Metodi e Modelli Matematici di Probabilit` a per la Gestione

Metodi e Modelli Matematici di Probabilit` a per la Gestione

Prova scritta – 2/07/2009

Esercizio 1 (20 punti). Studiamo l’efficienza del servizio al banco ali- mentari (formaggi ecc.) di un supermercato. Chi arriva deve prendere un numero. Indichiamo con T _m il tempo medio tra un arrivo e l’altro.

i) Iniziamo esaminando ci`o che accade nei momenti non di punta. Viene lasciato un solo commesso al banco, che impiega un tempo esponenziale a completare un servizio, tempo di media pari a 2 minuti. Supponiamo che sia T m = 3 minuti. Calcolare la probabilit`a di avere un numero maggiore o uguale a 2 di persone in attesa (non in fase di servizio).

ii) Supponiamo che il commesso sia incaricato di seguire anche la preparazione di alcuni prodotti, che avviene nel retro del banco. Gli `e stato chiesto di parte- cipare alla preparazione ogni volta che si trova senza persone da servire (ap- pena termina di servire un cliente e non ce ne sono altri in coda). Comunque, dopo 5 minuti (in media) che partecipa al lavoro di preparazione, ritorna al banco e serve chi `e l`ı oppure aspetta i nuovi arrivi. Descrivere (senza poi svolgere calcoli) questo sistema con un modello markoviano: dichiarare gli stati, le transizioni ed i tassi.

iii) Un’ora pi`u tardi cambia il valore di T <sub>m</sub> . Se il tempo medio di per- manenza al banco alimentari, per ogni singola persona, `e pari a 5 minuti, quanto vale T m ?

iv) Se in questa situazione viene inviato un secondo commesso, di quanto si abbassa il tempo medio di permanenza al banco alimentari? Mostrare se si riesce che vale

E [T _perm ] = 1

aµ + λ 2aµ ²

X ∞ k=1

k µ λ

2µ

¶ _k

e poi calcolarlo.

v) Due ore pi`u tardi entriamo in una fascia di punta, con T <sub>m</sub> pari a 50 secondi, per cui servono pi`u commessi. Quanti?

Esercizio 2 (10 punti). i) Le v.a. di tipo Gamma dipendono da due

parametri positivi, detti shape e scale. L’istruzione pgamma(x,shape,scale)

calcola la funzione di distribuzione cumulativa di queste variabili. Il software

contiene naturalmente anche l’istruzione qgamma(alpha,shape,scale), ma non ci fidiamo che funzioni correttamente. Scrivere un programma che calcola l’analogo di qgamma(alpha,shape,scale) usando solo pgamma(x,shape,scale).

Per fissare le idee, immaginiamo di usare valori dei parametri per cui pgamma(x,shape,scale) vale praticamente 1 per x > 10. Non `e necessario che il programma sia com-

pletamente automatizzato.

ii) Il comando rgamma(n,shape,scale) produce numeri aleatori con tale distribuzione. Per shape=1,scal¯e=1, il grafico della funzione di distribuzione cumulativa si assesta al valore 1 gi`a intorno a x = 5. Creare una figura in cui ci sia l’istogramma relativo a 1000 punti aleatori con sovrapposto il grafico della densit`a di probabilit`a (dgamma), relativamente ai valori shape=1,scal¯e=1.

iii) Due studenti giocano: fissano il valore shape=1, il primo sceglie senza dirlo il valore di scale, compreso tra 0 e 2, poi genera 1000 numeri a caso e li fornisce al secondo studente. Questi deve cercare di risalire a scale. Che pu`o fare?

[Si intende che la risposta alle domande dev’essere la descrizione di come si farebbe con R a svolgere quelle cose, elencando i comandi e commentando la risoluzione.]

Esercizio 2 anni precedenti (10 punti). Si consideri la catena di Markov a tempo discreto avente come stati A, B, C, D, E, e come probabilit`a di transizione (non nulle)

p _AA = 1

2 , p _AB = 1

2 , p _BA = 1

4 , p _BB = 3 4 , p _CA = 1

2 , p _CD = 1

2 , p _DE = 1, p _ED = 1

2 , p _EE = 1 2 . i) Classificare gli stati.

ii) Trovare tutte le distribuzioni invarianti.

iii) Calcolare la distribuzione di probabilit`a al tempo 2, sapendo che al

tempo uno `e uniforme.

1 Soluzioni

Esercizio 1. i) Il numero di persone nel sistema si descrive con una M/M/1 di tassi λ = ¹ ₃ (il tempo verr`a sempre calcolato in minuti) e µ = ¹ ₂ . Quindi ρ = ² ₃ , π _k = ¹ ₃ ¡ ₂

3

¢ _k

, quindi la probabilit`a richiesta `e X ∞

k=3

1 3

µ 2 3

¶ _k

= 1 − X 2 k=0

1 3

µ 2 3

¶ _k

= 0.296.

ii) Il generico stato deve dare due informazioni: il numero k di utenti nel sistema, e l’informazione se il banco sia attivo (A) o meno (B). La transizione da A a B pu`o avvenire solo se siamo nello stato (1, A).

Le transizioni possibili sono

(k, A) → (k + 1, A) , ^λ k ≥ 0 (k, A) → (k − 1, A) , ^µ k ≥ 2

(1, A) → (0, B) ^µ

(k, B) → (k + 1, B) , ^λ k ≥ 0 (k, B)

1

→ (k, A) ,

k ≥ 0.

iii) Vale λ = _T ¹

, µ = ¹ ₂ , ρ = _T ²

, quindi dobbiamo risolvere l’equazione (nell’incognita T _m )

1 µ

µ ρ

1 − ρ + 1

¶

= 5 ovvero 2

³ 2 T

−2 + 1

´

= 5, _T

² ₋₂ = ³ ₂ , T _m − 2 = ⁴ ₃ ,

T _m = 10 3 .

iv) Procedendo come nel corso, con N = numero di clienti al banco al

momento dell’arrivo, vale E [T _perm ] =

X ∞ k=0

E [T _perm |N = k] P (N = k)

= 1

µ P (N = 0) + 1

µ P (N = 1) + µ 1

2µ + 1 µ

¶

P (N = 2) +

µ 2 1

2µ + 1 µ

¶

P (N = 3) + µ

3 1 2µ + 1

µ

¶

P (N = 4)

= ... = 1 aµ + 1

2µ X ∞

k=1

kP (N = k + 1)

= 1 µ + λ

2aµ ² X ∞

k=1

k µ λ

2µ

¶ _k

= 1 µ + λ

2aµ ²

λ

³ 2µ

1 − _2µ ^λ

´ ₂ = ...

v) Si tratta ora di una coda M/M/c, con tassi λ = ⁶ ₅ , µ = ¹ ₂ , in cui, per avere regime stazionario, deve valere cµ > λ, ovvero

c > 12 5 . Quindi servono tre commessi.

Esercizio 2. i) Siano assegnati alpha,shape,scale. La versione non automatizzata consiste nell’eseguire le due istruzioni

q<-(1:10000)/1000

p<-pgamma(q,shape,scale)

cercare visivamente il valore dell’indice k per cui p[k] `e il pi`u vicino possibile ad alpha. Poi si calcola q[k] e questa `e la nostra approssimazione del quantile.

ii) L’istogramma con, ad esempio, 20 intervalli si ottiene con

iii) Non c’`e un procedimento standard, lo studente provi a trovare delle

idee. Una di esse `e: creare una stringa di valori di scale, per ciascuno,

calcolare (empiricamente come media aritmetica di una campione numeroso)

la media della v.a., confrontarla con la media del campione assegnato, risalire

al valore di scale.