Esercizi2

4^

Lezione

•

Radicali .

•

Proprietà dei radicali .

•

Equazioni irrazionali .

•

Disequazioni irrazionali .

•

RADICALI :

Considerato un numero reale a ed un numero intero positivo n , noi chiameremo radice ennesima del numero a quel numero reale la cui potenza ennesima sia uguale ad a .

dove il numero positivo n è detto indice della radice dove il numero reale a è detto radicando.

Quindi se poniamo b=n a dovremo avere che bn =a che porta alla :

( )

n a n = a

e cioè l’ennesima potenza della radice ennesima di un numero reale è uguale al numero stesso.

Considerazioni che derivano dalla definizione :

se 1 0 1 0 0 0 1 = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ Ν ∈ ∀ a a a n a a n n n

Se l’indice della radice è 2 si parlerà di radice quadrata e si ometterà l’indice. Se l’indice è 3 si parlerà di radice cubica, di indice 4 di radice quarta , ecc.

L’operazione mediante la quale si passa dal numero reale a alla sua radice ennesima, è detta estrazione di radice ennesima .

a n

Potremo d’ora in avanti trovare anche una scrittura del tipo :

am n

con m che sarà chiamato esponente del radicando.

Esempi : 2 3 3 2 4 4 5 5 3 3 = ⇒ = = ⇒ = b b b b

PROPRIETA’ DEI RADICALI

1) an = npap una radice ennesima di a è equivalente ad un’altra radice in cui si moltiplichi l’indice e l’esponente del radicando per uno stesso numero.

2) npamp = n am dividendo l’indice di un radicale e l’esponente del suo radicando per uno stesso numero, si ottiene un radicale equivalente al dato.

3) an ⋅n b⋅n c =n a b c⋅ ⋅ _{il prodotto di due o più radicali dello stesso} indice è uguale ad un unico radicale avente ancora il medesimo indice ma come radicando il prodotto dei singoli radicandi.

4) a b a b

n ÷n =_{n il quoziente di due radicali aventi lo stesso} indice è uguale ad un radicale ancora dello stesso indice ma come radicando il rapporto tra i singoli radicandi.

5) b⋅n a = n bn ⋅a

dato un numero reale positivo b , il prodotto di tale numero per un radicale è uguale ad un unico radicale avente come radicando il prodotto del radicando iniziale per il numero bn (trasporto di un fattore sotto il segno di radice).

6) an m =ap ⋅n ar data la radice ennesima di una potenza, essa è

del tutto equivalente ad un prodotto , tra una

solo se m≥n potenza della stessa base di quella iniziale, ma di esponente dato dal quoziente intero di m/n

ed una radice ennesima di potenza della stessa base avente come esponente il resto intero del quoziente di m/n.

7)

( )

n a p =n ap _{la potenza p-esima di un radicale, con p numero} intero non negativo, è uguale ad un radicale che ha lo stesso indice del dato e per radicando la potenza p-esima del radicando dato.

Infatti sarebbe :

( )

n a p = n a⋅n a⋅n a_{. . . .}⋅n a p-volte

an ⋅n a ⋅n a⋅ ⋅n a = n a a a⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =a n ap

. . . . . . . .

8) an ⋅mb= m n⋅ am⋅bn il prodotto di due radicali di indici diversi ci da un radicale che ha per indice il m.c.m. tra gli indici e come radicando il prodotto dei rispettivi radicandi, ognuno di esponente l’indice dell’altro radicale.

9) an +n a +n a+_{. . . .}+n a = ⋅p n a _{la somma di due o più radicali} p-volte simili (stesso indice, stesso radicando) è uguale alla somma algebrica dei radicali ( somma dei coefficienti ).

10) mn a =m n⋅ a _{la radice m-esima della radice n-esima di un} numero reale positivo a, è uguale alla radice di indice mn del numero a.

Abbiamo fino a questo momento esaminato alcune tra le proprietà e operazioni più importanti tra i radicali dando come definizione l’assunzione del numero a come numero solamente positivo.

Assumendo il numero a come numero reale qualsiasi dovremo distinguere :

a n

se n è DISPARI a può assumere qualsiasi valore reale (positivo e negativo)

a

n _{se n è PARI a può assumere solo valore reale POSITIVO (al più nullo)}

quindi riassumendo abbiamo

Vogliamo ora ricordare in sintesi altre operazioni possibili con i radicali :

    ≥ ℜ ∈ ∀ ⇒ ℜ ∈ ∀ ⇒ ⇒ ₋ − 0 : a a a a a a pari n dispari n n

(

)

(

)

(

)

a b a b a b a a b a a b a a a a a a a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b n m nm m n n n n n n n n n ⋅ = ± = + − ± − − = ⋅ = = ⋅ = − = − ⋅ + + = + − + = + ⋅ − − = − − − = ⋅ + + − ⋅ + + − − − 2 2 1 1 1 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Le ultime cinque scritte passano sotto il nome di razionalizzazione di radicali, intendendo con questo l’eliminazione del radicale al denominatore. ( Da ora in avanti si procederà a razionalizzare tanto il numeratore , quanto il denominatore).

EQUAZIONI IRRAZIONALI :

Per equazione irrazionale intendiamo quell’uguaglianza algebrica nella variabile x , la cui variabile compare sotto il segno di radice.

Elencheremo qui di seguito una varia tipologia di equazioni irrazionali, che comunque limiteremo a seconda delle esigenze più correnti.

1° caso :

risolveremo in questo modo :

a) isolamento del radicale

b) elevamento a potenza (n) c) risoluzione. Es : x3 2 − + =1 2 0 ⇒ 3 x2−1=−2

(

3 x2

)

( )

3 ₃ 1 2 − = − ⇒

(

x2 −1

)

=−8 x2 = −7 , /∀ ∈ ℜx

(

0 , 0

)

, ) ( = > < −dispari_{A x b b b} n

2° caso :

a) discussione della realtà del radicale A x( )≥0 b) isolamento del radicale

c) elevamento a potenza (n)

d) risoluzione e verifica (della condizione di realtà ).

Es : 1−x2 −3=0 ⇒ 1−x2 =3

(

1 2

)

( )

3 2 ₂ − x = ⇒

(

1−x2

)

=9 x2 = −8 ⇒ ∀/x∈ℜ 3° caso : a) discussione realtà A x( )≥0

l’equazione non è mai verificata , /∀ ∈ ℜx

(sarà comunque utile ricordare che la radice-pari, dopo che si è discussa la sua realtà , rappresenta sempre una quantità positiva).

Di qui quindi la considerazione che una quantità positiva non può mai essere uguale ad una quantità negativa. Si ricordi quindi che non è mai possibile operare un elevamento

a potenza pari di due membri di segno discorde.

(

0

)

, ) ( = > −pari_{A x b b} n

(

0

)

, ) ( = < −pari_{A x b b} n

Es : x2 −4+2=0 ⇒ x2 −4= −2

discussione. realtà x2 − ≥4 0 ⇒ x≤ −2 ; x≥ +2 ⇒ /∀ ∈ ℜx quindi per qualsiasi valore di x l'equazione non è mai verificata.

4° caso :

a) isolamento del radicale

b) elevamento a potenza (n) c) risoluzione. Es : 3 x3−3= x−2 ⇒

(

3 x3 −3

)

3 =

(

x−2

)

3 x3 − =3 x3 −6x2 +12x−8 6 6 1 6 30 36 6 0 5 12 6 2 1 2 1 2 ± = − ± = ⇒ = + − x x x x

( )

x B x A dispari n− _{( )} =

5° caso :

a) condizione di realtà della radice e dell’equazione A x B x ( ) ( ) ≥ ≥    0 0 b) elevamento a potenza (n) c) risoluzione e verifica. Es : 2−x2 −2x+ =1 0 ⇒ 2−x2 =2x−1 a) 2 0 2 1 0 2 − ≥ − ≥    x x     ≥ + ≤ ≤ − ⇒ 2 1 2 2 x x

quindi l’equazione sarà verificata se e solo se i valori rientreranno nell’insieme delle soluzioni :

1

2 ≤ ≤ +x 2 riprendendo l’equazione si avrà :

1 2 2−_x2 = _x−

(

2

)

2

(

)

2 1 2 2− = − ⇒ x x ⇒ 2−x2 =4x2 −4x+1 da cui :     + = − = = + ± + = ⇒ = − − 1 5 1 5 5 4 2 0 1 4 5 2 1 2 2 1 x x x x x 2 2 1 2 + −

( )

x B x A pari n− _{( )} =

e di qui x₁ sarà un valore non accettabile poiché non rientra nel campo delle soluzioni , mentre l’unica soluzione dell’equazione data sarà x₂ = +1 .

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI :

Allo stesso modo anche per le disequazioni avremo i seguenti casi :

1° caso : a) isolamento radicale b) elevamento a potenza (n) c) risoluzione. Es : 3 x+2−3<0

(

3 _x+₂

) ( )

3 < ₃3 ⇒ _x+₂<₂₇ ⇒ _x<₂₅ 2 1 2 1 5 1 + + + −

(

0 , 0

)

, ) ( ) ( ≥ − ≤ ≥ ≤

−dispari_{A x b oppure} n dispari_{A x b b b} n

2° caso : a) discussione di realtà A x( )≥0 b) isolamento c) elevamento a potenza ( n ) d) risoluzione e verifica. Es : x2 − >1 2 ⇒ x2 −1≥0 ⇒ x≤−1;x≥+1 e quindi si avrà : x2 −1>4 ⇒ x2 >5 ⇒ x< − 5 ,x>+ 5 di qui la verifica : quindi , x < − 5 , x > + 5. -1 +1 5 1 1 5 − + + −

(

0

)

) ( > ≥ −pari_{A x b b} n

3° caso :

a) discussione realtà del radicale A x( )≥0 b) isolamento c) elevamento a potenza (n) d) risoluzione e verifica. Es. x+ − <3 5 0 ⇒ x+3 <5 x+ ≥3 0 ⇒ x≥ −3 e di qui :

(

x+3

)

2 <

( )

5 2 ⇒ x+3<25 ⇒ x<22 e perciò si avrà : − ≤ < +3 x 22 . -3 -3 +22

(

0

)

) ( < ≥ −pari_{A x b b} n

4° caso :

a) discussione A x( )≥0

e di qui ∀ ∈ℜx : A x( )≥0

Es : 2x− > −6 4

2x− ≥  →6 0  x≥3

per cui per tutti i valori di x≥3 la disequazione è verificata.

5° caso :

a) discussione realtà radicale A x( )≥0

e di qui /∀ ∈ ℜx

dal momento che una quantità positiva non può essere minore di una negativa.

(

0

)

) ( > ≤ −pari_{A x b b} n

(

0

)

) ( < ≤ −pari_{A x b b} n +3

Es : x− < −2 4

x− ≥  →2 0  x ≥2

e quindi per tutti i valori di x∈ℜ la disequazione non è mai verificata.

6° caso :

a) isolamento del radicale

b) elevamento a potenza (n) c) risoluzione. Es : x3 3 −8x < −2x  →

(

3 x3− x

)

< −

(

x

)

3 ₃ 8 2 x3 −8x< −8x3

(

)

    > − < →  > > →  > →  < − ⋅ →  < − →  9 8 , 9 8 9 8 0 0 0 8 9 0 8 9 2 2 3 x x x x x x x x x per cui x< − 8_{9 , 0}< < +x 8₉

( )

x oppure A x B

( )

x B x A n dispari dispari n− _{( )} > − _{( )} < − 8 9 0 + 89

- + - +

2

7° caso :

In questo caso si procede alla risoluzione di due sistemi di disequazioni.

B x A x ( ) ( ) ≤ ≥    0 0 U B x A x Bn x ( ) ( ) ( ) > >    0 Es : x− −5 3x + >2 0  → x− >5 3x−2    ≥ − ≤ − 0 5 0 2 3 x x U

(

)

3 2 0 5 3 2 2 x x x − > − > −        ≥ ≤ 5 3 2 x x U x x x x > − + >  → < ∀ ∈ℜ         2 3 9 2 13 9 0 ∆ 0

e quindi il risultato che verifica la disequazione di partenza è :

x>2₃

( )

x B x A pari n− _{( )} > 2 3 5 U 23 2 3

8° caso :

In questo caso la risoluzione passa tramite un sistema di tre disequazioni.

B x A x A x Bn x ( ) ( ) ( ) ( ) ≥ ≥ <      0 0 Es : 2x− −2 2x+ <  →4 0  2x− <2 2x−4

(

)

2 4 0 2 2 0 2 2 2 4 2 x x x x − ≥ − ≥ − < −       → ≥ ≥ − + >       → ≥ ≥ < >       x x x x x x x x 2 1 4 18 18 0 2 1 3 2 3 2 ,

il sistema è dunque verificato per tutti i valori di x∈ℜ:x>3.

( )

x B x A pari n− _{( )} < 1 32 2 3

ESERCIZI SUL TRASPORTO FUORI DAL SEGNO DI RADICE ESERCIZI SULLA SEMPLIFICAZIONE DEI RADICALI

ESERCIZI SULLA RAZIONALIZZAZIONE ESERCIZI SULLE EQUAZIONI IRRAZIONALI

ESERCIZI SULLE CONDIZIONI DI ESISTENZA DEI RADICALI

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?

RISOLVI

NASCONDI

INDICE ESERCIZI

Stabilire le condizioni di esistenza dei seguenti radicali :

1. ₃x2b

₃x2b _{poiché la radice ha indice pari la condizione di realtà pone :}

3x2b ≥ 0 ⇒ b ≥ 0

2. 5 −2_ab

5 −_{2ab poiché la radice ha indice dispari la condizione di realtà pone :}

∀a ,b∈ℜ

3. a2 +a

a2 +a poiché la radice ha indice pari la condizione di realtà pone : a2 +a ≥ 0 ⇒ ∆=1>0 ⇒ a ≤ −1 , a ≥ 0

4. 3 24 + _x

3 24 + x poiché la radice ha indice pari la condizione di realtà pone : 2 3 0 2 3+ x ≥ ⇒ x ≥ − 5. − −3x 3

− −3x 3 poiché la radice ha indice pari la condizione di realtà pone : −3x−3 ≥ 0 ⇒ x ≤ −1

?

?

?

?

?

6. 6 −2a b2 4

6 −2a b poiché la radice ha indice pari la condizione di realtà pone :2 4 −2a2b4 ≥ 0 ⇒ ∀/a,b∈ℜ

7. 25 t+9

25 _t+9 _{poiché la radice ha indice dispari la condizione di realtà pone :} ∀t∈ℜ

8. x3 2 −3x

x3 2 −3x poiché la radice ha indice dispari la condizione di realtà pone : ∀x∈ℜ 9. − + − x x x 3 1 2 2 3 ( ) − + − x x x 3 1 2 2 3

( ) poiché la radice ha indice pari la condizione di realtà pone :

(

)

(

)

(

)

2 1 0 2 1 0 2 1 0 3 0 3 0 0 2 1 3 0 0 2 1 3 3 3 3 2 < ⇒ > − ⇒ > − ⇒ > ≤ ⇒ ≥ + − ⇒ ≥ ⇒ ≥ − + − ⇒ ≠ ⇒ ≥ − + − x x x D x x N x x x x x x 2 1 3

+ - +

?

?

?

?

e quindi : 0 , 3 2 1 ≥ ≠ < con x x x 10. − +x x 3 4 − +x x 3

4 _{poiché la radice ha indice pari la condizione di realtà pone :}

0 0 3 0 3 0 0 3 0 3 > ⇒ > ≥ ⇒ ≥ − ⇒ ≥ ⇒ ≤ − ⇒ ≥ + − x D x x N x x x x e quindi : 0 < x ≤ 3 0 3

+ - +

?

Eseguire le operazioni di semplificazione tra i seguenti radicali : 11. 166 x4 616x4 ⇒ 6 24x4 ⇒ 3 22x2 ⇒ 3 4x2 2715 x t6 9 1527x6t9 ⇒ 1533x6t9 ⇒ 5 3x2t3 12. 6 _a8_x4 6 a8x4 ⇒ 3 a4x2 32_1024x6_t14 321024x6t14 ⇒ 32210x6t14 ⇒ 1625x3t7 ⇒ 1632x3t7 13. 8 _{64 x}6 8 64x6 ⇒ 8 26x6 ⇒ 4 23x3 ⇒ 4 8x3 8_16x4_b6 816x4b6 ⇒ 8 24x4b6 ⇒ 4 22x2b3 ⇒ 4 4x2b3 14. 4 _4x2 4 4x2 ⇒ 4 22x2 ⇒ 2x

?

?

?

?

256 25 4 8 6 10 x t a 5 3 4 2 5 3 4 2 4 10 6 2 8 4 8 10 6 8 4 5 16 5 2 5 2 25 256 a t x a t x a t x a t x _{⇒ ⇒ ⇒} 15. 12256x6b10 12256x6b10 ⇒ 1228x6b10 ⇒ 6 24x3b5 ⇒ 616x3b5 64 27 6 9 6 15 y z a 5 2 3 2 5 2 3 3 2 15 6 3 9 6 6 15 6 9 6 3 4 3 2 3 2 27 64 a z y a z y a z y a z y _{⇒ ⇒ ⇒}

?

Utilizzando il trasporto fuori dal segno di radice semplificare i radicali : 16. 32x b5 3 32x5b3 ⇒ 25x5b3 ⇒ 22x2b 2xb ⇒ 4x2b 2xb 1285 a x b8 4 5128a8x4b ⇒ 5 28a8x4b ⇒ 2a5 23a3x4b ⇒ 2a5 8a3x4b 17. 726 _{x y c}7 4 5 6 7 4 5 6 3 2 7 4 5 6 4 5 72 3 2 72x y c ⇒ ⋅ x y c ⇒ x xy c 1624 a b x5 7 2 4162a5b7x2 ⇒ 4 2⋅34a5b7x2 ⇒ 3ab4 2ab3x2 18. 12b x3 12b3x ⇒ 22⋅3b3x ⇒ 2b 3bx 883 z t b8 2 21 3 88z8t2b21 ⇒ 3 23⋅11z8t2b21 ⇒ 2z2b73 11z2t2

?

?

?

19. 125 32 8 3 7 5 z a xy 5 2 3 3 5 7 5 3 8 3 5 7 3 8 125 2 2 5 32 125 xy a z y z xy a z xy a z _{⇒ ⇒}

(

)

(

)

12 2 9 1 2 4 2 3 3 4 a b x y + −

(

)

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

3

)

2 2 1 2 2 2 1 3 2 3 2 2 1 9 2 12 3 2 3 2 4 2 3 3 2 4 2 4 3 3 2 4 x y x b a y x b a y x b a + − + ⇒ − + ⋅ ⇒ − + 20. 81 12 4 4 3 3 2 a by a y a aby a ay aby ay y a by a y a by a 4 3 3 2 3 3 3 2 3 12 81 3 2 3 2 3 2 3 4 4 4 2 3 3 4 4 ⇒ ⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ( ) 24 27 2 4 2 3 2 a b x x−

(

)

(

)

(

x

)

x bx a x x b a x x b a 2 2 3 2 2 3 3 2 2 27 24 2 2 3 3 2 4 3 2 3 2 4 − ⇒ − ⋅ ⇒ −

?

?

Razionalizzare i seguenti radicali: 21. 3 27 4 4 4 4 4 4 3 4 3 4 ₃ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 27 3 _{⇒ ⇒ ⋅ ⇒ ⇒} 22. 3 12 3 3 3 − 3 3 3 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 4 9 3 4 3 9 3 3 3 2 3 3 3 3 3 12 3 3 12 3− _⇒ − _{⋅ ⇒} − ⋅ _⇒ − _{⇒ −} 23. 2 2 2 64 3 3 − 2 1 2 4 2 2 2 2 2 2 2 64 2 2 2 3 3 3 6 3 3 3 − ⇒ − ⇒ − ⇒ − 24. 18 2 5− 2

(

)

(

(

)

)

(

)

(

2 5 2

)

2 20 2 5 2 18 2 5 2 2 5 2 2 5 2 18 2 5 2 18 _{⇒ +} − + ⇒ + + ⋅ − ⇒ − 25. 1 5+ 2

(

)

(

(

)

)

(

)

(

3

)

2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 1 2 5 1 _⇒ − − − ⇒ − − ⋅ + ⇒ +

?

?

?

?

?

26. 7 3 3 5 − +

(

)

(

(

)

)

(

)

(

6

)

3 5 3 3 45 3 5 3 7 3 5 3 3 5 3 5 3 3 7 5 3 3 7 _⇒ + − + ⇒ + + ⋅ + − ⇒ + − 27. 3 7 2 25 +

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

5 3 7 2 3 28 3 7 2 5 3 7 2 3 7 2 3 7 2 5 3 7 2 25 _⇒ − − − ⇒ − − ⋅ + ⇒ + 28. 2 3 3 7 3 3 2 7 − −

(

)

(

)

(

(

)

)

24 5 21 28 27 42 21 9 21 4 18 7 2 3 3 7 2 3 3 7 2 3 3 7 3 3 2 7 2 3 3 7 3 3 2 _{⇒ +} − − − + ⇒ + + ⋅ − − ⇒ − − 29. 2 1 2 1 − +

(

)

(

)

(

(

)

)

5 2 2 1 2 1 2 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 _{⇒ −} − + − − ⇒ − − ⋅ + − ⇒ + − 30. 5 1 5 1 − +

(

(

)

)

(

(

)

)

2 5 3 4 5 2 6 1 5 1 5 5 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 _⇒ − _⇒ − − + − − ⇒ − − ⋅ + − ⇒ + −

?

?

?

?

?

Risolvere le seguenti equazioni irrazionali : 31. 2x+ − =4 2 0 2x+4−2 = 0 ⇒ condizione di realtà 2x+4 ≥ 0 ⇒ x ≥ −2

(

)

0 0 2 4 4 2 2 4 2 2 4 2 0 2 4 2 2 2 = ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = − + x x x x x x

che come si può notare verifica la condizione di realtà .

32. x5 − − =3 1 0

(

)

4 1 3 1 3 1 3 0 1 3 5 5 5 5 5 = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − − x x x x x 33. 2 5 1 0 3 −_x + = 13 8 5 2 5 0 5 2 3 0 3 0 5 5 2 0 1 5 2 3 3 5 3 3 3 = ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ = − + ⇒ ≠ ⇒ ≠ − ⇒ = − − + ⇒ = + − x x x x x x posto x x x - 2 0

?

?

?

34. x− −2 3x− =3 0    ≥ ≥ ⇒    ≥ − ≥ − ⇒ − = − ⇒ = − − − 2 1 0 2 0 3 3 3 3 2 0 3 3 2 x x x x realtà di condizione x x x x

(

)

(

)

2 21 7 0 7 7 4 4 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2 1 2 2 2 2 ± = ⇒ = + − ⇒ + − = − ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ − = − x x x x x x x x x x x x

e come si può notare solo un valore ,

2 21 7+ =

x , verifica la condizione di realtà .

35. x+ +1 2(x− =1) 0

(

)

₍

₎

   ≥ − ≥ ⇒    ≥ − ≥ + ⇒ = − + + 1 1 0 1 2 0 1 0 1 2 1 x x x x realtà di condizione x x

Ma è evidente che per qualsiasi valore reale che soddisfi la condizione di realtà , i radicali esprimono quantità positive così come la loro somma e quindi l'equazione è soddisfatta :

1 : ≥ ℜ ∈ ∀/x x 1 2 2 21 7+ -1 +1

?

?

36. − +_{− − =}x x 3 2 3 2 3 0 2 0 0 3 0 0 2 3 3 2 3 − < ≤ ⇒ > − − ⇒ > ≥ + − ⇒ ≥ ⇒ ≥ − − + − ⇒ = − − + − x x x D x N x x realtà di condizione x x

condizione di realtà quindi : x < −2 , x ≥ 3 di qui poi :

(

)

8 21 21 8 9 18 3 2 2 9 2 3 9 2 3 3 2 3 − = ⇒ − = ⇒ − − = + − ⇒ − − − − = − − + − ⇒ = − − + − ⇒ = − − + − x x x x x x x x x x x x

che come si può notare verifica la condizione di realtà .

37. 2 2 3 2 2 3 3 x+ x+ + x− x+ = x 3 0 3 3 3 2 2 3 2 2 − ≥ ⇒ ≥ + ⇒ = + − + + + x x x x condizione di realtà x x x 8 21 − -2 3

+ - +

?

?

di qui poi :

(

) (

)

(

)

(

)

8 33 5 3 0 17 3 12 0 0 17 3 12 0 17 3 12 1 4 3 8 49 1 0 3 4 0 3 4 17 3 12 3 4 9 3 12 3 4 8 3 4 9 3 12 3 4 3 2 4 3 2 4 3 4 3 4 3 3 4 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 1 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 ± = ⇒ = − − = ⇒ = − − ⇒ = − − ⇒     ≠ − ≠ ⇒ ± ≠ ⇒ ≠ − − ⇒ = − − − − ⇒ − − − − = − − ⇒ − − − − = − − + − + + − ⇒ − − − − = − − + − + + − ⇒ = + − + + + x x x x x x x x x x x x x x x posto x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x di cui solo 8 33 5 3 , 0 = + = x

x verificano la condizione di realtà .

38. 6 1 4 1 x− + = x− 4 1 1 0 1 1 6 > ⇒ > − ⇒ − = + − x condizione di realtà x x x -3 0 8 33 5 3+ 1 7 15+4 10

?

(

)

(

)

(

)

10 4 15 0 65 30 49 14 1 16 7 1 4 7 0 7 7 1 4 0 7 1 4 0 1 7 1 4 0 1 7 1 4 1 1 1 1 4 6 1 4 1 6 2 1 2 2 2 2 ± = ⇒ = + − ⇒ + − = − ⇒ − = − ⇒ ≥ ⇒ ≥ − ⇒ − = − ⇒ = + − − ⇒ = − + − − ⇒ = − + − − ⇒ − − = − − + ⇒ − = + − x x x x x x x x x x posto x x x x x x x x x x x x x x x x

di cui solo x=15+4 10 soluzione che verifica la doppia condizione    ≥ > 7 1 x x 39. 2−4x +x 2 =0 2 1 0 4 2 0 2 4 2− x +x = ⇒ condizione di realtà − x ≥ ⇒ x <

(

)

(

)

2 1 0 1 2 0 2 4 2 2 4 2 2 4 2 0 0 2 4 2 0 2 4 2 2 1 2 2 2 2 2 ± − = ⇒ = − + ⇒ = − + ⇒ = − ⇒ − = − ⇒ ≤ ⇒ ≥ − ⇒ − = − ⇒ = + − x x x x x x x x x x x posto x x x x

di cui solo x= −1− 2 soluzione che verifica . 2 1− − 2 1

?

40. 2x2 + = −4 x2 +2

{ }

   − ℜ ∈ ∀/ ℜ ∈ ∀ ⇒     ≥ − ≥ + ⇒ + − = + 0 0 0 4 2 2 4 2 2 2 2 2 x x x x realtà di condizione x x

ora poiché la condizione di realtà è valida solo per x=0 , verifichiamo direttamente con la sostituzione se tale valore soddisfa l'equazione :

infatti per x=0 ⇒ 4 =+2 che verifica .

41. x+ −1 x+ =3 2    − ≥ − ≥ ⇒    ≥ + ≥ + ⇒ = + − + 3 1 0 3 0 1 2 3 1 x x x x realtà di condizione x x quindi : x ≥ −1

(

)

(

)

1 : 3 4 6 4 3 4 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 − ≥ ℜ ∈ ∀/ ⇒ + = − ⇒ + + + + = + ⇒ + + = + ⇒ + + = + ⇒ = + − + x x x x x x x x x x x x 42. x2 +2x+ = −1 1 1+x2

(

)

   ℜ ∈ ∀ ℜ ∈ ∀ ⇒     ≥ + ≥ + ⇒ + − = + + x x x x realtà di condizione x x x 0 1 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 -3 -1

?

?

?

anche se la condizione di realtà è soddisfatta da ogni valore reale , l'equazione non ammette soluzioni in quanto non sussiste l'eguaglianza di due quantità di segno discorde : il primo membro esprime una quantità positiva , il secondo una quantità negativa .

e quindi : ∀/x∈ℜ 43. x2 x 2 1 1 2 1 + = + + x + = x + +1 ⇒ condizione di realtà ∀x∈ℜ 2 1 1 2 2

(

)

3 3 4 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ± = ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ + + = + ⇒ + + = + x x x x x x x x x

soluzioni che verificano la condizione di realtà .

44. 5−2x −2= 3x−3     ≥ ≤ ⇒    ≥ − ≥ − ⇒ − = − − 1 2 5 0 3 3 0 2 5 3 3 2 2 5 x x x x realtà di condizione x x quindi : 2 5 1 ≤ x ≤ 1 2 5

?

?

(

)

(

)

(

)

(

)

25 89 3 49 0 801 4 0 64 98 25 48 48 16 40 25 3 3 4 4 5 5 4 0 4 5 3 3 4 4 5 4 3 3 4 3 3 2 5 2 3 3 2 5 2 3 3 2 5 3 3 2 2 5 2 2 2 2 2 2 2 ± = ⇒ > = ∆ ⇒ = + − ⇒ − = + − ⇒ − = + − ⇒ ≤ ⇒ ≥ + − ⇒ − = + − ⇒ + − + − = − ⇒ + − = − ⇒ + − = − ⇒ − = − − x x x x x x x x x x posto x x x x x x x x x x x di cui solo 25 89 3 49− =

x soluzione che verifica .

45. 2 0 1 2 2 = − − + − x x x    ≥ − > ⇒    ≥ − > + ⇒ = − − + − 2 1 0 2 0 1 0 2 1 2 2 x x x x realtà di condizione x x x quindi : x ≥ 2

(

)(

)

(

)

(

)

ℜ ∈ ∀/ ⇒ < − = ∆ ⇒ = + − ⇒ = + − ⇒ − − = + − ⇒ − − = − ⇒ ≥ ⇒ ≥ − ⇒ − − = − ⇒ = + − − − − ⇒ = + − + − − ⇒ = − − + − x x x x x x x x x x x x x x posto x x x x x x x x x x x x x x 0 23 0 6 7 3 0 6 7 3 2 4 8 4 2 2 2 1 0 2 2 2 2 2 0 1 2 2 2 0 1 2 1 2 2 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -1 2

?

Risolvere le seguenti disequazioni irrazionali : 46. x− <4 2(x−4)

(

)

(

)

(

)

    + − < − ≥ ≥ ⇒      − < − ≥ − ≥ − ⇒ − < − 64 32 4 4 4 4 4 4 4 0 4 0 4 2 4 2 4 2 2 x x x x x x x x x x x        > < ≥ ≥ ⇒      > + − ≥ ≥ ⇒ 4 17 , 4 4 4 0 68 33 4 4 4 2 x x x x x x x x 4 17 > x 47. − + < − +2x 3 x 2

(

)

__    + − < + − ≤ ≤ ⇒      + − < + − ≥ + − ≥ + − ⇒ + − < + − 4 4 3 2 2 3 2 2 3 2 0 3 2 0 2 2 3 2 2 2 x x x x x x x x x x x

{}

      − ℜ ∈ ∀ ≤ ≤ ⇒       > + − ≤ ≤ ⇒ 1 2 3 2 0 1 2 2 3 2 2 _x x x x x x x 4 4 17

?

?

1 2 3 ≠ ≤ con x x 48. 2x2 − > − −2 3x 2

(

)

      ℜ ∈ ∀/ ⇒ < − = ∆ ⇒ < + + − <     ≥ − ≤ − ≥ ⇒    − − > − > − −    ≥ − ≤ − − ⇒ − − > − x x x x x x x x x x x x x x 0 6 4 0 6 12 7 3 2 1 , 1 3 2 2 3 2 2 0 2 3 0 2 2 0 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 U U

e quindi i rispettivi sistemi portano a :

1 ≥ x 1 2 3 2 3 2 − -1 3 2 − +1 U

?

49. x2..+ <1 2x−3

(

)

        + > − < ⇒ > = ∆ ⇒ > + − ℜ ∈ ∀ ≥ ⇒        > + − ℜ ∈ ∀ ≥ ⇒      − < + ≥ + ≥ − ⇒ − < + 3 3 2 2 , 3 3 2 2 0 12 4 0 8 12 3 2 3 0 8 12 3 2 3 3 2 1 0 1 0 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x che porta a :     + > 3 3 1 2 x 50. x2 + <4 4x−1

(

)

        + > − < ⇒ > = ∆ ⇒ > − − ℜ ∈ ∀ ≥ ⇒        > − − ℜ ∈ ∀ ≥ ⇒      − < + ≥ + ≥ − ⇒ − < + 15 61 4 , 15 61 4 0 61 4 0 3 8 15 4 1 0 3 8 15 4 1 1 4 4 0 4 0 1 4 1 4 4 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x 3 3 2 2− 2 3 3 3 2 2+

?

?

che porta a : 15 61 4+ > x 51. 2(− + > − +x 1) 2x 1

(

)

₍

₎

      + < < − ⇒ > = ∆ ⇒ < − − <     ≤ ≥ ⇒    + − > + − > + −    ≥ + − ≤ + − ⇒ + − > + − 4 5 1 4 5 1 0 5 4 0 1 2 4 2 1 1 2 1 1 2 2 2 0 1 2 0 2 2 0 1 2 1 2 1 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x U U

e quindi i rispettivi sistemi portano a :

da cui : 1 4 5 1 ≤ < − x 15 61 4− 4 1 15 61 4+ 4 5 1− 2 1 4 5 1+ 2 1 +1 U 4 5 1− 2 1 1

?

52. x2 + + < −x 2 x 1

(

)

       − < ⇒ < + ℜ ∈ ∀ ≥ ⇒     < + ℜ ∈ ∀ ≥ ⇒      − < + + ≥ + + ≥ − ⇒ − < + + 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 1 2 0 2 0 1 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x che porta a : ℜ ∈ ∀/x 53. 2

(

x2 − < −1

)

3 x

(

)

(

)

       + − < < − − ⇒ > = ∆ ⇒ < − + + ≥ − ≤ ≤ ⇒      < − + + ≥ − ≤ ≤ ⇒      − < − ≥ − ≥ − ⇒ − < − 5 2 3 5 2 3 0 20 4 0 11 6 1 , 1 3 0 11 6 1 , 1 3 3 2 2 0 2 2 0 3 3 1 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 1 − 1

?

?

che porta a : 5 2 3 1 , 1 5 2 3− < ≤ − ≤ < − + − x x 54. 9 16− x2 > − +x 1

(

)

         + < < − ⇒ > = ∆ ⇒ < − − <     ≤ ≤ − ≥ ⇒    + − > − > + −    ≥ − ≤ + − ⇒ + − > − 17 137 1 17 137 1 0 137 4 0 8 2 17 1 4 3 4 3 1 1 16 9 0 1 0 16 9 0 1 1 16 9 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x U U

e quindi i rispettivi sistemi portano a :

da cui : 17 137 1 17 137 1− _{< ≤} + x 5 2 3− − -1 1 −3+2 5 3 17 137 1− 17 137 1+ 1 4 3 − 4 3 +1 U

?

55. x2 −5x+ < − −4 2( x 1)

(

)

(

)

       > − < ⇒ > + ≥ ≤ − ≤ ⇒      > + ≥ ≤ − ≤ ⇒      − − < + − ≥ + − ≥ − − ⇒ − − < + − 0 , 3 13 0 13 3 4 , 1 1 0 13 3 4 , 1 1 2 2 4 5 0 4 5 0 2 2 1 2 4 5 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x che porta a : 3 13 − < x 56. 2−1 <x−2 x

(

)

(

)

(

)

         > − − − ≥ < ≥ ⇒          > + + − ≥ < ≥ ⇒         − < − ≥ − ≥ − ⇒ − < − 0 1 3 1 2 1 , 0 2 0 1 2 4 2 1 , 0 2 2 1 2 0 1 2 0 2 2 1 2 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 13 − -1 0 1 4

?

?

(

)

(

)

         + > < < − < ≥ < ≥ ⇒          > − − − ≥ < ≥ ⇒ 2 13 3 , 1 0 , 2 13 3 2 1 , 0 2 0 1 3 1 2 1 , 0 2 2 x x x x x x x x x x x x x che porta a : 2 13 3+ > x 57. − + < x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + ⇒ − < + + < + − ⇒ < + − x x x x x x x x

il denominatore è stato trascurato poiché , dopo averne discusso l'esistenza , esprime una quantità positiva .

Ecco dunque la disequazione che si dovrà risolvere :

(

)

( )

    + < < − ⇒ > = ∆ ⇒ < − − <    − ≥ ≥ ⇒    − > + > −    ≥ + ≤ − ⇒ − > + 6 2 4 6 2 4 0 24 4 0 8 8 0 1 0 2 2 4 0 0 2 2 0 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x U U 2 13 3− 0 2 1 1 2 2 13 3+

?

e quindi i rispettivi sistemi portano a : da cui : 6 2 4− > x 58. 1 1 1 1− > + + − x x x x x x x x x x x x + > + − ⇒ + > + + − − ⇒ + > − + − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

il denominatore è stato trascurato poiché , dopo averne discusso l'esistenza , esprime una quantità positiva .

Ecco dunque la disequazione che si dovrà risolvere :

(

)

    > − < − ≥ − ≤ ⇒      > + − ≥ − ≤ ⇒      − − < + ≥ + ≥ − − ⇒ − − < + 0 , 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x 4−2 6 0 4+2 6 -1 0 U 6 2 4− 0

?

che porta a: ℜ ∈ ∀/x 59. x x x x x x + − − > − − + + − 3 1 1 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x − − > − ⇒ − + + − − > − + + + − + ⇒ − + + − − > − − + 1 4 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 1 3

il denominatore è stato trascurato poiché , dopo averne discusso l'esistenza , esprime una quantità positiva .

condizione di realtà del denominatore :

   ≥ − ≥ ⇒    ≥ − ≥ + 1 3 0 1 0 3 x x x x

e quindi x ≥ 1 , che consideremo nel grafico riassuntivo finale . Ecco dunque la disequazione che si dovrà risolvere :

(

)

   ℜ ∈ ∀/ ⇒ < − = ∆ ⇒ < + − >    ≤ ≤ ⇒    − > − > −    ≥ − ≤ − ⇒ − > − x x x x x x x x x x x x x 0 15 0 15 15 4 2 1 2 4 2 1 0 4 2 0 1 0 4 2 4 2 1 2 2 U U -1 0

?

e quindi i rispettivi sistemi portano a :

da cui ( ricordando la condizione iniziale ):

1 = x 60. − + + − > x x 1 1 4 0 1 0 1 0 4 1 1 < ⇒ > + − ⇒ > − + + − x x x x

il denominatore è stato trascurato poiché , dopo averne discusso l'esistenza , esprime una quantità positiva .

condizione di realtà del denominatore : 4−x ≥ 0 ⇒ x < 4 che consideremo nel grafico riassuntivo finale .

1 < x 2 1 2 U 1 1 4

?