 Inoltre n(t) = a 2b + √ δ tan t0 + 1 b√δ arctan 1 √ δ n0 − a 2b − t

(49)

Popolazione nel caso di crescita logistica con prelievo costante per

a = 2 b = 1 c = 4

(50)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C R E S C IT A L O G IS T IC A C O N P R E L IE V O a2 − 4bc = 0 −bx2 + ax − c = 0 per x = _2ba n(t) = α = a 2b

`e una soluzione costante dell’equazione differenziale Si ha inoltre 1 ax − bx2 _{− c} = − 1 b 1 x − _2ba 2 da cui Zn(t) n₀ dx ax − bx2 _{− c} = 1 b 1 n(t) − _2ba − 1 b 1 n0 − _2ba = t − t0 e n(t) = 1 2b a + 2bn0 − a 1 + (n₀b − a 2)(t − t0) !

(51)

a = 2 b = 1 c = 1

(52)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C R E S C IT A L O G IS T IC A C O N P R E L IE V O a2 − 4bc > 0

In questo caso l’equazione

−bx2 + ax − c = 0 ammette due soluzioni reali e distinte

α = a 2b + s a2 _{− 4bc} 4b2 , β = a 2b − s a2 _{− 4bc} 4b2

e quindi possiamo trovare due soluzioni costanti di equilibrio per il si-stema. Si ha −bx2 + ax − c = −b(x − α)(x − β) e 1 −bx2 _{+ ax − c} = 1 b(β − α) ₁ x − α − 1 x − β

(53)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C R E S C IT A L O G IS T IC A C O N P R E L IE V O 53 da cui Z ₁ −bx2 + ax − cdx = = 1 b(β − α) (ln|x − α| − ln |x − β|) + ϕ(x) e ϕ `e una funzione costante a tratti

Zn(t) n₀ 1 −bx2 _{+ ax − c}dx = = 1 b(β − α) ln n(t) − α n(t) − β n0 − β n0 − α = t−t0 da cui n(t) = α − βn0−α n₀−βe −b(β−α)(t−t₀) 1 − n0−α n₀−βe −b(β−α)(t−t₀)

(54)

a = 5 b = 1 c = 4

(55)

Andamento della popolazione con prelievo costante nei casi in cui

a = 3 b = 1 c = 2

(56)

Come si pu `o facilmente osservare dai grafici della soluzione n(t) il modello rende ragione dei seguenti fatti

(1) se a2 − 4bc < 0 la popolazione si estingue in un tempo finito (2) se a2 − 4bc = 0

• la popolazione si estingue in un tempo finito se n0 < _2ba

• mentre tende a stabilizzarsi sul valore _2ba asintoticamente se n₀ > _2ba

(3) se a2 − 4bc > 0

• la popolazione si estingue in un tempo finito se n0 < β

• mentre tende a stabilizzarsi sul valore β asintoticamente se n0 > β

(57)

Pertanto, pur di partire con un sufficiente numero di individui, non si ha estinzione della popolazione per

c ≤ a

2

4b

c = a_4b2 è la pi ù alta quantit à che si pu ò prelevare senza causare l’estinzione della popolazione in un tempo finito

`

E la rendita massima dell’allevamento.

Nel caso la popolazione non si estingua, essa si assesta su un valore di regime pari a α = a 2b + s a2 _{− 4bc} 4b2 < a b

(58)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I D IFF U S IO N E D I U N ’E P ID E M IA

Diffusione di un’epidemia di

ti-po SIS o SIR

La diffusione di una epidemia pu `o essere descritta mediante un mo-dello simile a quello descritto nella sezione precedente.

Possiamo distinguere tra due diversi modelli: • Il modello SIS:

(59)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I D IFF U S IO N E D I U N ’E P ID E M IA 59 • Il modello SIS:

prevede che la malattia si diffonda tra individui Suscettibili al-l’infezione che alimentano la categoria degli individui Infetti che, a loro volta, guariscono e tornano Suscettibili.

• Il modello SIR

prevede che la malattia si diffonda tra individui Suscettibili al-l’infezione che alimentano la categoria degli individui Infetti.

Gli infetti non rientrano pi `u nella categoria dei suscettibili, (l’e-sito della malattia `e fatale oppure genera immunita’).

Dopo la malattia gli individui vengono Rimossi dalla popolazio-ne

(60)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I E P ID E M IA D I T IP O S IS

Epidemia di tipo SIS

x `e il numero di individui infetti

y `e il numero di individui suscettibili.

La malattia si diffonde tra i suscettibili in ragione del numero di incon-tri tra infetti e suscettibili secondo un coefficiente di proporzionalit `a a il tasso di infettivit`a.

In altre parole

a = infettati incontri

(61)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I E P ID E M IA D I T IP O S IS 61 Gli infetti

aumenteranno in ragione del termine axy

diminuiranno della parte di infetti bx che guariscono, (b `e il tasso di guarigione)

b = guariti infetti I suscettibili

diminuiranno della parte che si infetta aumenteranno della parte che guarisce

(62)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I E P ID E M IA D I T IP O S IS

L’accrescimento degli infetti `e dato da axy − by

L’accrescimento dei suscettibili `e dato da −axy + by. Possiamo scrivere il sistema differenziale.

(17) (SIS)            ˙x(t) = ax(t)y(t) − bx(t) ˙ y(t) = −ax(t)y(t) + bx(t) x(t₀) = x0 y(t0) = y0

Assumiamo che il numero degli infetti ed il numero dei suscettibili abbia somma costante uguale ad N

Poich ´e y = N − x si ha

˙x(t) = ax(t)(N − x(t)) − bx(t) ci si riduce allo studio della solita equazione logistica.

(63)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I E P ID E M IA D I T IP O S IR 63

Epidemia di tipo SIR

Nel caso (SIR) il sistema differenziale è simile a quello precedente; la sola differenza è nel termine che reintroduce i guariti tra i suscetti-bili ( che in questo caso non c’ è).

Il sistema pertanto sar `a

(18) (SIR)            ˙x(t) = ax(t)y(t) − bx(t) ˙ y(t) = −ax(t)y(t) x(t0) = x0 y(t0) = y0

(64)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I E P ID E M IA D I T IP O S IR

Non `e immediato risolvere il sistema, ma possiamo ottenere informa-zioni sulle sue soluinforma-zioni.

Dividendo la prima equazione per x, la seconda per y ed integrando, si ottiene (19)    x(t) = x0e Rt t0(ay(s)−b)ds y(t) = y0e Rt t0−ax(s)ds e quindi x, y > 0

Poich `e ˙y(t) = −ax(t)y(t) < 0 la funzione t 7→ y(t) `e decrescente e quindi ammette limite a +∞.

Inoltre sommando membro a membro in 18 si ottiene che

(20) ˙x(t) + ˙y(t) = −bx(t) ≤ 0

e quindi t 7→ x(t) + y(t) `e decrescente e risulta limitata da x(t0) +

(65)

Quindi x, y sono limitate ed il teorema di prolungabilit `a consente di affermare l’esistenza in grande della soluzione del sistema differenzia-le.

Integrando la 20 e ricordando che x, y > 0, si ha b

Zt

t₀

x(s)ds ≤ N − x(t) − y(t) ≤ N

l’integrale a primo membro esiste in senso improprio per t → +∞ ed `e convergente in quanto l’integranda `e positiva e quindi la funzione Rt

t₀ x(s)ds `e crescente ed ammette limite all’infinito. ne deduciamo che,

poich `e x(t) = (x(t) + y(t)) − y(t) ammette limite per t → +∞, allora x(t) → 0.

(66)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I E P ID E M IA D I T IP O S IR

Possiamo rappresentare le soluzioni del sistema (SIR) nel piano (x, y), che `e detto piano delle fasi.

Al variare di t la soluzione (x(t), y(t)) descrive nel piano (x, y) una curva che si chiama orbita del sistema

Se ϕ rappresenta localmente l’orbita

x(t) = ϕ(y(t)) = 0 allora ˙x(t) = ϕ0(y(t)) ˙y(t) da cui ϕ0(y) = axy − bx −axy = −1 + b ay Se ne ricava x = −y + b a ln y + cost

e ci `o consente di disegnare facilmente le orbite del sistema (SIR) nel piano delle fasi.

(67)

(68)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C U R V E D I IN S E G U IM E N T O

Curve di inseguimento

Sia T un bersaglio che si muove su una curva nota Γ a velocit `a costante.

Vogliamo determinare la curva che deve percorrere un punto P che insegue T a velocit `a costante se si dirige in ogni istante verso il punto T.

(69)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C U R V E D I IN S E G U IM E N T O 69

Consideriamo alcuni esempi.

Il bersaglio T si muove sulla retta x = a > 0 a velocit `a costante w

Γ pu `o essere parametrizzata mediante le γ(t) =

x(t) = a

y(t) = wt t ≥ 0

Siano (x(t), y(t)) le equazioni parametriche della curva di insegui-mento

( ˙x(t), ˙y(t)) `e il vettore velocit `a:

deve essere parallelo alla direzione (a − x(t), wt − y(t)) dovr `a aversi (21)        ˙x(t) = K(a − x(t)) ˙ y(t) = K(wt − y(t)) ( ˙x(t))2 + ( ˙y(t))2 = v2

(70)

Supponiamo che la soluzione sia una funzione y(x) allora y(t) = y(x(t))

e

˙

y(t) = y0(x(t)) ˙x(t) (22)

da cui, tenendo conto della 21

wt − y(t) = y0(x(t))(a − x(t)) (23) Derivando rispetto t w − ˙y(t) = y00(x(t)) ˙x(t)(a − x(t)) − y0(x(t)) ˙x(t) (24) Per la 22 w = y00(x(t)) ˙x(t)(a − x(t)) (25)

(71)

Dalla seconda delle 21 possiamo ricavare che

(26) dx dt 2 + dy dt 2 = dx dt 2 " 1 + dy dx 2# = v2

Ricavando ˙x(t) dalla 25 e sostituendo nella 26 otteniamo 1 + (y0(x))2 = v

w 2

(a − x)2(y00)2

Se poniamo p = y0 e chiamiamo k = _wv possiamo ricondurci ad una equazione a variabili separabili della forma

(72)

Se assumiamo X < a, separando le variabili ed integrando otteniamo p0 p 1 + p2 = 1 k(a − x) e (sinh)−1(p) = −1 k ln(a − x) + c da cui p = sinh(ln(γ(a − x))−1k ) ed infine p = 1 2 h (γ(a − x))−1k − (γ(a − x)) 1 k i

La costante γ pu `o essere ricavata imponendo che p(0) = y0(0)) = 0 (l’inseguitore comincia a muoversi con direzione orizzontale)

(73)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C U R V E D I IN S E G U IM E N T O 73 Si ottiene che γ = _a1

e possiamo scrivere che p = 1 2 ((1 − x a)) −1 k − ((1 − x a)) 1 k

Integrando nuovamente si pu `o ottenere la y, Se k 6= 1 y = 1 2 _ka 1 − k((1 − x a)) 1−_k1 − ka 1 + k((1 − x a)) 1+_k1 + d

Imponendo y(0) = 0 (l’inseguitore parte dall’origine) possiamo rica-vare d = −_1−kka2 e (27) y = ka k2 _{− 1} 1 + 1 2 (k − 1) 1 − x a 1+1_k − −(k + 1) 1 − x a 1−_k1!!

(74)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C U R V E D I IN S E G U IM E N T O Se k = 1 p = 1 2 ₁ γ(a − x) − γ(a − x)

Imponendo y(0) = p(0) = y0(0) = 0 si ottiene γ = _a1 e p = 1 2 " 1 1 − _ax − (1 − x a) # Integrando y = a 4 1 − x a 2 − ln 1 − x a 2 − 1 !

(75)

Se k > 1 ( v > w) dala 27 per x → a y(x) → ka

k2−1 ch `e il punto in cui

(76)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C U R V A D I P E D IN A M E N T O

Curva di pedinamento

Modifichiamo il problema richiedendo che si mantenga costante la distanza tra inseguitore P e bersaglio T ,

       ˙x(t) = K(a − x(t)) ˙ y(t) = K(wt − y(t)) (wt − y(t))2 + (a − x(t))2 = a2 Da ˙ y(t) = y0(x(t)) ˙x(t) otteniamo (wt − y(t)) = y0(x(t))(a − x(t)) per cui (y0(x(t))(a − x(t)))2 + (a − x(t))2 = a2

(77)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C U R V A D I P E D IN A M E N T O 77 ((y0(x(t)))2 + 1)(a − x(t))2 = a2 e (28) (y0(x))2 = a 2 (a − x)2 − 1

(78)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C U R V A D I P E D IN A M E N T O (y0(x))2 = a 2 (a − x)2 − 1 = 2ax − x2 (a − x)2 da cui y0(x) = a 2 (a − x)2 − 1 = √ 2ax − x2 (a − x) y(x) = Z √_{2ax − x}2 (a − x) dx + c

Integriamo per sostituzione ponendo p 2ax − x2 _{= xt} 2ax − x2 = x2t2 x = 2a 1 + t2 dx = − 2a (1 + t2₎22tdt

(79)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C U R V A D I P E D IN A M E N T O 79 Z √_{2ax − x}2 (a − x) dx = = Z _xt a − x − 2a (1 + t2₎2 2tdt = = Z _2at (1 + t2₎2 1 a − 2a 1+t2 − 2a (1 + t2₎2 2tdt = = Z _−8a2_t2 (1 + t2₎2_a1+t2−2 1+t2 1 (1 + t2₎2dt = = Z _−8at2 (t2 _{− 1)(1 + t}2₎2dt Poich `e −8at2 (t2 _{− 1)(1 + t}2₎2 = − 4a (1 + t2₎2 + 2a 1 + t2 − 2a t2 _{− 1}

(80)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C U R V A D I P E D IN A M E N T O Si ha Z − 1 t2 _{− 1}dt = Z _1/2 t − 1dt − Z _1/2 t + 1dt = 1 2 ln t − 1 t + 1 Z − 2 (1 + t2₎2+ 1 1 + t2dt = Z ₁ (1 + t2₎−2 " 1 1 + t2 − t2 (1 + t2₎2 # dt = Z − 1 (1 + t2₎ + t 2t (1 + t2₎2dt = Z − 1 (1 + t2₎ + _t (1 + t2₎ + Z ₁ (1 + t2₎ = − t (1 + t2₎ Quindi Z _−8at2 (t2 _{− 1)(1 + t}2₎2dt = 2a − t 1 + t2 + 1 2 ln t − 1 t + 1

(81)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C U R V A D I P E D IN A M E N T O 81 e poich `e t = √ 2ax − x2 x , t 2 ₌ 2ax − x 2 x2 Z √_{2ax − x}₂ (a − x) dx = 2a − t 1 + t2 + 1 2 ln t − 1 t + 1 = = −2a √ 2ax−x2 x 1 + 2ax−x2 x2 + a ln √ 2ax − x2 _{− x} √ 2ax − x2 _{+ x} = −p2ax − x2 _{+ a ln} √ 2ax − x2 _{− x} √ 2ax − x2 _{+ x} = = −p2ax − x2 _{+ a ln} a − √ 2ax − x2 a − x = = − q a2 _{− (a − x)}2 _{+ a ln} a + pa 2 _{− (a − x)}2 a − x =

(82)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C U R V A D I P E D IN A M E N T O la soluzione `e data da (29) y = − q a2 _{− (a − x)}2₊ + a ln a + pa 2 _{− (a − x)}2 a − x ! + c Per la 28 la distanza tra inseguitore ed inseguito rimane costante l’inseguitore segue, ma non vuole intercettare, cio `e pedina, il bersaglio. La stessa equazione vale se l’inseguito traina l’inseguitore; la curva descritta dalla 29 si chiama trattrice.

(83)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I N S E G U IM E N T O -S O L U Z IO N E N U M E R IC A 83

Curva di inseguimento in

gene-rale

Se in generale il bersaglio T si muove lungo una traiettoria γ di equazioni

(30) γ(t) = (a(t), b(t))

E se P `e l’inseguitore che procede a velocit `a costante v lungo la curva di equazioni parametriche

(84)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I N S E G U IM E N T O -S O L U Z IO N E N U M E R IC A dovr `a aversi (31)        ˙x(t) = k(t)(a(t) − x(t)) ˙ y(t) = k(t)(b(t) − y(t)) ( ˙x(t))2 + ( ˙y(t))2 = v2 Dalla 31 si ricava che

k(t) = v

p(a(t) − x(t))2 _{+ (b(t) − y(t))}2

e otteniamo per sostituzione    ˙x(t) = v√ a(t)−x(t) (a(t)−x(t))2+(b(t)−y(t))2 ˙ y(t) = v√ b(t)−y(t) (a(t)−x(t))2+(b(t)−y(t))2

(85)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I P E D IN A M E N T O -S O L U Z IO N E N U M E R IC A 85

Curva di pedinamento in

gene-rale

Per il pedinamento, se T percorre γ di equazioni γ(t) = (a(t), b(t))

e P `e il punto inseguitore, si muove lungo la curva (x(t), y(t)) Si avr `a (32)        ˙x(t) = k(t)(a(t) − x(t)) ˙ y(t) = k(t)(b(t) − y(t)) (a(t) − x(t))2 + (b(t) − y(t))2 = d2

(86)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I P E D IN A M E N T O -S O L U Z IO N E N U M E R IC A

Dalla 32 si ricava che

2[(a(t) − x(t)][ ˙a(t) − ˙x(t)] + [b(t) − y(t)][ ˙b(t) − ˙y(t)] = 0 e quindi

[a(t) − x(t)][ ˙a(t) − k(t)(a(t) − x(t))]+

+ [b(t) − y(t)][ ˙b(t) − k(b(t) − y(t))] = 0 e ancora

˙

a(t)[a(t) − x(t)] − k(t)[a(t) − x(t)]2+

(87)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I P E D IN A M E N T O -S O L U Z IO N E N U M E R IC A 87 Infine ˙ a(t)[a(t) − x(t)] + ˙b(t)[b(t) − y(t)] − k(t)d2 = 0 k(t) = a(t)(a(t) − x(t) + ˙˙ b(t)[b(t) − y(t)] d2 e ˙x(t) = a(t)(a(t)−x(t)+ ˙˙ b(t)[b(t)−y(t)] d2 (a(t) − x(t)) ˙

y(t) = a(t)(a(t)−x(t)+ ˙˙ b(t)[b(t)−y(t)]

d2 (b(t) − y(t))

(88)

La curva di inseguimento nel caso in cui il bersaglio si muova di moto circolare

(89)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I P E D IN A M E N T O -S O L U Z IO N E N U M E R IC A 89 La trattrice.

si tratta della curva di pedinamen-to nel caso in cui il bersaglio si muova di moto rettilineo

(90)

La curva di pedinamento nel caso in cui il bersaglio si muova di moto circolare uniforme

(91)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I L A S P IR A L E L O G A R IT M IC A 91

La spirale logaritmica

Stabiliamo un riferimento polare nel piano;

O `e il polo di tale sistema ρ `e il raggio vettore

θ `e l’angolo formato dal raggio vet-tore con il semiasse positivo delle x. (x, y) θ ρ ρ sin θ ρ cos θ O

(92)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I L A S P IR A L E L O G A R IT M IC A

Un punto `e individuato dalle coordinate

x = ρ cos θ y = ρ sin θ

Se `e data ρ = ρ(θ) si individua nel piano una curva di equazioni

parametriche

x = ρ(θ) cos θ y = ρ(θ) sin θ

Si definisce spirale logaritmica una curva nel piano tale che in ogni punto il raggio vettore della curva ed il vettore tangente alla curva formino un angolo fissato α

(93)

Poich è il prodotto scalare dei vettori (x, y) e ( ˙x, ˙y) è uguale al pro-dotto delle norme dei vettori stessi e del coseno dell’angolo compreso. una curva che soddisfi la propriet à richiesta deve soddisfare

x(θ) ˙x(θ) + y(θ) ˙y(θ) = k(x(θ), y(θ))kk( ˙x(θ), ˙y(θ))k(cos α) Se teniamo conto che

x(θ) = ρ(θ) cos θ y(θ) = ρ(θ) sin θ e che        x(θ) ˙x(θ) + y(θ) ˙y(θ) = _dθd 1₂ρ2(θ) = ρ(θ) ˙ρ(θ) k(x(θ), y(θ))k2 _{= ρ}2_(θ) k( ˙x(θ), ˙y(θ))k2 = ˙ρ2(θ) + ρ2(θ) Otteniamo ρ2(θ) ˙ρ2(θ) = (cos2 α)ρ2(θ)( ˙ρ2(θ) + ρ2(θ))

(94)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I L A S P IR A L E L O G A R IT M IC A Pertanto ˙ ρ2(θ) = (cos2)α( ˙ρ2(θ) + ρ2(θ)) ˙ ρ2(θ) = cos 2_α 1 − cos2_αρ 2_(θ) ed infine ˙ ρ(θ) = (cot α)ρ(θ) e ρ(θ) = ke(θ cot α)

L’ultima equazione descrive la forma della spirale logaritmica ma non dice nulla riguardo al modo in cui essa viene percorsa.

Descrive le propriet `a geometriche della spirale logaritmica ma non le sue propriet `a cinematiche.

(95)

Se teniamo conto che x(t) = ρ(θ(t)) cos θ(t) y(t) = ρ(θ(t)) sin θ(t) da cui        x(t) ˙x(t) + y(t) ˙y(t) = d dt 1 2ρ 2_{(t) = ρ(t) ˙}_{ρ(t) ˙}_θ(t) k(x(t), y(t))k2 = ρ2(t) k( ˙x(t), ˙y(t))k2 = ( ˙ρ2(t) + ρ2(t)) ˙θ2(t) Avremo ρ2(t) ˙ρ2(t) ˙θ2(t) = (cos2 α)ρ2(t) ˙θ2(t)( ˙ρ2(t)ρ2(t)) Pertanto ˙ ρ2(t) = (cos2)α( ˙ρ2(t) + ρ2(t)) ˙ ρ2(t) = cos 2_α 1 − cos2_αρ 2 (t)

(96)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I L A S P IR A L E L O G A R IT M IC A ed infine ˙ ρ(t) = (cot α)ρ(t) da cui ρ(t) = ke−t cot α

La velocit à è descritta dal vettore ( ˙x(t), ˙y(t)) la cui norma è k( ˙x(t), ˙y(t))k2 = ˙x2(t) + ˙y2(t) = ( ˙ρ2(t) + ρ2(t)) ˙θ2(t)

possiamo imporre che la spirale venga percorsa con velocit `a costante in modulo chiedendo che

( ˙ρ2(t) + ρ2(t)) ˙θ2(t) = |v| da cui si pu `o ricavare θ(t).

(97)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I Q U A T T R O C A N I D I H U G O S T E IN H A U S 97

Un esempio d’autore

Il seguente problema `e dovuto a Hugo Steinhaus:

Quattro cani si trovano ai quattro vertici A, B, C, D di un prato quadrato. I cani cominciano a correre con velocit`a costante puntando ciascuno il cane che si trova nel vertice successivo. Dopo quanto tempo i quattro cani si incontrano e quanta strada hanno percorso? Quale percorso hanno compiuto?

(98)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I Q U A T T R O C A N I D I H U G O S T E IN H A U S

In un istante successivo a quello iniziale i cani saranno, rispettiva-mente nelle posizioni A0, B0, C0, D0 e, per simmetria, i vettori AA0, BB0, CC0, DD0, avranno la stessa lunghezza ed inclinazione rispetto ai lati.

Pertanto A0B0C0D0 `e un quadrato rimpicciolito e ruotato rispetto al centro comune O. A D B C A0 D0 B0 C0 O

(99)

I cani si muovono seguendo una traiettoria che si mantiene tangente ad uno dei lati dei quadrati

A B D C A0 B0 D0 C0 θ O

Cio `e il vettore tangente alla curva percorsa (vettore velocit `a) giace su un lato del quadrato.

(100)

Pertanto il vettore tangente ed il raggio vettore rispetto al centro O formano un angolo costante ed uguale a π₄.

(101)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I Q U A T T R O C A N I D I H U G O S T E IN H A U S 101 A B D C A0 B0 D0 C0 O π 4 π 4 ρ ρ

Poich `e l’angolo tra raggio vettore e vettore tangente si mantiene co-stante, la traiettoria percorsa `e una spirale logaritmica centrata in O.

(102)

˙

ρ

ρ ˙

θ

v

π 4 π 4

Le componenti radiale ˙ρ(t) e tangenziale ρ(t)θ(t) della velocit `a v formeranno quindi un angolo costante pari a π₄ e quindi

(103)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I Q U A T T R O C A N I D I H U G O S T E IN H A U S 103 ˙ ρ(t) = − √ 2 2 |v| , ρ(t) ˙θ(t) = − √ 2 2 |v| Ne deduciamo che ρ(t) = √ 2 2 (` − |v|t) , ˙ θ(t) = − |v| ` − |v|t = |v| |v|t − ` e θ(t) = ln(`−|v|t)+3 4π−ln(`) = ln ` − |v|t ` +3 4π = ln 1 − |v|t ` +3 4π e possiamo ricavare (` − |v|t) = eθ−34π da cui ρ(θ) = √ 2 2 e θ−3₄π

(104)

Consideriamo un riferimento polare (ρ, θ) con origine nel centro dei quadrati O.

Siano

(xa(t), ya(t)) (xb(t), yb(t)) (xc(t), yc(t)) (xd(t), yd(t))

le equazioni parametriche delle curve descritte dai cani in A, B, C, D

Sia xa(t) = ρ(t) cos θ(t) y_a(t) = ρ(t) sin θ(t) dove ρ(t) = ρ(θ(t)) A B D C A0 B0 D0 C0 θ O

(105)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I Q U A T T R O C A N I D I H U G O S T E IN H A U S 105 Per simmetria x_a(t) = ρ(t) cos θ(t) ya(t) = ρ(t) sin θ(t) xd(t) = ρ(t) sin θ(t) y_d(t) = −ρ(t) cos θ(t) xc(t) = −ρ(t) cos θ(t) y_c(t) = −ρ(t) sin θ(t) xb(t) = −ρ(t) sin θ(t) y_b(t) = ρ(t) cos θ(t) A B D C A0 B0 D0 C0 θ O

(106)

La traiettoria dei cani sar `a quindi definita da (ρ, θ)

Possiamo considerare ρ e θ come funzione del tempo t ed avremo una descrizione completa (geometrica e cinematica) delle traiettorie.

Possiamo anche considerare ρ come funzione di θ, nel qual caso avremo soltanto una descrizione geometrica della traiettoria.

Ovviamente

ρ(t) = ρ(θ(t))

dove ρ a primo membro `e funzione di t mentre a secondo membro `e funzione di θ. Denotiamo ˙ ρ = dρ dt e ρ 0 ₌ dρ dθ

(107)

Il vettore tangente alla curva descritta dal cane in un generico punto A(t) `e dato da T (t) = ˙x_a(t) = (ρ0(θ(t)) cos θ(t) − ρ(t) sin θ(t)) ˙θ(t) ˙ y_a(t) = (ρ0(θ(t)) sin θ(t) + ρ(t) cos θ(t)) ˙θ(t) Il vettore che indica la direzione che il cane deve seguire `e

D(t) − A(t) = ρ(θ(t)) sin θ(t) − ρ(θ(t)) cos θ(t) −ρ(θ(t)) cos θ(t) − ρ(θ(t)) sin θ(t) Dovr à aversi T (t) = k[D(t) − A(t)] dove k è una costante di proporzionalit à.

(108)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I Q U A T T R O C A N I D I H U G O S T E IN H A U S Avremo          (ρ0(θ(t)) cos θ(t) − ρ(t) sin θ(t)) ˙θ(t) = = k(ρ(θ(t)) sin θ(t) − ρ(θ(t)) cos θ(t)) (ρ0(θ(t)) sin θ(t) + ρ(t) cos θ(t)) ˙θ(t) = = k(−ρ(θ(t)) cos θ(t) − ρ(θ(t)) sin θ(t)) ed dividendo membro a membro

ρ0 cos θ − ρ sin θ ρ0 sin θ + ρ cos θ =

ρ sin θ − ρ cos θ −ρ cos θ − ρ sin θ da cui

− ˙ρρ cos2θ + ρ2sin θ cos θ − ρ ˙ρ cos θ sin θ + ρ2 sin2 θ =

ρ ˙ρ sin2 θ − ρ ˙ρ sin θ cos θ + ρ2sin θ cos θ − ρ2cos2θ ed infine

(109)

Pertanto la geometria della traiettoria `e definita dall’equazione ρ0(θ) = ρ(θ)

e quindi da

ρ(θ) = ceθ

Se teniamo conto che, detto ` il lato del quadrato, ρ 3 4π = √ 2 2 ` avremo ρ(θ) = ` √ 2 2 e θ−3₄π

Per ottenerne la legge oraria occorre tenere anche conto del fatto che la curva `e percorsa con velocit `a costante in modulo.

In altre parole

q

(110)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I Q U A T T R O C A N I D I H U G O S T E IN H A U S da cui ˙ ρ2(t) + ρ2(t) ˙θ2(t) = |v|2 e (33) ((ρ0)2(t) + ρ2(t)) ˙θ2(t) = |v|2 Se ne deduce che `2e2θ(t)θ˙2(t) = |v|2 eθ(t)θ(t) =˙ ±|v| `

e quindi, dal momento che all’istante iniziale t = 0, il cane si trova ad esempio in A, e che θ diminuisce col tempo.

eθ(t) = 3 4π −

|v| ` t Infine

(111)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I Q U A T T R O C A N I D I H U G O S T E IN H A U S 111    ρ(t) = ρ(θ(t)) = eθ(t) = e34π− |v| ` t θ(t) = ln e34π− |v| ` t

(112)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O D I L O T K A -V O L T E R A

Il Modello Preda-Predatore

di Lotka-Volterra

Il modello preda-predatore descrive le interazioni di due specie una delle quali si nutre dell’altra.

Fu introdotto attorno al 1925 indipendentemente da Vito Volterra ed Alfred Lotka.

(113)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O D I L O T K A -V O L T E R A 113

• x(t) numero delle prede al tempo t • y(t) numero dei predatori al tempo t

• In assenza di predatori le prede crescono secondo un modello malthusiano

˙x(t) = ax(t)

• Il tasso di crescita a delle prede diminuisce in proporzione al numero di predatori

a − αy(t)

• In assenza di prede i predatori si estinguono seguendo un mo-dello malthusiano

˙

y(t) = −by(t)

• Il tasso di accrescimento b dei predatori aumenta in maniera proporzionale al numero di prede

(114)

La dinamica delle due popolazioni pu `o essere descritta dal seguente sistema differenziale (Equazioni di Lotka-Volterra)

(34)

˙x(t) = ax(t) − αy(t)x(t) ˙

y(t) = −by(t) + βx(t)y(t)

con i dati iniziali

x(t₀) = x0

y(t0) = y0

Il sistema differenziale da studiare `e semplice ma non si pu `o integrare esplicitamente

(115)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O D I L O T K A -V O L T E R A 115 Si pu `o dimostrare che:

(1) Il sistema ammette due punti stazionari (b_β, a_α), (0, 0)

(2) Le orbite che giacciono nel primo quadrante sono curve chiuse (3) Le soluzioni del sistema sono periodiche

(4) Vale per le soluzioni del sistema un principio di conservazione delle medie in quanto si vede che

1 T ZT 0 x(s)ds = b β , 1 T ZT 0 y(s)ds = a α

(116)

Il sistema 34 ha soluzioni costanti

Infatti

(x(t), y(t)) = (ξ, η) sono soluzioni del sistema se

0 = aξ − αηξ 0 = −bη + βηξ e cio `e quando ξ = 0, η = 0 oppure quando ξ = b β, η = a α

(117)

Le orbite del sistema sono curve chiuse nel I quadrante del piano delle fasi.

Le orbite del sistema, sono descritte da

x = x(t) y = y(t) Il sistema si pu `o porre nella forma (35)

˙x(t) = ax(t) − αy(t)x(t) = φ(x(t), y(t)) ˙

y(t) = −by(t) + βx(t)y(t) = ψ(x(t), y(t))

Se l’orbita del sistema pu `o essere rappresentata localmente da una funzione y = y(x), si avr `a

x(t) = x

(118)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O D I L O T K A -V O L T E R A e si potr `a ricavare ˙ y(t) = y0(x(t)) ˙x(t) per cui, sostituendo nella 35, si ottiene

y0(x) = φ(x, y(x)) ψ(x, y(x)) =

−by(x) + βxy(x) ax − αxy(x) Separando le variabili avremo

y0(x) _a y(x) − α = −b x + β

ed integrando con i dati iniziali

x(t₀) = ¯x y(t0) = ¯y

cio `e per

(119)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O D I L O T K A -V O L T E R A 119 a ln y(x) − αy(x) − a ln ¯y + α ¯y = −b ln x + βx + b ln ¯x − β ¯x Ora se poniamo g(y) = a ln y − αy f(x) = −b ln x + βx G(y) = g(y) − g( ¯y) F(x) = f(x) − f( ¯x)

possiamo riscrivere la 14 come

(36) g(y) = f(x) + g( ¯y) − f( ¯x)

ovvero come

(120)

Nella figura `e rappresentato il grafico della funzione

G(y) = g(y) − g( ¯y) y0 = a α g0 = G(y0) = a ln a α − α a α = = a ln a α − 1 > 0

(121)

Nella figura `e rappresentato il grafico della funzione

F(x) = f(x) − f( ¯x) x0 = b β f0 = f(x0) = −b ln b β + β b β = = −b ln b β − 1 > 0

(122)

Se G−1 `e l’inversa di una opportuna restrizione di G dalla 36 allora y(x) = G−1(F(x))

e possiamo osservare y `e definita se e solo se

[f0, g0] = (−∞, g0] ∩ [f0, +∞) 6= ∅

e che

(123)

Possiamo disegnare un’orbita del sistema G−1(F(x)) componendo graficamente G−1 ed F,

(124)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O D I L O T K A -V O L T E R A Osserviamo che • F `e decrescente per x ∈ [xm, x0] • F `e crescente per x ∈ [x0, xM]

• F assume tutti i valori in [f0, g0],

• G `e crescente ed invertibile su [ym, y0]

• G assume tutti i valori in [f0, g0]

• G `e crescente ed invertibile su [y0, yM]

• G assume tutti i valori in [f0, g0]

Pertanto

• G−1 _{`e definita da [f}

0, g0] a valori in [ym, y0] oppure in [y0, yM]

• G−1_{(F(·)) `e definita e decrescente su [x}

(125)

L’andamento della curva definita dalla 36si pu `o osservare nella figura che segue

(126)

(127)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O D I L O T K A -V O L T E R A 127 La funzione U(x, y) = a ln y − αy + b ln x − βx nella 14, si chiama integrale primo del sistema

Le orbite del sistema costituiscono le sue curve di livello: Dalla 14 si ha,

U(x, y(x)) = c = f( ¯x) − g( ¯y) Viceversa se

U(x(t), y(t)) = c allora

Ux(x(t), y(t)) ˙x(t) + Uy(x(t), y(t)) ˙y(t) = 0

da cui φ(x(t), y(t)) ψ(x(t), y(t)) = ˙x(t) ˙ y(t) = − Ux(x(t), y(t)) U_y(x(t), y(t)) (37)

(128)

Dalla 37 il gradiente di U `e proporzionale al secondo membro del sistema differenziale

Il campo di direzioni definito dal sistema ed il campo di direzioni definito dal gradiente di un integrale primo coincidono.

Pi ù precisamente coincidono le direzioni, non i vettori: il fattore di proporzionalit à non solo pu ò non essere 1 ma pu ò non essere costante. Lo studio delle orbite del sistema ci consente anche di affermare che

• Le orbite del sistema sono chiuse

• Le orbite contengono al loro interno il punto stazionario (x0, y0)

• Le orbite sono contenute nel primo quadrante cio`e xm, xM, ym, yM > 0

• le orbite non passano per nessun punto stazionario (gli unici punti stazionari diversi da (x0, y0) sono sugli assi)

(129)

Il sistema `e autonomo quindi le traslate di una soluzione sono a loro volta soluzioni

Se

(x(t), y(t)) risolve il sistema differenziale allora (x(t + T ), y(t + T )) `e soluzione. infatti ˙x(t + T ) = ax(t + T ) − αy(t + T )x(t + T ) ˙

(130)

Per ogni punto del piano delle fasi passa una ed una sola orbita. å

Se (x(t), y(t)) e (ξ(t), η(t)) sono orbite del sistema tali che x(t0) = ¯x y(t₀) = ¯y ξ(τ0) = ¯x η(τ₀) = ¯y e se ξ1(t) = x(t − τ0 + t0) η₁(t) = y(t − τ₀ + t₀) allora (ξ1, η1) `e soluzione del sistema e soddisfa la condizione

ξ1(τ0) = ¯x η₁(τ₀) = ¯y Ne deduciamo che ξ(t) = ξ1(t) = x(t − τ0 + t0) η(t) = η₁(t) = y(t − τ0 + t0)

e quindi (ξ, η) ed (x, y) percorrono la stessa orbita a meno di una traslazione nel tempo.

(131)

Possiamo quindi anche provare che

Le soluzioni del sistema sono periodiche;

La curva `e costituita di due tratti che possono essere rappresentati come funzioni su un intervallo limitato quindi la sua lunghezza ` `e finita,

˙x2(t) + ˙y2(t) = φ2(^x, ^y) + ψ2(^x, ^y) ≥

≥ min

(x − x0)2+ (y − y0)2>

xm ≤ x ≤ xM, ym≤ y ≤ yM

{φ2_{(x, y) + ψ}2_{(x, y)}_{} ≥ m > 0}

(φ, ψ si annullano contemporaneamente solo nei punti (0, 0) e ( ˜x, ˜y) che abbiamo gi `a visto non appartenere all’orbita.)

(132)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I I L M O D E L L O D I L O T K A -V O L T E R A Ne segue che Z+∞ 0 q ˙x2_{(t) + ˙}_y2_{(t)dt = +}∞

e pertanto esiste T > 0 tale che ZT

0

q

˙x2_{(t) + ˙}_y2_{(t)dt = `}

Ma allora trascorso il tempo T la soluzione deve ripassare per il punto iniziale ( ¯x, ¯y)e , dal momento che per ogni punto passa una sola orbita, da li’ `e costretta a ripercorrere quell’orbita stessa.

(133)

I valori medi si mantengono costanti, cio`e

(38) 1 T ZT 0 x(s)ds = b β , 1 T ZT 0 y(s)ds = a α

Dal sistema, dividendo la prima equazione per x e la seconda per y, otteniamo (39) _˙x(t) x(t) = a − αy(t) ˙ y(t) y(t) = −b + βx(t)

e per la periodicit `a delle soluzioni, integrando sul periodo,

0 = ln x(T )_x(0) = RT₀ a − αy(s)ds = aT − αR₀T y(s)ds 0 = ln y(T )_y(0) = R₀T −b + βyxs)ds = bT − βRT₀ x(s)ds da cui si pu `o ricavare la 38

(134)

Modelli Preda Predatore con Prelievo costante

Per studiare un sistema preda predatore nel quale si intervenga con un prelievo costante h sulle prede e k sui predatori possiamo scrivere

(40)            ˙x(t) = ax(t) − αy(t)x(t) − hx(t) ˙

y(t) = −by(t) + βx(t)y(t) − ky(t) x(t0) = x0

y(t₀) = y0

Se a − h e b + k sono positivi, ci riconduce immediatamente al caso senza prelievo.

Viene modificata la sola condizione di equilibrio ed il valore medio ¯x = b + k

β y =¯

a − h α

(135)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I S P E C IE IN C O M P E T IZ IO N E 135

Modelli di crescita di due specie

in competizione

Due specie x e y condividono le risorse di uno stesso territorio

Ciascuna specie avrebbe un tasso di crescita di tipo logistico se vivesse in un ambiente isolato,

˙x(t) = (a − Ax(t))x(t) ˙ y(t) = (b − By(t))y(t) x(t0) = x0 y(t₀) = y0

A causa dei mutui effetti il tasso di crescita; della popolazione x `e a − Ax − αy

(136)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I S P E C IE IN C O M P E T IZ IO N E

Analogamente il tasso di crescita della popolazione y `e b − By − βx

(diminuisce proporzionalmente a x)

Ciascuna specie si sviluppa sottraendo risorse all’altra. Il sistema che descrive lo sviluppo delle due popolazioni `e

(41)

˙x(t) = (a − Ax(t) − αy(t))x(t) ˙

y(t) = (b − By(t) − βx(t))y(t) ove a, b, A, B, α, β > 0, con i dati iniziali

x(t₀) = x₀ y(t0) = y0

(137)

Dalla prima equazione, dividendo per x ed integrando otteniamo che ˙x(t) x(t) = (a − Ax(t) − αy(t)) Zx(t) x₀ ds s = Zt t₀ (a − Ax(s) − αy(s))ds ln x(t) x₀ = Zt t₀ (a − Ax(s) − αy(s))ds e x(t) = x0e Rt t0(a−Ax(s)−αy(s))ds

In maniera simile otteniamo che y(t) = y0e

R_t

(138)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I S P E C IE IN C O M P E T IZ IO N E Da cui x(t), y(t) > 0 Dal sistema 41, per k = max{a, b} si ha

(x + y)0 = (a − Ax(t) − αy(t))x(t)+

+ (b − By(t) − βx(t))y(t) ≤ k(x + y)

Quindi x ed y sono limitate, in quanto

0 ≤ (x + y) ≤ ekt ≤ ekT e quindi esistono in ogni intervallo [0, T ].

Il sistema 41 ammette soluzioni costanti che si ottengono risolvendo il sistema algebrico

0 = (a − Ax − αy)x 0 = (b − By − βx)y

(139)

Le soluzioni costanti sono individuate dai punti di intersezione degli assi con le rette

R1 : (a − Ax − αy) = 0

R₂ : (b − By − βx) = 0

La retta R1 interseca gli assi nei punti

(^ξ, 0) , (0, η#) dove ^ ξ = a A η # ₌ a α La retta R2 interseca gli assi nei punti

(ξ#, 0) , (0, ^η) dove ξ# = b β η =^ b B

(140)

Le rette R1 ed R2 si intersecano nel punto

( ˜x, ˜y) dove ˜x = aB − αb AB − αβ , y =˜ Ab − aβ AB − αβ

Pertanto le soluzioni costanti sono individuate dai punti (0, 0) , (0, ^η) , (^ξ, 0) , ( ˜x, ˜y) L’ultimo punto si considera solo nel caso in cui

(1) R1 ed R2 non siano parallele (AB − αβ 6= 0)

(2) si trovi nel primo quadrante ( ˜x > 0 , ˜y > 0).

Possiamo disegnare il campo di vettori associato al sistema e studia-re le orbite.

(141)

Si presentano quattro casi nei quali (1) Prevale la popolazione x

(2) Prevale la popolazione y

(3) A seconda dei valori iniziali prevale x oppure y

(4) Comunque si scelgano i valori iniziali, la situazione tende ad un unico punto di equilibrio

Nel primo, secondo e quarto caso c’ `e un punto asintoticamente sta-bile

Nel terzo ci sono due punti asintoticamente stabili ed un punto insta-bile

(142)

Andamento del numero di individui di due popolazioni in competizio-ne competizio-nel caso in cui la popolaziocompetizio-ne prevalente dipenda dai dati iniziali

(143)

Andamento del numero di individui di due popolazioni in competizio-ne competizio-nel caso in cui la popolaziocompetizio-ne prevalente sia la seconda

(144)

Andamento del numero di indivi-dui di due popolazioni in competi-zione nel caso in cui le due popo-lazioni tendano a raggiungere un equilibrio stabile

(145)

Andamento del numero di individui di due popolazioni in competizio-ne competizio-nel caso in cui la popolaziocompetizio-ne prevalente sia la prima

(146)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I S P E C IE IN C O O P E R A Z IO N E

Modello di crescita di due

popo-lazioni in cooperazione

(147)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C O O P E R A Z IO N E O B B L IG A T O R IA 147

Cooperazione obbligatoria

(1) La popolazione x, isolata, decrescerebbe secondo la legge ˙x(t) = −ax(t)

(2) La popolazione y, isolata, decrescerebbe secondo la legge ˙

y(t) = −by(t)

(3) Il tasso di crescita della x aumenta proporzionalmente ad y, cos`ı che

˙x(t) = (−a + βy(t))x(t)

(4) Il tasso di crescita della y aumenta proporzionalmente ad x, cos`ı che ˙ y(t) = (−b + αx(t))y(t) ne consegue che ˙x(t) = (−a + βy(t))x(t) ˙ y(t) = (−b + αx(t))y(t)

(148)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C O O P E R A Z IO N E O B B L IG A T O R IA

Il sistema ammette come soluzioni costanti (punti critici)

(0, 0) , (a β, b α) ne consegue che ˙x(t) = (−a + βy(t))x(t) ˙ y(t) = (−b + αx(t))y(t) Il sistema ammette come soluzioni costanti (punti critici)

(0, 0) , (a

β, b α)

(149)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C O O P E R A Z IO N E F A C O L T A T IV A 149

Cooperazione facoltativa

(1) La x, in assenza della y, crescerebbe secondo la legge logistica ˙x(t) = (a − b(x(t))x(t)

(2) La y, in assenza della x, crescerebbe secondo la legge logistica ˙

y(t) = (c − dy(t))y(t)

(3) La presenza della y aumenta il tasso di crescita della x propor-zionalmente ad x, cos`ı che

˙x(t) = (a − b(x(t) + γy(t))x(t)

(4) La presenza della x aumenta il tasso di crescita della y propor-zionalmente ad x, cos`ı che

˙

(150)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I C O O P E R A Z IO N E F A C O L T A T IV A ne consegue che ˙x(t) = (a − b(x(t) + γy(t))x(t) ˙

y(t) = (c − dy(t) + δx(t))y(t)

Che ammette come punti critici E₁ = (0, 0) , E₄ = (A D, B D) E2 = ( a b, 0) , E3 = (0, c d) dove A = cγ + ad B = cb + aδ D = bd − γδ

(151)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I O .D .E . 151

(152)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I V A R IA B IL I S E P A R A B IL I

Equazioni differenziali a variabili separabili

Il problema `e trovare una funzione y, derivabile per cui si abbia

y0(x) = f(x)g(y(x)) con f, g assegnate.

Pi `u precisamente per

I, J _{⊂ R} intervalli aperti e non vuoti ed

f : I → R , g : J → R

funzioni continue, y(x) risolve l’equazione

(42) y0(x) = f(x)g(y(x))

se la 42 `e soddisfatta da y(x) su un intervallo aperto I0 ⊂ I. Se ¯y `e tale che

(153)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I V A R IA B IL I S E P A R A B IL I 153 y(x) = ¯y

è soluzione costante, mentre se g 6≡ 0, per la continuit à, possiamo supporre g(x) 6= 0 ∀x ∈ J e riscrivere la 42 come (43) y 0_(x) g(y(x)) = f(x) Se F0 = f in I J e G0 = 1/g in J otteniamo (44) G(y(x)) = F(x) + c , c _{∈ R} G è invertibile in J in quanto G0 = 1/g 6= 0 si pu ò sempre scegliere c in modo che

(45) R(G) ∩ R(F + c) = D(G−1) _{∩ R(F + c) 6= ∅}

(154)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I V A R IA B IL I S E P A R A B IL I

Infatti se x0 ∈ I ed y0 ∈ J e c = G(y0) − F(x0), per la continuit `a di

F + c e G,

R(F + c) e R(G) sono intervalli aperti contenenti il punto G(y0) = F(x0) + c

Quindi

R(G) ∩ R(F + c) = D(G−1) ∩ R(F + c)

`e a sua volta un intervallo aperto non vuoto (contiene G(y₀)). Se I0 `e l’intervallo degli x tali che la

G(y(x)) = F(x) + c , c _{∈ R} `e vera

(155)

¼ ½ ¶ · ´ ¹ I V A R IA B IL I S E P A R A B IL I 155

Due primitive F e G possono essere ottenute nella forma: G(y) = Zy y₀ ds g(s) F(x) = Zx x₀ f(t)dt nel qual caso si ha