LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA
Prof. Francesco Marchi
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Appunti ed esercizi su:
Equazioni, operazioni, funzioni
19 gennaio 2012
1 Per altri materiali didattici o per informazioni:
Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/
Leggi qui! “Istruzioni per l’uso” di questi appunti
Questi appunti sono in fase di bozza
Questi appunti sono ancora in una fase di bozza, perci`o pu`o capitare che: un paragrafo sia lasciato a met`a, non sia affatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; i numeri dei riferimenti alle figure o agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano essere di una qualche utilit`a: in attesa di una prossima revisione, cerca di prendere il pi`u che puoi da questi materiali!
Come usare questi appunti
L’approccio seguito in queste “dispense” `e un po’ diverso da quello tipico dei libri tradizionali.
Per quanto riguarda la parte di teoria, sono spesso presenti domande, a cui dovresti cercare di rispondere prima di proseguire nella lettura (anche in modo “personale”: non sempre c’`e una sola risposta giusta!). Per quanto riguarda gli esercizi, a volte, ti verr`a richiesto uno sforzo supplementare: spesso dovrai “costruirti gli esercizi”, dal momento che molti esercizi rimandano ad un archivio finale, dove sono presenti una serie di equazioni, grafici . . . Ad esempio, in una sezione dell’archivio, sono presenti dei grafici di curve sotto i quali sono indicate le rispettive equazioni cartesiane: per svolgere un esercizio di abbinamento grafico-equazione, puoi annotare su un foglio a parte le equazioni, in ordine sparso, e poi, guardando i soli grafici, procedere all’abbinamento.
In questo modo, separando la richiesta dell’esercizio dal singolo esempio su cui “applicare tale richiesta”, si favorisce, credo, una maggiore attenzione sui metodi e sugli obiettivi didattici, piuttosto che sui dettagli numerici specifici di ogni esercizio.
Nota dell’autore
Le lezioni e gli esercizi proposti in questo libro sono il frutto della mia esperienza pluriennale di insegnante nella scuola secondaria. Laddove si `e tratto spunto da altri testi, sono sempre state indicate le fonti originali.
Puoi riutilizzare gli appunti e gli esercizi proposti di seguito, citando questo file e/o il mio blog M@T&FiS (francescomarchi.wordpress.com), dove puoi trovare altri materiali didattici, sia di matematica che di fisica.
Per segnalare uso improprio di materiale coperto da copyright, o per segnalarmi errori, suggerimenti e quant’altro, scrivimi afra.marchi@yahoo.it.
Ringraziamenti
Rivolgo un grazie a tutti i miei alunni ed ex-alunni, per il piacevole tempo trascorso insieme e per gli stimoli che hanno saputo darmi, contribuendo (a volte direttamente, altre indirettamente) alla creazione di appunti sempre pi`u completi.
Versione finale
Capitolo 1
Le forze
1.0.1
Vero o falso
• Un vaso di fiori appoggiato sopra un tavolo esercita su di esso la propria forza peso (o di gravit`a). • La forza di attrito fra due oggetti non dipende dal materiale di cui sono fatti tali oggetti.
• Un aeroplano in volo non risente di alcuna forza di attrito.
• Consideriamo un ipotetico sistema costituito da due pianeti, posti ad un’enorme distanza l’uno dall’altro. Fra di essi non esiste alcuna forza perch´e sono troppo distanti.
• La forza di attrito esercitata da un piano su di un corpo di peso Fp poggiato su di esso `e data dalla
formula Fa≤ µFp.
• Un piano `e sempre in grado di esercitare su un corpo poggiato sopra di esso una reazione vincolare uguale ed opposta al peso del corpo stesso.
• Il baricentro di un corpo `e il punto su cui agisce la forza di gravit`a. • Il baricentro di un corpo coincide sempre con il suo centro geometrico.
• La legge di gravitazione universale di Newton afferma che: “Tra i pianeti ed il Sole esiste una forza di attrazione”.
• Consideriamo due corpi di massa m =100kg. Per questi due corpi, la forza di attrazione gra-vitazionale `e maggiore se sono posti ad un metro di distanza piuttosto che se sono posti ad un centimetro.
• Si consideri un oggetto poggiato su un piano orizzontale. Esso non si muove per via della reazione vincolare del piano e della forza di attrito tra il piano e l’oggetto stesso.
• Tra due oggetti perfettamente lisci non c’`e attrito.
• La forza di reazione vincolare si oppone sempre alla forza di gravit`a di un oggetto poggiato su un piano.
• La forza di gravit`a `e un caso particolare della forza di gravitazione universale. • La forza di gravitazione universale `e un caso particolare della forza di gravit`a. • Su una persona, anche nello spazio lontano dalla Terra, `e presente la forza di gravit`a.
1.0.2
Definizioni, leggi e quesiti vari
• Esprimere a parole il contenuto concettuale della legge di gravitazione universale. • Scrivere la formula che esprime la forza di attrazione gravitazionale.
• Definire le seguenti forze: forza di gravitazione universale; forza di gravit`a; forza di attrito statico; forza di attrito dinamico; forza di reazione vincolare.
1.0.3
Diagrammi di corpo libero
Per i sistemi rappresentati in figura2.1: • Indicare tutti i corpi che ne fanno parte
• Indicare, tramite delle frecce, tutte le forze in gioco su ciascuno di tali corpi
(a) (b)
(c) Figura relativa all’esercizio 1 del-la sezione ??. I valori numerici sono: α = 22◦; m = 76kg; µs= 0.8.
(d) Figura relativa all’esercizio 2 del-la sezione ??. I valori numerici sono: α = 22◦; m1= 790kg; m2= 300kg;
il piano inclinato `e fatto di legno, il blocco 1 di legno bagnato, il blocco 2 di pietra.
Figura 1.1: Grafici relativi all’esercizio1.0.3
1.0.4
Problemi
Problema 1
Calcolare il valore della forza di attrazione fra un’auto del peso di 1000kg ed un camion del peso di 8000kg, posti ad una distanza di 3,5m.
Problema 2
Capitolo 2
Dinamica traslazionale
In questo capitolo, partendo da esercizi pi`u semplici, arriveremo via via ad esercizi pi`u complessi, seguendo, pi`u o meno, il seguente schema:
1. Nozioni preliminari
(a) Saper calcolare le singole forze
(b) Saper sommare (vettorialmente) le forze (c) Capire il verso della forza di attrito (d) Calcolare la forza di attrito massima 2. Statica
(a) Stabilire se l’oggetto si muove oppure no 3. Dinamica (nel caso in cui l’oggetto si muova)
(a) Calcolare la forza di attrito dinamico (b) Calcolare l’accelerazione dell’oggetto (c) Calcolare altre grandezze
2.1
Le forze della meccanica
2.1.1
Esercizio 1: definizioni
Dare la definizione e/o esporre riguardo ai seguenti tipi di forze. Inoltre, illustrare le differenze fra i tipi di forze messe a confronto fra loro.
• Forza di gravitazione universale vs forza di gravit`a • Forza di attrito statico vs forza di attrito dinamico • Forza di reazione vincolare
2.1.2
Esercizio 2
Considera il sistema rappresentato in figura2.1(a). I valori numerici sono: α = 22◦; m = 76kg; µs= 0.8.
Calcola:
1. La forza di reazione vincolare.
2. Le componenti parallela e perpendicolare al piano della forza peso. 3. La forza di attrito massima.
2.2
Statica
2.2.1
Esercizio 1
Considera il sistema rappresentato in figura2.1(a).
La massa del blocchetto vale 40kg; l’inclinazione del piano `e di 33◦. 1. Determina la forza di reazione vincolare del piano.
2. Stabilisci quanto deve valere il coefficiente di attrito tra il piano e il blocchetto affinch´e quest’ultimo non trasli.
Teoria 1: condizione di equilibrio su di un piano inclinato
L’esercizio precedente ci suggerisce una generalizzazione. . . . si ricava perci`o che
αmax= arctan µs
2.2.2
Esercizio 3
Considera il sistema rappresentato in figura2.1(b). I valori numerici sono i seguenti: F1= 125N ; F2= 300N ; µs= 0.6
α = 75◦; m = 200kg Dove α `e l’angolo indicato in figura.
1. Imposta la I equazione cardinale, per le due componenti, orizzontale e verticale. 2. Determina le quantit`a direttamente calcolabili dai dati (F2⊥, . . . ).
3. Determina la forza di reazione vincolare. 4. Determina la risultante delle forze orizzontali. 5. Determina la forza di attrito massima. 6. Stabilisci se il blocco si muover`a oppure no.
2.2.3
Esercizio 2
Considera il sistema rappresentato in figura2.1(c).
I valori numerici sono: α = 22◦; m1= 790kg; m2= 300kg; il piano inclinato `e fatto di legno, il blocco 1
di legno bagnato, il blocco 2 di pietra.
2.3
Dinamica
2.3.1
Calcolo di accelerazioni
Calcolare l’accelerazione dei corpi dei seguenti sistemi meccanici:
1. Un oggetto di massa m=7kg cade da una quota di 10km; l’aria esercita una forza di attrito pari a 3,5N. Inoltre soffia un vento verso destra di intensit`a 6,7N.
2. Un oggetto di massa m=3.4 kg `e poggiato su un piano orizzontale e una forza F=6,5N lo spinge verso sinistra. Si trascuri l’attrito tra il piano e l’oggetto.
3. Un oggetto di massa m=3.4 kg `e poggiato su un piano orizzontale e una forza F=6,5N lo spinge verso sinistra. L’attrito tra il piano e l’oggetto `e descritto dai seguenti coefficienti di attrito: µs= 0, 68;
µd= 0, 33.
4. Perch´e l’attrazione gravitazionale tra oggetti “ordinari” non fa s`ı che essi comincino a muoversi gli uni verso gli altri?
Considera due persone di corporatura media e calcola la forza di attrazione gravitazionale fra di esse. Calcola poi la forza di attrito statico fra ciascuna di esse e il pavimento (µs ' 0, 5). Puoi
rispondere adesso alla domanda iniziale?
2.3.2
Determinazione di altre grandezze
Esercizio 1
Considera ancora il sistema in2.1(a).
α = 70◦; m = 15kg; a = 8m/s2 Determina µd.
Soluzione Cominciamo con lo scrivere la prima equazione cardinale: a = P Fi
Teoria 2: la questione dei segni
2.4
Esercizi riassuntivi
2.4.1
Esercizio 1
Si consideri un ipotetico universo in cui sono presenti soltanto due persone, A e B. La persona A d`a una spinta alla persona B; questa, di conseguenza, comincer`a a muoversi, allontanandosi da A.
1. Cosa accade ad A, dopo che ha dato la spinta a B? 2. Cosa accadr`a successivamente?
2.4.2
Esercizio 2
Si consideri un blocchetto posto su di un piano orizzontale. Quale/i delle seguenti forze agiscono su di esso? (cerchiare le risposte corrette)
• Forza di gravit`a • Forza di attrito statico • Forza di attrito dinamico • Forza gravitazionale • Forza di reazione vincolare • Forza di spinta
2.4.3
Esercizio 3
Si consideri il sistema illustrato in figura2.1(d). Completare il testo proposto qui di seguito, trascrivendo in basso le parole da mettere al posto dei puntini.
Per calcolare la . . . 1 . . . si utilizza la formula . . . 2 . . . = µsF⊥.
A sua volta, per calcolare la F⊥ (simbolo con cui si indica la . . . 3 . . . ), si devono sommare, con gli
opportuni segni, le . . . 4 . . . verticali delle forze . . . 5 . . . e . . . 6 . . . , nonch´e la forza di gravit`a.
Per capire in quale direzione agisce la forza di attrito `e necessario confrontare le due componenti . . . 7 . . . delle forze . . . 8 . . . ed . . . 9 . . . con la forza F3. In particolare, se . . . 10 . . . + . . . 11 . . . > . . . 12 . . . , ci`o
significa che il blocchetto tenderebbe a muoversi verso . . . 13 . . . e perci`o la forza di attrito sar`a diretta verso . . . 14 . . . .
Una volta stabilito il verso della forza di . . . 15 . . . , si applica il primo principio della dinamica, espresso dalla formula . . . 16 . . . = ...17...m : se la . . . 18 . . . di tutte le . . . 19 . . . che agiscono sul blocchetto `e diversa da zero, esso . . . 20 . . . . Perci`o, per capire se il blocchetto si muover`a, calcoleremo . . . 21 . . . + F2x- . . . 22
. . . e, se tale somma sar`a maggiore della forza di . . . 23 . . . , il blocchetto si muover`a.
Per quanto riguarda invece la direzione verticale, invece, `e presumibile che l’ . . . 24 . . . valga zero: se cos`ı non fosse, il blocchetto volerebbe verso l’alto, oppure . . . 25 . . . . Quest’ultimo evento pu`o accadere in alcuni casi: precisamente nei casi in cui la . . . 26 . . . non `e in grado di bilanciare tutte le forze dirette verso . . . 27 . . . .
2.4.4
Esercizio 4
Domanda 1
Per sapere se l’oggetto si muove, di quali dati c’`e bisogno? (cerchiare, fra quelli indicati di seguito, solamente i dati strettamente necessari)
α; µs; µd; m; g; G; Fa,max
Domanda 2
Supponiamo che, con certi valori dei parametri, l’oggetto non si muova. Immaginando di poter intervenire sul sistema, in quale/i dei seguenti modi `e possibile far s`ı che il blocchetto cominci a scivolare? (cerchiare le risposte corrette)
1. Diminuendo l’inclinazione del piano. 2. Aumentando il valore di µd.
3. Aumentando la massa del blocchetto. 4. Diminuendo la massa del blocchetto. 5. Aumentando l’inclinazione del piano.
6. Spingendo il blocchetto con una forza diretta verso il basso. 7. Trasportando tutto il sistema ad una quota maggiore.
2.5
Esercizi pi`
u difficili
2.5.1
Esercizio 1
Un blocchetto `e posto su di un piano inclinato di 38◦ e la sua accelerazione vale 1/7 del rapporto tra la
sua forza peso e la sua massa. Quanto vale il coefficiente di attrito dinamico µd?
2.5.2
Esercizio 2
Dare la definizione e/o esporre riguardo ai seguenti tipi di forze. Inoltre, illustrare le differenze fra i tipi di forze messe a confronto fra loro.
• Forza di gravitazione universale vs forza di gravit`a • Forza di attrito statico vs forza di attrito dinamico • Forza di reazione vincolare
• Traiettoria vs legge oraria • Punto materiale
• Coordinate polari
2.5.3
Esercizio 3
Per descrivere l’equazione oraria di un corpo che si muove in due dimensioni si possono utilizzare coordi-nate cartesiane o coordicoordi-nate polari. Come si pu`o descrivere invece il moto di un corpo in tre dimensioni (cio`e nello spazio)? Illustra i tipi di coordinate che si potrebbero utilizzare.
2.5.4
Esercizio 4
Una nave di massa m=60 tonnellate si muove su di un fiume, largo 20 metri, ad una velocit`a di 30km/h. Una corrente la sospinge verso la riva destra del fiume con una forza di 600N. Inoltre il vento, agendo sulle sue vele, esercita su di essa una forza di 2700N diretta verso la riva sinistra del fiume.
1. Indica le principali forze che agiscono sulla nave, comprese quelle che non vengono direttamente menzionate nel testo.
(a) (b) Figura relativa all’esercizio2.2.2.
(c)
(d) Figura relativa all’esercizio2.4.3.
Tabella 2.1: Tabella relativa all’esercizio2.4.3.
Numero Riempimento Punti
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 10
